高一数学人教a版必修1第一章《集合与函数基本概念》达标检测.docx
人教A版高中数学第一章 集合与函数概念本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=aN|-1a2,B=bZ|-2b<3,则AB=( ) A.0,1B.-1,0,1C.0,1,2D.-1,0,1,22.已知M=x|y=x2+1,N=y|y=x2+1,则MN=( )A.1,+)B.C.(-,1)D.R3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+44.已知函数f(x)=则f(3)的值等于 ( )A.-2B.-1C.1D.25.下列说法正确的个数是( )空集是任何集合的真子集;函数f(x)的值域是-2,2,则函数f(x+1)的值域为-3,1;既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个;若AB=B,则AB=A.A.0B.1C.2D.36.若函数y=ax2+bx+3在(-,-1上是增函数,在-1,+)上是减函数,则( )A.b>0且a<0B.b=2a<0C.b=2a>0D.a,b的符号不确定 7.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )A.-1B.1C.-5D.58.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)9.如图所示,在直角梯形ABCD中,A=90°,B=45°,AB=5,AD=3,点E由点B沿折线B-C-D向点D移动,EMAB于M,ENAD于N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图象大致是( ) 10.若函数f(x+1)的定义域为-1,15,则函数g(x)=的定义域是( )A.1,4B.(1,4C.1,D.(1,11.已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f=1,如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为( )A.-4,0)B.-1,0)C.(-,0D.-1,412.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则实数m的取值范围是( )A.0<m4B.0m1C.m4D.0m4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知f(-1)=x-2,则函数f(x)的解析式为 . 14.已知集合A=1,2,集合B满足AB=1,2,3,则这样的集合B有 个. 15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时, f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a= . 16.函数f(x)=x的函数值表示不超过x的最大整数,例如,-3.5=-4,2.1=2.已知定义在R上的函数g(x)=x+2x,若A=y|y=g(x),0x1,则A中所有元素的和为 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A=x|-1x2,B=x|m+1x2m+3.(1)当m=1时,求AB;(2)若AB=A,求实数m的取值范围. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=是R上的偶函数.(1)求实数m的值;(2)判断并用定义法证明函数y=f(x)在(-,0)上的单调性. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时, f(x)=-1.(1)用定义法证明f(x)在(0,+)上是减函数;(2)当x<0时,求函数f(x)的解析式. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0),满足f(0)=2, f(x+1)-f(x)=2x-1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x-1,2时,求函数f(x)的最大值和最小值. 21.(本小题满分12分)设a,bR,若函数f(x)在定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)的定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x0,1时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x10,2,总存在x2,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围. 22.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1 000元,该店还应支付的其他费用为每月10 000元.(1)把y表示为x的函数;(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出). 答案全解全析 第一章 集合与函数概念本章达标检测一、选择题1.C A=aN|-1a2=0,1,2,B=bZ|-2b<3=-2,-1,0,1,2,所以AB=0,1,2.故选C.2.A 因为M=x|y=x2+1=R,N=y|y=x2+1=1,+),所以MN=1,+),故选A.3.A B中函数非奇非偶,C中函数是奇函数,均不正确,A、D中函数均为偶函数,A中函数在(0,+)上递增,D中函数在(0,+)上递减,因此A正确,故选A.4.B 由分段函数可知f(3)=f(2)-f(1),而f(2)=f(1)-f(0),f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1,故选B.5.C 由空集不是它本身的真子集知,错误;由f(x)与f(x+1)的值域相同知,错误;设f(x)=0,且xD,D是关于原点对称的区间,则f(x)既是奇函数又是偶函数,由于D有无数个,故f(x)有无数个,正确;由AB=B,得AB,从而AB=A,正确.故选C.6.B 由已知可得,函数y=ax2+bx+3的图象开口向下,且图象的对称轴方程为x=-1,所以所以b=2a<0.故选B.7.D 令y=g(x)=f(x)+x,f(2)=1,g(2)=f(2)+2=1+2=3.函数g(x)=f(x)+x是偶函数,g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得f(-2)=5.8.D 因为函数y=f(x+8)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在(8,+)上为减函数,所以f(x)在(-,8)上为增函数,所以f(x)在x=8处取得最大值,并且f(6)<f(7), f(6)<f(9), f(7)=f(9), f(7)>f(10).故选D.9.C EMAB,B=45°,EM=MB=x,AM=5-x.当点E在BC上运动时,即当0<x3时,y=x(5-x)=-+;当点E在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此时y=-3x+15,3<x<5.y与x的函数关系为y=画出大致图象如选项C所示.故选C.10.B 设x+1=t,则f(x+1)=f(t).f(x+1)的定义域为-1,15,0x+116,即0t16,y=f(t)的定义域为0,16,要使函数g(x)=有意义,必须满足即解得1<x4,故选B.11.B 令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.又由f(-x)+f(3-x)-2,可得f(x2-3x)f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+),且对于0<x<y,都有f(x)>f(y),所以即解得-1x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)-2的解集为-1,0).12.D 依题意得,无论x取何值,mx2+mx+1均不取负值.当m=0时,mx2+mx+1=1>0,符合题意;当m0时,由二次函数y=mx2+mx+1的图象上的点均不在x轴下方知:解得0<m4.综上所述,0m4,故选D. 二、填空题13.答案 f(x)=x2-1(x-1)解析 令t=-1,得=t+1,且t-1,因此f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t-1).故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x-1).14.答案 4解析 由AB=1,2,3知,3B,所以满足题意的集合B可以是3,1,3,2,3,1,2,3.共4个.15.答案 -1解析 当x0时, f(x)=x(x+1)0.因为f(a)=-2,所以a<0,又因为f(x)为R上的奇函数,所以f(a)=-f(-a)=-2,即f(-a)=-a(-a+1)=2,解得a=-1或a=2(舍),所以a=-1.16.答案 4解析 当x时,02x<1,g(x)=x+2x=0;当x时,12x<2,g(x)=x+2x=1;当x=1时,2x=2,g(x)=x+2x=3,所以A=y|y=g(x),0x1=0,1,3,所以A中所有元素的和为4. 三、解答题17.解析 (1)当m=1时,B=x|2x5,因此AB=2.(2)AB=ABA,当B=时,即m+1>2m+3,即m<-2,符合题意;当B时,要满足BA,则 -2m-. 综上所述,当AB=A时,实数m的取值范围是(-,-2)=.18.解析 (1)因为函数f(x)=是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即=对任意实数x恒成立,解得m=0.(2)由(1)得f(x)=,此函数在(-,0)上为增函数.证明:任取x1,x2(-,0)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1,x2(-,0),且x1<x2,所以(1+)(1+)>0,x2+x1<0,x2-x1>0,即f(x1)-f(x2)<0,所以函数f(x)=在(-,0)上单调递增.19.解析 (1)证明:在(0,+)上任取x1,x2,且0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=.0<x1<x2,x1x2>0,x2-x1>0,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)在(0,+)上是减函数.(2)若x<0,则-x>0,f(-x)=-1,又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-1,即f(x)=-1(x<0).20.解析 (1)由f(0)=2,得c=2,又由f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故解得所以f(x)=x2-2x+2.(2)由(1)得f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以其图象的对称轴方程为x=1,且其图象的开口向上,所以f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(-,1).(3)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴x=1在区间-1,2内,所以f(x)min=f(1)=1,又f(-1)=5,f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.21.解析 (1)证明:g(x)=,x(-,-1)(-1,+),a=-1,b=5,g(-2-x)=.g(x)+g(-2-x)=+=10,即对任意的x(-,-1)(-1,+),都有g(x)+g(-2-x)=10成立.函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(2)g(x)=5-,易知g(x)在-,1上单调递增,g(x)在x-,1时的值域为-1,4.记函数y=h(x),x0,2的值域为A.若对任意的x10,2,总存在x2,使得h(x1)=g(x2)成立,则A-1,4.x0,1时,h(x)=x2-mx+m+1,h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心点(1,2).(i)当0,即m0时,函数h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,函数h(x)在(0,2)上单调递增.易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则A=m+1,3-m.由A-1,4,得解得-1m0.(ii)当0<<1,即0<m<2时,函数h(x)在0,上单调递减,在,1上单调递增.由对称性,知h(x)在1,2-上单调递增,在2-,2上单调递减.函数h(x)在0,上单调递减,在,2-上单调递增,在2-,2上单调递减.结合对称性,知A=h(2),h(0)或A=h,h2-.0<m<2,h(0)=m+1(1,3).又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m(1,3).易知h=-+m+1(1,2).又h+h2-=4,h2-(2,3).当0<m<2时,A-1,4成立.(iii)当1,即m2时,函数h(x)在(0,1)上单调递减.由对称性,知h(x)在(1,2)上单调递减.函数h(x)在(0,2)上单调递减.易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则A=3-m,m+1.由A-1,4,得解得2m3.综上可知,实数m的取值范围为-1,3.22.解析 (1)当40x60时,设AB的方程为y=k1x+b1,将A,B两点坐标代入方程得解得所以AB的方程为y=-2x+140;当60<x80时,同理可得BC的方程为y=-x+50.所以y=(2)设该店有职工m名,当x=50时,该店总收入为100(-2x+140)(x-40)=40 000(元),又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,所以依题意得40 000=1 000m+10 000,解得m=30.所以此时该店有30名职工.(3)设月利润用S表示,若该店只有20名职工,则月利润S=当40x60时,S=-200(x-55)2+15 000,所以当x=55时,S取最大值15 000元;当60<x80时,S=-50(x-70)2+15 000,所以当x=70时,S取最大值15 000元.故当x=55或x=70时,S取最大值15 000元,即销售单价定为55或70元时,该专卖店月利润最大.
