百师联盟2023-2024学年高三上学期一轮复习联考(四)全国卷文科数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司2024 届高三一轮复习联考（四）全国卷届高三一轮复习联考（四）全国卷文科数学试题文科数学试题注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试时间为考试时间为 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数 z 满足2iiz，则复数 z 在复平面内对应的点在第（）象限A一B二C三D四2已知集合1,36kMx xkZ，1,63kNx xkZ，则MN（）ABMCNDQ3已知双曲线2222:10,0 xyCabab的离心率为 e，一条渐近线的斜率为 k，若223ek，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0 xyB20 xyC30 xyD20 xy4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A3 22B3 24C3 25D6 225已知向量a，b满足1a，2ab，25ab，则cos3,ab a（）A22B33C55D1010学科网（北京）股份有限公司6已知tan236，则tan3等于（）A23 B23C23 D17将函数cosyx的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 1 个单位长度，得到函数 f x的图象，则 f x的解析式可以是（）A 11cos22f xxB 1cos12f xxC cos 21f xxD cos 22f xx8已知122a，133b，1eec，则 a，b，c 的大小关系为（）AabcBbacCcabDacb9已知点0,1A，1,0B，动点 C 在圆222xy上，则AB AC 的最大值为（）A1B3C21D310已知正三棱柱111ABCABC的六个顶点均在同一个半径为 1 的球面上，则正三棱柱111ABCABC侧面积的最大值为（）A3B3 3C6D6 311已知点0,1A，1,0B，点 P 为椭圆22:143xyC上的动点，则PAPB的最小值为（）A42B42C22D2212已知函数 21 exf xm xxx在1,22x上有两个极值点，则实数 m 的取值范围为（）A230,2eB231,2eeC1,eD2310,2ee二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知等比数列 na的前 n 项和nS满足33S，627S，则3a _14已知实数 x，y 满足约束条件4,2,5,xyxyx则目标函数2zxy 的最大值为_学科网（北京）股份有限公司15已知正数 a，b 满足22abab，则2ab的最小值为_16在ABC中，D 为 BC 边上一点，满足66BDDC，23BACADC，则ABC的面积为_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（一）必考题：60 分分17（12 分）设数列 na的前 n 项和为nS，满足13a，且对任意正整数 m，均有2m nmnSSSmn（1）求数列 na的通项公式；（2）令1,2nnnanban为奇数为偶数求数列 nb的前 20 项和18（12 分）ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，满足2sin2sin2 sinabAbaBcC（1）求角 C；（2）若sinsin2ABab，求 c 的值19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，90ABC，222ABCDPB，90PBA（1）求证：PBAD；（2）若直线 PD 与 BC 所成的角为 60，求四棱锥PABCD的体积20（12 分）已知抛物线2:20C ypx p，垂直于 x 轴的直线 l 与圆22:11Qxy相切，且与 C 交于不同的两点 A，B，4 2AB（1）求 p；（2）已知1,2P，过 P 的直线与抛物线 C 交于 M，N 两点，过 P 作直线 MQ，NQ 的垂线，与直线 MQ，NQ分别交于 S，T 两点，求证：SQTQ21（12 分）已知函数 eexxf xa，aR学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 f x在 R 上单调递减，求 a 的取值范围；（2）已知1a，12m，1x，lnlng xxmfx，求证：0g x；（3）证明：*111ln515nnnnN（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C的参数方程为3cos,4sinxtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点2 2,4P，曲线2C的极坐标方程为1（1）写出曲线1C的普通方程，曲线2C的直角坐标方程；（2）若 A，B 分别为曲线1C，2C上的动点，当AB取最小值时，求PAB的面积23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f xxaxa（1）当2a 时，求不等式 10f x 的解集；（2）若 1f xa恒成立，求 a 的取值范围学科网（北京）股份有限公司2024 届高三一轮复习联考（四）全国卷届高三一轮复习联考（四）全国卷文科数学参考答案及评分意见文科数学参考答案及评分意见1A 【解析】i 2ii12i2i2i2i55z故选 A2B 【解析】因为 M：16的所有奇数倍构成的集合，N：16的所有整数倍构成的集合故选 B3A 【解析】因为2222223cbekaa，222abc，所以22ab，所以渐近线方程为0 xy故选 A4C 【解析】该几何体为如图所示的四棱柱1111ABCDABC D，其高为 1，底面为等腰梯形 ABCD，该等腰梯形的上底为2，下底为2 2，腰长为 1，故梯形的高为12122，故该几何体表面积1222 22 1 12 12 2 13 2522S 故选 C5D 【解析】因为22222abaa bb，2222445abaa bb，所以0a b，1b，310ab，所以310cos3,103abaab aaba故选 D6C 【解析】因为3tan3tan23631tan3，所以tan1，故tan3tan23313tan 故选 C7A 【解析】函数cosyx的图象上所有点横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到1cos2yx，再将学科网（北京）股份有限公司所得图象向左平移 1 个单位长度，得到 111cos1cos222f xxx，故选 A8A 【解析】6689ab，所以ab，ln3ln3b，1lnelneec 设 ln xf xx，则 21 ln xfxx，令 0fx，得0,ex；令 0fx，得e,x，所以 f x在0,e上单调递增，在e,上单调递减，所以bc，所以abc故选 A9D 【解析】不妨设2cos,2sinC，02因为0,1A，1,0B，则1,1AB ，2cos,2sin1AC，2cos2sin12sin134AB AC 故选 D10B 【解析】解法一：设正三棱柱底面边长为 a，高为 h，则223132ha，即22134ah，三棱柱的侧面积3Sah，所以2222224222727927 1422727444hSa hhhhh，当2h 时等号成立，三棱柱的侧面积3Sah最大值为3 3故选 B解法二：设正三棱柱底面边长为 a，高为 h，则223132ha，因为22221234343ahahah，所以3ah，当且仅当62a，2h 时等号成立，三棱柱的侧面积3Sah最大值为3 3，故选 B11B 【解析】因为1,0B为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为 F，则1,0F，由椭圆的定义得，24PAPBPAaPFPAPF，所以 P 为射线 FA 与椭圆交点时，PAPB取最小值，此时442PAPBAF故选 B12B 【解析】因为函数 21 exf xm xxx在1,22x上有两个极值点，所以 yfx在学科网（北京）股份有限公司1,22x上有两个变号零点，e21xfxmxx，e210 xmxx，21exxmx令 21exxh xx1,22x，2121exxxh xx，令 0h x，得1,12x，令 0h x，得1,2x，h x在1,12上递增，在1,2上递减，102h，11eh，2322eh，231,2eem故选 B13127【解析】由题知公比1q，313131aqSq，6161271aqSq，得6331191qqq，2q，代入得137a，所以3 13312277a故答案为127145【解析】由实数 x，y 满足约束条件4,2,5,xyxyx可得如图可行域，点3,1A，5,1B，5,3C，由图可得目标函数2zxy 过可行域内的点3,1A时取最大值，最大值为5故答案为51592【解析】22abab，22abab，122ab，11212292214222baabababab，当且仅当32ab时等号成立故答案为9216732【解析】由题意得ACBDCA，BACADC，所以CABCDA，所以CACBCDCA，所以7CA 在ADC中，由余弦定理得222212 1cos73ACADAD ，则260ADAD，所以2AD，或3AD （舍），所以ABC面积1772 sin3232S 故答案为732学科网（北京）股份有限公司17解：（1）令1m 得，112nnSSSn，因此1123nnnaSSn，故21nan经检验，1n 时满足上式当 m 为不等于 1 的正整数时，21nan满足题设所以21nan（2）由题意得2,1,2nn nbnn为奇数为偶数20111126 103824620200 1153152222T18解：（1）由题意，根据正弦定理得2222ab aba bc，即222abcab，由余弦定理得2221cos22abcCab，所以23C（2）由正弦定理sinsinsinabcABC，得2sinsinsinabcABC，即22sinsinsinabCABc，因为sinsin2ABab，所以26sin24cC19（1）证明：平面PAB 平面 ABCD，平面PAB平面ABCDAB，90PBA，PB 平面 PAB，PB平面 ABCD又AD 平面 ABCD，PBAD学科网（北京）股份有限公司（2）解：过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AB 于点 E，连接 PE由90ABC，得ABBC，由（1）的证明易知，BC 平面 PAB又PE 平面 PAB，BCPE又DEBC，DEPE直线 PD 与 BC 所成角为 60，DEBC，60PDE由22ABCD，1BECD，1PB，得2PE，63DEBC，梯形 ABCD 面积为16612232S 又PB 平面 ABCD，1PB，四棱锥PABCD的体积1661326V 20（1）解：由题意得 l 的方程为2x，又4 2AB，不妨设2,2 2A，代入抛物线 C，解得2p（2）证明：圆心1,0Q当直线 MQ，NQ 中有一条直线斜率不存在时，不妨设直线 MQ 的斜率不存在，则1,2M，可得0,0N，此时直线 NQ 的斜率为 0，:1MQlx，:0NQly，所以2SQTQ当直线 MQ，NQ 的斜率均存在时，设:12MNlyk x，显然0k 由24,12,yxyk x得2204kyyk学科网（北京）股份有限公司当0 时，设11,M x y，22,N xy，则有124yyk，1242ky yk记直线 MQ 的斜率为1k，直线 NQ 的斜率为2k，则1111ykx，2221ykx，又 M，N 在抛物线上，所以1212121222222221212121212121611481611644y yy yy yk kxxy yyyy yyyy y2222642421481623226416kk kkkkkkkkk记 P 到直线 MQ 的距离为1d，到直线 NQ 的距离为2d，则1121211kdk，同理2222211kdk，所以2112122212112121211111kkkddkkk，即SQTQ综上，原命题得证21（1）解：ee0 xxfxa 对x R恒成立，即2exa 对x R恒成立因为2e0 x，则0a（2）证明：11 1lnln2g xxmxxxxx，只需证明1 1ln02xxx令 1 1ln12h xxxxx，2222211112102222xxxh xxxxx，则 h x在1,单调递减，又 10h，则 0h x 成立，得证（3）证明：法一：由（2）知11ln12xxxx，令1nxn，则有1 11ln1ln21nnnn，学科网（北京）股份有限公司111ln2ln1212nnnn，111ln 5ln 512 515nnnn，累加可得，11111111ln52151101515nnnnnnnn法二：125ln5lnlnln151nnnnnn，由ln11xxx，则11ln 1nn，则1251111111lnlnln1511511515nnnnnnnnnnnnn22解：（1）221:341Cxy，222:1Cxy（2）当AB最小时，A，B 在两圆圆心的连线上，此时AB值为两圆圆心距减去两圆半径，即2230401 13AB 此时直线 AB 的直角坐标方程为43yx，点 P 的直角坐标为2,2，点 P 到直线 AB 的距离为224 23 22534d ，所以PAB的面积112332255SAB d 23解：（1）当2a 时 2,2,224,22,2,2.x xf xxxxx x 由不等式 10f x，结合函数图象，解得55x 即不等式 10f x 的解集为5,5（2）由题意 1f xa，即1xaxaa恒成立，因为2xaxaaxxaa，故21aa，所以21,0,aaa或21,0,aaa解得1a 或13a 所以 a 的取值范围是1,1,3
