2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷含答案.docx

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线l经过A（2，3），B（1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A4B34C3D232（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ax1By1Cx=-116Dy=-1163（5分）圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切4（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar下列结论中正确的是（）A当T220，P1026时，二氧化碳处于液态B当T270，P128时，二氧化碳处于气态C当T300，P9987时，二氧化碳处于超临界状态D当T360，P729时，二氧化碳处于超临界状态5（5分）若函数f（x）x2+2（a1）x+2在区间（，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A（，2B2，+）C（，4D4，+）6（5分）直线l的方向向量为m=(1，-1，0)，且l过点A（1，1，2），则点P（2，2，1）到直线l的距离为（）A2B3C6D227（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A|AB|AC|B点P（8，2，0）在平面ABC内CABACD若AB=2CD，则D的坐标为(1，-5，-32)8（5分）已知直线l1：x+y+20与直线l2：x+my2m0相交于点P，圆C：x2+y24x2y0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A5B25C35D45二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知直线l0：x+y+10，则下列结论正确的是（）A点（0，1）到直线l0的距离是2B直线l1：xy+10，则l0l1C直线l2：mx+（m22）y+20（m为常数），若l0l2，则m1或m2D直线l3：x+y10，则l0和l3的距离为2（多选）10（5分）已知曲线C：mx2+ny2mn（）A若mn0，则C是圆，其半径为nB若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-mnxC若mn0，且mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上D若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以xn为准线的抛物线方程为y24mx（多选）11（5分）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足A1P=A1A+xAB+xAD（x0，1），异面直线B1Q与AA1所成角为30°，则（）AC1PB1D1=0B直线PQ与DD1为异面直线C线段PQ长度最小值等于(22-33)aD三棱锥B1APQ的体积可能取值为a31812（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|2c，直线l：yk（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（）A若|AF2|+|BF2|m，则|AB|4a2mB若AB的中点为M，则kOMk=-b2a2C|AB|的最小值为2b2aDAF1AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55，22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过点（1，2）且与圆x2+y21相切的直线方程为 14（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1AD60°，BAD90°，AB3，AD2，AA13，M是底面ABCD的中心，设AB=a，AD=b，AA1=c，则D1M= （用a，b，c表示），D1M的长度为 15（5分）已知抛物线C：x28y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且PF=2FQ，则|MQ| 16（5分）已知曲线C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN|12，则PMN的周长是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知3a=5c，cosC=45（1）求sinA的值；（2）若b4，求ABC的面积18（12分）如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC（1）求证：PQ平面BCD；（2）若DADBDC4，BDC90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值19（12分）在平面直角坐标系xOy中：圆C过A（1，0）和B（1，2），且圆心在直线l：2x+y+20上；圆C过E(0，3)，F(1，0)，G(-1，-2)三点（1）在两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x3上的点P（3，4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|20（12分）已知圆：x2+y24上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足CN=22MN（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求OAB面积的最大值21（12分）如图，在四棱锥SABCD中，满足ABAD，ABBC，SA底面ABCD，AD1，AB=3，BC3（1）求证：平面SBD平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64，求B到平面SCD的距离22（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+40的距离小2（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率为k1，k2的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中k1+k2=12设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FDAB，垂足为D试问：是否存在定点T，使得线段TD的长度为定值若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线l经过A（2，3），B（1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A4B34C3D23【解答】解：设直线的倾斜角为，由已知可得直线的斜率ktan=3-2-2-(-1)=-1，又0，），所以=34，故选：B2（5分）抛物线y4x2的准线方程为（）Ax1By1Cx=-116Dy=-116【解答】解：因为抛物线y4x2，可化为：x2=14y，则抛物线的准线方程为y=-116故选：D3（5分）圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切【解答】解：圆x2+y28x+6y+90的标准方程为（x4）2+（y+3）216，圆x2+y28x+6y+90的圆心是C2（4，3），半径4又圆x2+y29的圆心是C1（0，0），半径r23|C1C2|5，|r1r2|1，r1+r27，|r1r2|OC|r1+r2，可得两圆相交故选：B4（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar下列结论中正确的是（）A当T220，P1026时，二氧化碳处于液态B当T270，P128时，二氧化碳处于气态C当T300，P9987时，二氧化碳处于超临界状态D当T360，P729时，二氧化碳处于超临界状态【解答】解：对于A，当T220，P1026时，lgP3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当T270，P128时，2lgP3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当T300，P9987时，lgP4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当T360，P729时，2lgP3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；故选：D5（5分）若函数f（x）x2+2（a1）x+2在区间（，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A（，2B2，+）C（，4D4，+）【解答】解：函数f（x）x2+2（a1）x+2图象是开口向上，对称轴为x1a，则函数f（x）在（，1a）上单调递减，在（1a，+）上单调递增，又函数f（x）x2+2（a1）x+2在区间（，3）上是单调函数，所以1a3，解得a2，所以实数a的取值范围为（，2故选：A6（5分）直线l的方向向量为m=(1，-1，0)，且l过点A（1，1，2），则点P（2，2，1）到直线l的距离为（）A2B3C6D22【解答】解：A（1，1，2），P（2，2，1），AP=（1，3，1），又m=（1，1，0），AP在m方向上的投影|AP|cosAPm=APm|m|=42=22，P到l距离d=|AP|2-(22)2=11-8=3故选：B7（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A|AB|AC|B点P（8，2，0）在平面ABC内CABACD若AB=2CD，则D的坐标为(1，-5，-32)【解答】解：因为|AB|62+(-2)2+(-3)2=7，|ACl=(-2)2+32+(-6)2=7，故A正确；因为ABAC=（6，2，3）（2，3，6）126+180，所以ABAC，故C正确；因为AB=（6，2，3），AC=（2，3，6），AP=（4，1，9），所以AP=AB+AC=（4，1，9），所以点P（8，2，0）在平面ABC内，故B正确；因为AB=（6，2，3），2CD=2（1，9，-92）（2，18，9），显然不成立，故D错误故选：D8（5分）已知直线l1：x+y+20与直线l2：x+my2m0相交于点P，圆C：x2+y24x2y0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A5B25C35D45【解答】解：由直线l1：x+y+20与直线l2：x+my2m0相交于点P，故P为直线l1上任意一点，圆C：x2+y24x2y0，得圆心为C（2，1），半径r=5，与y轴正半轴交于点M（0，2），设M（0，2）关于直线x+y+20对称点D的坐标为（m，n），则n-2m-0×(-1)=-1m2+n+22+2=0，解得m4，n2，D（4，2），|DC|=(-4-2)2+(-2-1)2=35，|PM|+|PN|PD|+|PN|DN|DC|-5=25故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知直线l0：x+y+10，则下列结论正确的是（）A点（0，1）到直线l0的距离是2B直线l1：xy+10，则l0l1C直线l2：mx+（m22）y+20（m为常数），若l0l2，则m1或m2D直线l3：x+y10，则l0和l3的距离为2【解答】解：对于A：直线l0：x+y+10，则点（0，1）到直线的距离d=|0+1+1|12+12=2，故A正确；对于B：直线l0：x+y+10的斜率k11，直线l1：xy+10的斜率k21，所以k1k21，故l0l1，故B正确；对于C：直线l0：x+y+10，直线l2：mx+（m22）y+20（m为常数），若l0l2，则mm22，解得m2或1，当m2时，两直线重合舍去；当m1时，两直线平行，故m1故C错误；对于D：直线l0：x+y+10，直线l3：x+y10，则直线l0l3，所以这两直线的距离d=|1+1|12+12=2，故D错误故选AB（多选）10（5分）已知曲线C：mx2+ny2mn（）A若mn0，则C是圆，其半径为nB若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-mnxC若mn0，且mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上D若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以xn为准线的抛物线方程为y24mx【解答】解：对A选项，mn0，曲线C：mx2+ny2mn可化为：x2+y2n，曲线C是圆，其半径为n，A选项错误；对B选项，mn0，曲线C：mx2+ny2mn可化为：x2n+y2m=1，曲线C是双曲线，其渐近线方程为x2n+y2m=0，即y=±-mnx，B选项正确；对C选项，mn0，且mn，曲线C：mx2+ny2mn可化为：y2m+x2n=1，mn0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，C选项错误；对D选项，曲线C：mx2+ny2mn是等轴双曲线，曲线C：mx2+ny2mn可化为：x2n+y2m=1，m+n0，且mn0，以原点为顶点以xn为准线的抛物线方程为y24mx，D选项正确故选：BD（多选）11（5分）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足A1P=A1A+xAB+xAD（x0，1），异面直线B1Q与AA1所成角为30°，则（）AC1PB1D1=0B直线PQ与DD1为异面直线C线段PQ长度最小值等于(22-33)aD三棱锥B1APQ的体积可能取值为a318【解答】解：由A1P=A1A+xAB+xAD(x0，1)，可知A1P=A1A+xAC（x0，1），即P点在AC上，连接BD，则BDB1D1，由于AA1平面ABCD，BD平面ABCD，故AA1BD，又BDAC，且ACAA1A，AC，AA1平面AA1C1C，故BD平面AA1C1C，C1P平面AA1C1C，所以BDCP，则B1D1C1P，C1PB1D1=0，A正确；因为异面直线B1Q与AA1所成角为30°，且AA1BB1，故B1Q与BB1所成角为30°，即QB1B30，则BQ=33a，故Q点在以B为圆心，BQ=33a为半径的圆弧上运动，当Q为该圆弧与BD的交点，且P为AC，BD的交点时，直线PQ与DD1为相交直线，B错误：由于P点在AC上，Q点在以B为圆心，BQ=33a为半径的圆弧上运动，故线段PQ长度最小值为点B到直线AC的距离2a2减去圆弧的半径BQ=33a，即最小值为（22-33）a，C正确；三棱锥B1APQ的高为BB1a，假设其体积可取到a318，则其底面积SAPQ=16a2，又因为当P点位于C处，Q位于其所在圆弧与AB或BC的交点处时，APQ的面积取到最大值，最大值为12×2a×22（a-33a）=16（3-3）a，因为16（3-3）a216a2，故假设成立，即三棱锥B1APQ的体积可能取值为a318，D正确故选：ACD12（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|2c，直线l：yk（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（）A若|AF2|+|BF2|m，则|AB|4a2mB若AB的中点为M，则kOMk=-b2a2C|AB|的最小值为2b2aDAF1AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55，22【解答】解：由题意可知，直线l过左焦点F1，作出图形如下：对于A，由椭圆的定义可知，|AB|+|AF2|+|BF2|4a，|AB|4am，故A错误；对于B，联立方程y=k(x+c)x2a2+y2b2=1，消去y得：(1a2+k2b2)x2+2ck2b2x+k2c2b2-1=0，由韦达定理可得，x1+x2=-2ck2a2b2+a2k2，y1+y2k（x1+x2）+2kc=2kcb2b2+a2k2，AB的中点弦的斜率为kOM=y1+y2x1+x2=-b2a2k，kOMk=-b2a2，故B正确；对于C，显然，当ABx轴时，|AB|最短，此时(-c)2a2+y2b2=1，y=±b2a，|AB|=2b2a，但是由于直线AB的斜率k是存在的，直线AB不会垂直于x轴，所以|AB|2b2a，故C错误；对于D，设A（x0，y0），则有AF1=（cx0，y0），AF1AF2=-c2+x02+y02=3c2，x02+y02=4c2，即点A在以原点为圆心，2c为半径的圆上，故原题等价于x2+y2=4c2x2a2+y2b2=1有解，解得x2=1-4c2b21a2-1b2，则必有x20x2a2，即4c2b2=a2-c24c2a2，解得55e12，故D错误故选：B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过点（1，2）且与圆x2+y21相切的直线方程为3x4y+50或x1【解答】解：设切线方程为y2k（x1），即kxy+2k0由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|2-k|k2+1=1，解得k=34，其方程为3x4y+50又，当斜率不存在时，切线方程为x1故答案为：3x4y+50或x114（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1AD60°，BAD90°，AB3，AD2，AA13，M是底面ABCD的中心，设AB=a，AD=b，AA1=c，则D1M=12a-12b-c（用a，b，c表示），D1M的长度为 432【解答】解：如图，取ABCD的中心M，连接D1M，AM，则D1M=AM-AD1=12(AB+AD)-(AA1+AD)=12(a+b)-(c+b)=12a-12b-c，D1M2=（12a-12b-c）2=14×32+14×22+32-12ab-ac+bc=94+1+9-12×3×2×0-3×3×12+2×3×12 =434则|D1M|=432，故答案为：12a-12b-c；43215（5分）已知抛物线C：x28y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且PF=2FQ，则|MQ|17【解答】解：如图，过点P做PD垂直于准线l，由抛物线定义得|PF|PD|，焦点坐标（0，2），准线方程y2因为PF=2FQ，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x12x2，则直线PQ方程为ykx+2，联立x2=8yy=kx+2，消去y得x28kx160，解得x142，x222，P（42，4），Q（22，1），直线的斜率为k=24，直线方程：y=24x+2，所以y=-2y=24x+2，解得M（42，2），|MQ|=(-22+42)2+(1+2)2=17故答案为：1716（5分）已知曲线C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN|12，则PMN的周长是 26【解答】解：ca=12，a2c，b=a2-c2=3c，又|PF1|PF2|a，|F1F2|2ca，PF1F2为正三角形，MN直线垂直平分PF2，|NP|NF2|，|MP|MF2|，PMN的周长为|NP|+|MP|+|MN|NF2|+|MF2|+|MN|4a，PF1F2为正三角形，MN直线垂直平分PF2，易得直线MN的倾斜角为30°，直线MN的斜率为13，设直线MN方程为x=3yc，a2c，b=3c，双曲线方程可化为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y212c20，联立x=3y-c3x2+4y2-12c2=0，可得13y2-63cy-9c2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=1+3|y1-y2|=2×(63c)2-4×13×(-9c2)13=12，16c2169，c=134，a2c=132，PMN的周长为4a26，故答案为：26四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知3a=5c，cosC=45（1）求sinA的值；（2）若b4，求ABC的面积【解答】解：（1）在ABC中，由cosC=450所以C(0，2)，且sinC=1-cos2C=353a=5c，ac=53，由正弦定理asinA=csinC，可得sinA=asinCc=acsinC=53×35=55（2）由3a=5，可得a=53cc，AC，故A(0，2)，又sinA=55，cosA=255，sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=255，由正弦定理可得：asinA=bsinB=4255=25，SABC=12absinC=12×2×4×35=12518（12分）如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC（1）求证：PQ平面BCD；（2）若DADBDC4，BDC90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值【解答】解：（1）证明：过P作PSMD，交BD于S，过Q作QRMD，交CD于R，连接RS，PSMD，P是BM的中点，S是BD的中点，且PS=12MD，QRMD，AQ3QC，M是AD的中点，QR=14AD=12MD，QRPS，且QRPS，四边形PQRS为平行四边形，PQSR，PQ平面BCD，SR平面BCD，PQ平面BCD（2）以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，4），B（4，0，0），C（0，4，0），P（2，0，1），Q（0，3，1），则BM=（4，0，2），MQ=（0，3，1），AC=（0，4，4），设平面BQM的一个法向量为n=（x，y，z），则nBM=-4x+2z=0nMQ=3y-z=0，取y2，得n=（3，2，6），设AC与平面BQM所成角为，则sin=|ACn|AC|n|=277，则AC与平面BQM所成角的余弦值为：cos=1-(277)2=41719（12分）在平面直角坐标系xOy中：圆C过A（1，0）和B（1，2），且圆心在直线l：2x+y+20上；圆C过E(0，3)，F(1，0)，G(-1，-2)三点（1）在两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x3上的点P（3，4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|【解答】解：（1）选：A（1，0）和B（1，2），AB的垂直平分线方程为yx+1，由y=x+12x+y+2=0，解得x=-1y=0，圆心C（1，0），r|AC|2，圆C的标准方程为（x+1）2+y24；选：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则3+3E+F=01+D+F=01+4-D-2E+F=0，解得D=2E=0F=-3，圆C的方程为x2+y2+2x30，即圆C的标准方程为（x+1）2+y24；（2）由（1）可知圆心C（1，0），半径为r2，由已知可得QR在以CP为直径的圆上，CP为直径的圆的方程为（x+1）（x3）+y（y+4）0，x2+y22x+4y30，直线QR的方程4x4y0，即xy0，圆心C到直线QR的距离为d=|-1-0|2=22，|QR|24-12=1420（12分）已知圆：x2+y24上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足CN=22MN（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求OAB面积的最大值【解答】解：（1）设C（x，y），动点M（m，n），由CN=22MN，可得mx，n=2y，M（m，n）在圆：x2+y24上，m2+n24，x2+2y24，动点C的轨迹方程为x24+y22=1；（2）由题意，设直线l的方程为1，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+1x2+2y2=4，消去x得，即（m2+2）y2+2my30，所以y1+y2=-2m2+m2，y1y2=-32+m2，所以|AB|=1+m2×(y1+y2)2-4y1y2=1+m2×(-2m2+m2)2-4×(-32+m2)=1+m2×24m2+62+m2，而O到AB的距离d=|1|1+m2，所以SAOB=12|AB|d=121+m2×24m2+62+m2×|1|1+m2=4m2+62+m2，设4m2+6=t6，则m2=14（t26），所以SAOB=t2+14(t2-6)=114t+12t，t4+12t在6，+）上单调递增，所以AOB面积的最大值为62，此时m021（12分）如图，在四棱锥SABCD中，满足ABAD，ABBC，SA底面ABCD，AD1，AB=3，BC3（1）求证：平面SBD平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64，求B到平面SCD的距离【解答】解：（1）证明：连接BD，AC，交于点E，在平面ABCD内，ABAD，ABBC，ADBC，ADECBE，AD1，BC3，AE=13EC，BE3ED，AB=3，又ABAD，ABBC，BD=3+1=2，AC=3+9=23，AE=14AC=32，BE=34BD=32，AE2+BE2=34+94=3AB2，AEBE，BDAC，又SA平面SBD，BD平面ABCD，SABD，SAACA，BD平面SAC，BD平面SBD，平面SBD平面SAC（2）SA平面ABCD，AD，AB平面ABCD，SAAB，SAAD，又ABAD，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ASt，（t0），则S（0，0，t），A（0，0，0），B（0，3，0），D（1，0，0），C（3，3，0），SD=（1，0，t），DC=（2，3，0），设平面SDC的法向量为m=（x，y，z），则mSD=x-tz=0mDC=2x+3y=0，取z1，得xt，y=-2t3，m=（t，-2t3，1），平面SAB的法向量为n=（1，0，0），平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64，|t|1×t2+4t23+1=64，解得t=3，SC=SA2+AC2=3+12=15，DC=3+(3-1)2=7，SD=SA2+AD2=3+1=2，cosSDC=SD2+DC2-SC22SDDC=4+7-152×2×7=-77，SDC（0，），sinSDC=427，SSCD=12SDDCsinSDC=12×2×7×427=6，设B到平面SCD的距离为h，由VBSCDVSBCD，得13×6h=13×12×3×3×3，解得h=364，B到平面SCD的距离为36422（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+40的距离小2（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率为k1，k2的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中k1+k2=12设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FDAB，垂足为D试问：是否存在定点T，使得线段TD的长度为定值若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+40的距离小2，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离与到直线x+20的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C是以点F（2，0）为焦点，以直线x+20为准线的抛物线，设抛物线方程为y22px（p0），则p2=2，p4，曲线C的方程为y28x；（2）由题意可知，k10，k20，k1k2，直线MN的方程为yk1（x2），联立方程y=k1(x-2)y2=8x，消去y得，k12x2-(4k12+8)x+4k12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x24+8k12，y1+y2k1（x12）+k1（x22）k1（x1+x2）4k1=8k1，A（2+4k12，4k1），同理可得B（2+4k22，4k2），直线AB的方程为y=k1k2k1+k2（x2-4k12）+4k1=k1k2k1+k2（x2）+4k1+k2，又k1+k2=12，直线AB的方程为y2k1k2（x2）+8，直线AB过定点（2，8），设该点为E（2，8），又FDAB，点D在以EF为直径的圆上，E（2，8），F（2，0），|EF|=(2-2)2+82=8，EF的中点坐标为（2，4），以EF为直径的圆的方程为（x2）2+（y4）216，存在定点T（2，4），使得线段TD的长度为定值；学号：3710394