广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案.docx

龙华区2022-2023学年第一学期期末学业质量监测试卷高一数学说明：1.本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的条形码贴在答题卡上.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.4.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据补集和并集的定义运算即得.【详解】全集，集合，所以，因此，.故选：D.2. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，故选：B3. 下列条件中，使成立的充要条件是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.【详解】对A，取，则，错误；对B，取，则，错误；对C，正确；对D，取，则无意义，错误.故选：C4. 下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；对B，函数是非奇非偶函数，故错误；对C，函数是非奇非偶函数，故错误；对D，函数是奇函数，在上单调递增，故正确.故选：D5. 神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为千米，每分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（）（ ）A. 千米/秒B. 千米/秒C. 千米/秒D. 千米/秒【答案】A【解析】【分析】求出半径，再根据圆的周长公式求出运行的长度，除以时间即可得到速度.【详解】根据直径为千米，则半径为6210千米，则运行速度千米/秒.故选：A.6. 已知，则的化简结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为，所以，则，所以.故选：A7. 已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】，因为函数是正实数集上的增函数，所以有故选：C8. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.【详解】由已知得， ，所以，由零点的存在定理得，的零点所在的区间为，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列是函数图象的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解.【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.10. 下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.【详解】A，最小正周期为，在区间上单调递增，故A正确；B，最小正周期为，且在上单调递增，故B正确；C，最小正周期为，且在上不具有单调性，故C错误；D，最小正周期为，且在上单调递减，故D错误.故选：AB.11. 已知函数，下列说法正确是（ ）A. 的定义域是B. 的图象关于原点对称C. D. 当时，最小值为【答案】BC【解析】【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数解析式可得函数值可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.【详解】对A，由函数，其定义域为，故A错误；对B，故函数为奇函数，故B正确；对C，因为，故C正确；对D，当时，则，故D错误.故选：BC.12. 已知函数的定义域为，若对，均有，则称函数具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可.【详解】A：，因此本函数不具有“倒负”变换性质；B：，因此本函数具有“倒负”变换性质；C：当时，当时，因此本函数具有“倒负”变换性质；D：当时，当时，因此本函数具有“倒负”变换性质，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用代入法，结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的定义域是_.【答案】且【解析】【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.【详解】由题意得，解得且，所以定义域为：且故答案为：且14. 化简的值为_.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运算律运算即得.【详解】，故答案为：.15. 已知S市某所新建高中年的绿化面积为，若该校绿化面积的年平均增长率为，则到_年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是.（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可【详解】设经过n年后，该校的绿化面积约是，则由已知得，即，两边取对数得，故答案为：16. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式结合条件即得.【详解】因为，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）当时，求的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）4； （2）或.【解析】【分析】（1）将代入求解； （2）根据，求解即得.【小问1详解】函数， 当时，；【小问2详解】函数的定义域为，因为，所以，即，解得或；所以或.18. 如图所示，在直角坐标系内，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点.（1）用含的式子表示点的坐标；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含的式子表示点的坐标；（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，联立方程组求解即可【小问1详解】依题意得：，由三角函数定义知，所以点的坐标为【小问2详解】法一：因，所以又因为，联立解得或，所以或.法二：因为，所以两边平方得，所以，又因为，所以当时，解得，此时当时，解得，此时或19. 已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最小值.【答案】（1）（） （2）【解析】【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.【小问1详解】设，的单调递增区间是，由，解得，函数的单调递增区间为（）.【小问2详解】，由余弦函数的性质，当，即时，的最小值为，此时，当时，在区间上的最小值为.20. 已知函数，.（1）证明是增函数；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为在上恒成立，再求在上的最大值即可；法二：原不等式可转化为，再通过换元转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可【小问1详解】证明：，且， 因为，函数在上单调递增，所以，又，故，即.因此，是增函数.【小问2详解】法一：由（1）知在上单调递增，所以，所以不等式可变为，即，令，则在上单调递减，当时，取得最大值，所以，综上所求得的取值范围是.法二：由不等式得，整理得，令，即，即，因为，所以，所以要使原不等式恒成立，则有，即，故的取值范围是21. 已知函数.（1）若，证明：；（2）若是定义在上的奇函数，且当时，.（）求的解析式；（）求方程的所有根. 【答案】（1）证明见解析 （2）（）；（），【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.【小问1详解】证明：因为，所以，由基本不等式，当时，即，即；【小问2详解】（）依题意得，当时，因为是定义在上奇函数，所以，代入上式成立，即当时，设，则，所以，所以；（）方程转化成曲线与直线的交点情况，当时，与交于点和点， 由（1）知图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，所以方程有三个根，.22. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线(在上).经测算，若以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线上的任一点在抛物线上，而右侧曲线上的任一点在以为顶点的抛物线上.（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）.若桥墩每米的造价为（万元），桥墩每米的造价为（万元），则当为多少米时，两个桥墩的总造价最低？【答案】（1）120米； （2）32.【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致结合条件即得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得.【小问1详解】由得，所以，解得，即，所以桥的长度为(米)；【小问2详解】设，则，依题意得，由（1）得，所以，所以两个桥墩的总造价，化简得，所以当米时，两个桥墩的总造价最低.