2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷含答案.docx

2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）直线x=-33的倾斜角为（）A0B6C2D562（5分）已知n1=(3，x，2)，n2=(-3，3，-23)分别是平面，的法向量，若，则x（）A7B1C1D73（5分）抛物线y2x2的准线方程为（）Ay=-18By=-12Cx=-18Dx=-124（5分）数列an满足an-1+1an=1(n2)，若a201，则a1（）A1B12C1D25（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知抛物线C：y22x，从点P（m，2）（m2）发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（）A-12B1C2D46（5分）已知圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y28x+6y+m0相内切，则C1与C2的公切线方程为（）A3x4y50B3x4y+50C4x3y50D4x3y+507（5分）如图，在四面体ABCD中，ABBD，CDBD，若AB3，BD=23，CD2，AC=19，则平面ABD与平面CBD的夹角为（）A6B4C3D28（5分）已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（）A13B12C33D32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知曲线C1：4x2+3y248，C2：x2-y23=1，则（）AC1的长轴长为4BC2的渐近线方程为y=±3xCC1与C2的焦点坐标相同DC1与C2的离心率互为倒数（多选）10（5分）已知直线l：k2xy10，则（）Al不过第二象限Bl在y轴上的截距为1C不存在k使l与直线kxy10平行D存在k使l被圆x2+y24截得的线段长为2（多选）11（5分）记数列an的前n项和为Sn，已知an=(-1)n(2n-11)，则（）AS2040BS9+S110Canan+1有最大值1Dan+2an无最小值（多选）12（5分）在棱长为22的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P均为侧面BCC1B1内的动点，且满足AM3，点N在线段B1C上，点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，则（）AANBD1B平面B1D1N平面A1C1DC直线AM与D1C1所成的角为定值DMP的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，若PD=xPA+yPB+zPC，则xyz 14（5分）记公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若S93（a3+ak2+ak+2），则k 15（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，若AC1=(2，3，1)，则B1到平面ACD1的距离为 16（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N，若四边形F1MF2N的周长为4，则C的焦距的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y1，2xy+70，点P（1，2）在边BC上（1）若ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程18（12分）已知各项均为正数的等比数列an满足a2a3a4，3a3+2a4a5（1）求an的通项公式；（2）令bnlog3a3n，将数列an与bn中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列cn，求cn的前50项的和19（12分）已知直线xy20经过抛物线C：y22px（p0）的焦点F，且与C交于A，B两点（1）求C的方程；（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABAC2，AA1=22M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点（1）求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值；（2）线段A1N上是否存在点Q，使得PQ平面A1CM？21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，bn是等差数列，且Sn+1=12Sn+1，b1a12，b5是a3，b3的等差中项（1）求an，bn的通项公式；（2）记Tn=b1an+b2an-1+b3an-2+bna1，求证：Tn+1bn22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2（|F1F2|10），上顶点为A，AF1AF2，且F1到直线l：x-2y+5=0的距离为433（1）求C的方程；（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且|MN|=23，求PMN面积的取值范围2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）直线x=-33的倾斜角为（）A0B6C2D56【解答】解：因为直线x=-33与x轴垂直，故直线x=-33的倾斜角为2故选：C2（5分）已知n1=(3，x，2)，n2=(-3，3，-23)分别是平面，的法向量，若，则x（）A7B1C1D7【解答】解：因为n1=(3，x，2)，n2=(-3，3，-23)分别是平面，的法向量，且，所以n1n2，即3-3=x3=2-23，解得x1故选：B3（5分）抛物线y2x2的准线方程为（）Ay=-18By=-12Cx=-18Dx=-12【解答】解：抛物线方程可化为x2=12y，p=14，抛物线y2x2的准线方程为y=-p2=-18故选：A4（5分）数列an满足an-1+1an=1(n2)，若a201，则a1（）A1B12C1D2【解答】解：令b1a201，则b2=a19=1-1a20=2，b3=a18=1-1a19=12，b4=a17=1-1a18=-1，故数列bn是以3为周期的周期数列，a1b20b3×6+2b22，故选：D5（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知抛物线C：y22x，从点P（m，2）（m2）发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（）A-12B1C2D4【解答】解：抛物线C：y22x的焦点坐标为F(12，0)，设A（xA，2），B（xB，yB），点A在抛物线上，xA=42=2，又A，B，F三点在一条直线上，直线AB的斜率为kAF=2-02-12=43，即直线AB的方程为y=43(x-12)，联立y=43(x-12)y2=2x，整理得2y23y20，2yB1，解得yB=-12，故选：A6（5分）已知圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y28x+6y+m0相内切，则C1与C2的公切线方程为（）A3x4y50B3x4y+50C4x3y50D4x3y+50【解答】解：圆C1：x2+y21的圆心C1（0，0），r11，圆C2：x2+y28x+6y+m0可化为（x4）2+（y+3）225m，（m25），则其圆心为C2（4，3），半径为r2=25-m，因为圆C1与圆C2相内切，所以r21|C1C2|，即r2=42+32+1=6，故m11由x2+y2=1x2+y2-8x+6y-11=0，可得4x3y+50，即C1与C2的公切线方程为4x3y+50故选：D7（5分）如图，在四面体ABCD中，ABBD，CDBD，若AB3，BD=23，CD2，AC=19，则平面ABD与平面CBD的夹角为（）A6B4C3D2【解答】解：设平面ABD与平面CBD的夹角为0，2，由题意可得：ABBD=0，BDDC=0，ABDC=|AB|DC|cosAB，DC=3×2cos(-)=-6cos，AC=AB+BD+DC，则AC2=(AB+BD+DC)2=AB2+BD2+DC2+2ABBD+2ABDC+2BDDC，即199+12+412cos，解得cos=12，由0，2，可得=3，故平面ABD与平面CBD的夹角为3故选：C8（5分）已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（）A13B12C33D32【解答】解：F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得|PF|minac过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，|MN|=2b2a|MN|等于|PF|的最小值的3倍，2b2a=3(a-c)椭圆中a2b2c2，2（a2c2）3a23ac，即2c23ac+a20，则2c2a2-3aca2+a2a2=0，e=ca，2e23e+10，解得e=12或e1（舍）故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知曲线C1：4x2+3y248，C2：x2-y23=1，则（）AC1的长轴长为4BC2的渐近线方程为y=±3xCC1与C2的焦点坐标相同DC1与C2的离心率互为倒数【解答】解：曲线C1：4x2+3y248整理得x212+y216=1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a12=16，b12=12，所以c12=a12-b12=4，离心率为e1=c1a1=24=12，故曲线C1的长轴长2a18，故A错误；曲线C2：x2-y23=1是焦点在x轴上的双曲线，其中a22=1，b22=3，所以c22=a22+b22=4，离心率为e2=c2a2=21=2，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误；C2：x2-y23=1的渐近线方程为y=±3x，故B正确；又e1e2=12×2=1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确故选：BD（多选）10（5分）已知直线l：k2xy10，则（）Al不过第二象限Bl在y轴上的截距为1C不存在k使l与直线kxy10平行D存在k使l被圆x2+y24截得的线段长为2【解答】解：对于A：当x0时，yk2x10恒成立，即l不过第二象限，故A正确；对于B：令x0，y1，即l在y轴上的截距为1，故B错误；对于C：若直线yk2x1和ykx1平行，则k2k，且11，与11矛盾，即不存在k使l与直线kxy10平行，故C正确；对于D：若l被圆x2+y24截得的线段长为2，则直线l到圆心的距离为3，但是圆心到直线l的距离11+k43，即不存在k使l被圆x2+y24截得的线段长为2，故D错误；故选：AC（多选）11（5分）记数列an的前n项和为Sn，已知an=(-1)n(2n-11)，则（）AS2040BS9+S110Canan+1有最大值1Dan+2an无最小值【解答】解：对于A，因为an=(-1)n(2n-11)，当nN*且为奇数时，an+an+1（2n11）+2（n+1）112，所以S20（a1+a2）+（a3+a4）+（a19+a20）2×1020，故A错误；对于B，S9（a1+a2）+（a7+a8）+a92×4（2×911）1，S11（a1+a2）+（a9+a10）+a112×5（2×1111）1，所以S9+S110，故B正确；对于C，因为n与n+1必然一奇一偶，所以anan+1=-(2n-11)2(n+1)-11=-4n2+40n-99=-4(n-5)2+1，当n5时，anan+1取得最大值1，故C正确；对于D，因为n与n+2必然同为奇数或同为偶数，所以an+2an=2(n+2)-112n-11=2n-11+42n-11=1+42n-11，令bn=1+42n-11，则bn+1=1+42n-9，所以bn+1-bn=42n-9-42n-11=-8(2n-9)(2n-11)，令（2n9）（2n11）0，得92n112，又nN*，即n5，此时bn+1bn0，即b6b50，即b6b5，令（2n9）（2n11）0，得n92或n112，又nN*，即n4或n6，当n4时，此时bn+1bn0，即b5b4b1，同时b5=1+42×5-11=-3，当n6时，bn=1+42n-110，即bnb5，综上：bn有最小值b53，即an+2an有最小值3，故D错误故选：BC（多选）12（5分）在棱长为22的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P均为侧面BCC1B1内的动点，且满足AM3，点N在线段B1C上，点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，则（）AANBD1B平面B1D1N平面A1C1DC直线AM与D1C1所成的角为定值DMP的最小值为2【解答】解：以A为原点，分别以AD，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B(0，22，0)，D(22，0，0)，B1(0，22，22)，D1(22，0，22)，C（22，22，0），A1(0，0，22)，C1(22，22，22)，所以BD1=(22，-22，22)，B1D1=(22，-22，0)，B1C=(22，0，-22)，A1C1=(22，22，0)，DA1=(-22，0，22)，D1C1=(0，22，0)，对于A，因为点N在线段B1C上，所以B1N=B1C=(22，0，-22)(01)，所以N(22，22，22-22)，所以AN=(22，22，22-22)，所以ANBD1=0，故ANBD1，所以ANBD1，故A正确；对于B，因为点N在线段B1C上，所以平面B1D1N为平面B1D1C，设面B1D1C的一个法向量为n1=(x，y，z)，则B1D1n1=22x-22y=0B1Cn1=22x-22z=0，令x1，则y1，z1，故n1=(1，1，1)，设面A1C1D的一个法向量为n2=(a，b，c)，则A1C1n2=22a+22b=0DA1n2=-22a+22c=0，令a1，则b1，c1，故n2=(1，-1，1)，因为n1n2=10，所以平面B1D1N与平面A1C1D不垂直，故B错误；对于C，因为M为侧面BCC1B1内的动点，AM3，所以设M(d，22，f)，则AM=(d，22，f)，所以cosAM，D1C1=AMD1C1|AM|D1C1|=83×22=223，所以直线AM与D1C1所成的角为定值，故C正确；对于D，由C选项可得|AM|=d2+8+f2=3即d2+f21，所以M的轨迹是以B为圆心，半径为3的圆上（且在侧面BCC1B1内），在平面BCC1B1内过P点作PQB1C，垂足为Q，易得A1B1平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，所以A1B1PQ，因为A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1CD，所以PQ平面A1B1CD，所以点P到平面A1B1CD的距离为PQ的长度，即P到B1C的距离，所以点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，等价于点P到点C1的距离与到B1C的距离相等，满足抛物线的定义，所以点P的轨迹为以C1为焦点，准线为直线B1C的抛物线，以线段BC1的四等分点O（靠近C1）为坐标原点，以BC1为m轴的正方向进行平面直角坐标系，由|BC1|4可得C1（1，0），直线B1C为m1，则点P的轨迹为n24m，所以|MP|min|BP|min1，由图可得当P与O点重合时，|BP|min3，故|MP|min2，故D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，若PD=xPA+yPB+zPC，则xyz1【解答】解：因为四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，所以PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB，又因为PD=xPA+yPB+zPC，所以x1，y1，z1，故xyz1故答案为：114（5分）记公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若S93（a3+ak2+ak+2），则k6【解答】解：因为an是公差不为0的等差数列，设公差为d，所以S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5，ak2+ak+22ak，又S93（a3+ak2+ak+2），所以9a53（a3+2ak），即3a5a3+2ak，则3（a1+4d）a1+2d+2a1+（k1）d，所以2（k1）d10d，又d0，所以k15，则k6故答案为：615（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，若AC1=(2，3，1)，则B1到平面ACD1的距离为 127【解答】解：因为AC1=(2，3，1)，所以AB2，AD3，AA11，AC=(2，3，0)，AD1=(0，3，1)，AB1=(2，0，1)，设平面ACD1的法向量为n=(x，y，z)，由ACn=0AD1n=0，可得2x+3y=03y+z=0，取y2，则n=(-3，2，-6)，即B1到平面ACD1的距离为|ABn|n|=|-6-6|7=127故答案为：12716（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N，若四边形F1MF2N的周长为4，则C的焦距的取值范围为 2，2)【解答】解：由题意得点M、N关于x轴对称，且|MF2|b，由双曲线的定义得|MF1|b+2a，由题意可|MF1|+|MF2|2a+2b2，即a+b1，则b（0，1），c2=a2+b2=(1-b)2+b2=2b2-2b+1=2(b-12)2+1212，1)，22c1，即22c2当b=12时，a=12，c=22，此时bca，即此时以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，符合题意，故C的焦距的取值范围为2，2)故答案为：2，2)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y1，2xy+70，点P（1，2）在边BC上（1）若ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程【解答】解：（1）由ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y1，2xy+70，可知角A不是直角，若角B是直角，由点P在边BC上，得边BC所在直线的方程为x1；若角C是直角，由边AC所在直线的方程为2xy+70，得边BC所在直线的斜率为-12，又点P在边BC上，所以边BC所在直线的方程为y-2=-12(x-1)，即x+2y50，综上所述，边BC所在直线的方程为x+2y50或x1；（2）由题意可设B（m，1），由P为BC的中点，得C（2m，5），将点C的坐标代入边AC所在直线的方程2xy+70，得2（2m）5+70，所以62m0，解得m3，所以C（1，5），得边BC所在直线的斜率为5-2-1-1=-32，所以边BC所在直线的方程为y-2=-32(x-1)，即3x+2y7018（12分）已知各项均为正数的等比数列an满足a2a3a4，3a3+2a4a5（1）求an的通项公式；（2）令bnlog3a3n，将数列an与bn中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列cn，求cn的前50项的和【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，由题意得a2a3=a1a4=a43a3+2a3q=a3q2，因为等比数列an中a30，a40，所以a1=13+2q=q2，又q0，解得q3，所以an=1×3n-1=3n-1，即an的通项公式为an=3n-1（2）由（1）知bn=log333n-1=3n-1，因为b45134，a5=35-1=81134，a6=36-1=243134，所以cn的前50项是由an的前5项与bn的前45项组成，记cn的前50项的和为S50，则S50（a1+a2+a3+a5）+（b1+b2+b3+b45）（1+3+32+33+34）+2+5+8+（3×451）=1-351-3+2+(3×45-1)2×45=121+30603181所以cn的前50项的和为318119（12分）已知直线xy20经过抛物线C：y22px（p0）的焦点F，且与C交于A，B两点（1）求C的方程；（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程【解答】解：（1）依题意，抛物线C的焦点F(p2，0)在直线xy20上，则p2-2=0，解得p4，所以C的方程为y28x（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为x2，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由x-y-2=0y2=8x，消去y得x212x+40，则x1+x212，有x0=x1+x22=6，y0x024，即M（6，4），因此线段AB的中垂线方程为y4（x6），即yx+10，令y0，得x10，设所求圆的圆心为E，则E（10，0），又AB过C的焦点F，则有|AB|AF|+|BF|x1+2+x2+216，设所求圆的半径为r，则r2=(|AB|2)2+|ME|2=82+42+42=96，故所求圆的方程为（x10）2+y29620（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABAC2，AA1=22M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点（1）求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值；（2）线段A1N上是否存在点Q，使得PQ平面A1CM？【解答】解：（1）以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为A1，C，M的坐标分别为(0，0，22)，（2，0，0），（0，1，0），所以A1C=(2，0，-22)，A1M=(0，1，-22)设n=(x，y，z)是平面A1CM的法向量，则nA1C=2x-22z=0nA1M=y-22z=0，取z=2，则x2，y4，则n=(2，4，2)是平面A1CM的一个法向量P点坐标为(1，1，2)，所以A1P=(1，1，-2)设A1P与平面A1CM所成的角为，则sin=|nA1P|n|A1P|=|2+4-2|22×4=2211（2）由A1，N的坐标分别为(0，0，22)，(1，1，22)，故A1N=(1，1，0)，设A1Q=A1N(01)，则A1Q=(，0)，得Q(，22)，又P点坐标为(1，1，2)，所以直线PQ的一个方向向量PQ=(-1，-1，2)，若PQ平面A1CM，需nPQ，从而nPQ=0，即2（1）+4（1）+20，解得=23，这样的点P存在所以线段A1N上存在点Q，使得PQ平面A1CM，此时，Q为线段A1N上靠近点N的三等分点21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，bn是等差数列，且Sn+1=12Sn+1，b1a12，b5是a3，b3的等差中项（1）求an，bn的通项公式；（2）记Tn=b1an+b2an-1+b3an-2+bna1，求证：Tn+1bn【解答】解：（1）因为Sn+1=12Sn+1，所以当n2时，得Sn-1+1=12Sn，两式作差得，当n2时，an=12an+1，即n2时，an+12an，又a12，S1+1=12S2，得3=12(2+a2)，解得a24，所以a22a1，所以an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n；设等差数列bn的公差为d，因为b5是a3，b3的等差中项，所以a3+b32b5，又b12，所以23+2+2d2（2+4d），解得d1，所以bn2+（n1）×1n+1，故an=2n，bnn+1；（2）证明：由（1）知Tn=22n+32n-1+42n-2+n+12，2Tn=22n-1+32n-2+42n-3+n2+(n+1)，得-Tn=22n+12n-1+12n-2+12-(n+1)=22n+12(1-12n-1)1-12-(n+1)=-n，所以Tnn，所以Tn+1n+1bn，即Tn+1bn22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2（|F1F2|10），上顶点为A，AF1AF2，且F1到直线l：x-2y+5=0的距离为433（1）求C的方程；（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且|MN|=23，求PMN面积的取值范围【解答】解：（1）根据题意可得b=c|-c+5|3=433a2=b2+c2c5，解得b=c=1a=2，C的方程为x22+y2=1；（2）证明：设这组平行线的方程为x-2y+m=0，联立x22+y2=1，得4y2-22my+m2-2=0，设两交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=(22m)2-16(m2-2)0，2m2，y1+y2=22my1y2=-12，设直线x-2y+m=0被C截得的线段的中点为B（x，y），则y=y1+y22=24m，x=2y-m=-m2，消去m，得x+2y=0，这些直线被C截得的线段的中点均在直线x+2y=0上；（3）由（2）知，l与C相离，当直线x-2y+m=0与C相切时，=(22m)2-16(m2-2)=0，解得m2或m2当m2时，直线与l的距离为d1=|5+2|3=733，此时SPMN=12×23×733=7，当m2时，直线与l的距离为d2=|5-2|3=3，此时SPMN=12×23×3=3，PMN面积的取值范围为3，7