山东2024届高三12月全省大联考数学试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 山东中学联盟山东中学联盟 2021 级高三级高三 12 月全省大联考月全省大联考 数学数学 注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求项是符合要求.）1 设集合14Axx=，2|ln(23)Bx yxx=，则AB=（）A.()1,4 B.()3,4 C.()1,3 D.()1,2 2.复数2i2iz=+（其中i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若点,A B C不共线，则“BA 与BC 的夹角为钝角”是“BABCAC+的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线22(0)ypx p=的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 M 到直线1:4380lxy+=和2:3lx=的距离之和的最小值为（）A.115 B.145 C.165 D.215 8.已知函数()2exf x=,()1g xx=+,对任意1Rx,存在()21,x +,使()()12f xg x=成立,则21xx的最小值为（）A.1ln22 B.1 C.11ln222+D.2ln2+二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得目要求，全部选对得 5分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知()1210,0abab+=，则下列结论正确的是（）A.ab的最小值为8 B.ab+的最小值为32 2+C.21ab+的最大值为2 D.2214ab+的最小值为12 10.已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+=，则4ff=_.14.已知圆C上的点()2,0A关于直线360 xy+=的对称点仍然在这个圆上，且圆C的圆心在x轴上，则圆C的标准方程是_.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为2 5，则其外接球的体积为_.16.已知数列 na满足132a=，()2*11nnnaaan+=+N，数列1na的前n项和为nS，设xR，x表示不大于x的最大整数.则2023S=_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()23sincoscos0f xxxx=的最小正周期为.（1）求23f的值；（2）在ABC中内角，角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c，若3ac=，2b=，()12f B=，求 c 的值.18.已知数列 na是等差数列，其前n和为nS，2310aa+=，10110S=，数列 nb的前n项和为nT满足321nnTb=+.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）把数列 na和数列 nb中的相同项按从小到大的顺序组成新数列 nc，nM是数列 nc的前n项的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 和，求nM.19.设函数()e1xf xax=（1）当1a=时，求曲线()f x在1x=处的切线方程.（2）讨论函数()f x在区间0,1上零点的个数.20.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧棱2PAPD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，222ADABBC=，12PFFD=（1）求证：PB平面ACF；（2）在线段PB上是否存在一点 H，使得CH与平面ACF所成角的余弦值为306？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由 21.已知圆22:2 2100C xyx+=，点 P是圆 C上的动点，点()2,0F是圆 C内一点，线段PF的垂直平分线交CP于点 Q，当点 P 在圆 C 上运动时点 Q的轨迹为 E.（1）求 E方程；（2）设 M，N是曲线 E上的两点，直线MN与曲线()2220 xybx+=相切.证明：当3MN=时，,M N F三点共线.22.已知函数()2 ln,Raxf xxax=+.（1）当12a=时，求函数()f x的极值；（2）若()f x有两个极值点12xx，求证：()()12124f xf xxx+.的 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 山东中学联盟山东中学联盟 2021 级高三级高三 12 月全省大联考月全省大联考 数学数学 注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求项是符合要求.）1.设集合14Axx=，得一元二次不等式的解集为(,1)(3,)B=+，所以(3,4)AB=.故选：B.2.复数2i2iz=+（其中i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因22i(2i)34i2i(2i)(2-i)5z=+，故34i5z+=第一象限.故选：A 3.若点,A B C不共线，则“BA 与BC 的夹角为钝角”是“BABCAC+”的（）在 第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先将不等式BABCAC+转化为BABCBABC+，平方后得到0BA BC 后，排除掉BA 与BC 的方向相反即可.【详解】不等式BABCAC+等价于BABCBABC+，两边平方可得：40BA BC ，即0BA BC ，其中0BA BC 当且仅当BA 与BC 的夹角为钝角或BA 与BC 的方向相反，由于点,A B C不共线，所以0BA BC的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线22(0)ypx p=的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 M 到直线1:4380lxy+=和2:3lx=的距离之和的最小值为（）A.115 B.145 C.165 D.215【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点 F 的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线2221(0)2xybb=的渐近线20bxy=，右焦点2(2,0)Fb+，依题意，22222bbb+=+，解得2b=，因此抛物线的焦点为(2,0)F，方程为28yx=，其准线为2x=，由243+8=0=8xyyx消去 x并整理得：26160yy+=，264 160=将12,x x用m表示,从而可将21xx构造为关于m函数,再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】由题意,令()()120,f xg xm=则122e,1,xm xm=+=所以121ln,1,2xm xm=故2111ln.2xxmm=令()()11ln0,2h mmm m=则()11,2h mm=令()0,h m=得1,2m=所以当10,2m时,()()0,h mh m单调递增.的 第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 所以当12m=时,()h m有最小值11ln222+,即21xx的最小值为11ln222+.故选：C.【点睛】本题考查导数的综合应用,利用导数研究函数的单调性与最值,化归转化思想,属中档题.二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得目要求，全部选对得 5分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知()1210,0abab+=，则下列结论正确的是（）A.ab的最小值为8 B.ab+的最小值为32 2+C.21ab+的最大值为2 D.2214ab+的最小值为12【答案】ABD【解析】【分析】由121ab+=得22 2ababab+=即可对 A 判断；由“1”的代换结合基本不等式即可对 B 判断；由21322abb+=，所以322b，得21t，解得12t，当且仅当12ab=，即2,4ab=时取等号，故 D 正确.故选：ABD.10.已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 A.函数()f x的图象关于5,012对称 B.函数()f x在1,14的值域为2,3 C.函数()f x在7 3,6 2单调递减 D.要得到函数()()cosg xAx=+的图象，只需将函数()f x的图象向左平移14个单位【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求解出()f x的表达式，然后逐项判断即可求解.【详解】由题中图可知2A=，11143124T=，得1T=，所以22T=，所以()()2sin 2f xx=+，当112x=时，112sin 221212f=+=，即sin16+=，所以2 62k+=+，kZ，因为2=，则4ff=_.【答案】12#0.5【解析】【分析】先求出242f=，然后再求22f即可求解.【详解】由题意得2sin442f=，所以2221log4222fff=.故答案为：12.14.已知圆C上的点()2,0A关于直线360 xy+=的对称点仍然在这个圆上，且圆C的圆心在x轴上，则圆C的标准方程是_.【答案】22(6)16xy+=【解析】【分析】由题意可知直线360 xy+=过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程.【详解】由题意可知直线360 xy+=过圆心，且直线360 xy+=与 x 轴的交点为(6,0)，则(6,0)C，可得4rCA=，所以圆C的标准方程是22(6)16xy+=.故答案为：22(6)16xy+=.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为2 5，则其外接球的体积为_.第12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】40 103【解析】【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心O落在直线12OO上，根据勾股定理列式求出球的半径，即可求解.【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O，下底面中心为2O，由棱台的性质可知，外接球的球心O落在直线12OO上，由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为2 5，则12 2O A=，22O B=，2 5AB=，所以()2212122023 2OOABO AO B=，设外接球的半径为R，2OOh=，则13 2OOh=，则()()222112223 22 2OOO ARhR+=+=，解得2 2h=，10R=，所以该米斗的外接球的体积为3440 1033R=，故答案为：40 103.16.已知数列 na满足132a=，()2*11nnnaaan+=+N，数列1na的前n项和为nS，设xR，第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 x表示不大于x的最大整数.则2023S=_.【答案】1【解析】【分析】根据已知关系式可得()2110nnnaaa+=，知数列 na为递增数列；采用裂项相消法可求得1121nnSa+=，知20232024121Sa=，由数列单调性可求得20242a，由此可推导得到202312S，所以数列 na为递增数列；且1322a=，22117124aaa=+=，即20242023432aaaa，则20241011a，可得202411221、111111nnnaaa+=，从而确定2023S的表达式.第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()23sincoscos0f xxxx=的最小正周期为.（1）求23f的值；（2）在ABC中内角，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若3ac=，2b=，()12f B=，求 c的值.【答案】（1）1 （2）147【解析】【分析】（1）由三角恒等变换公式将()f x化简成正弦型函数，再根据周期求，最后代入解析式求23f的值.（2）由()12f B=得3B=，再根据余弦定理求 c.【小问 1 详解】()23sincoscosf xxxx=3111sin2cos2sin 222262xxx=由函数()f x的最小正周期为，即22=，得1=，()1sin 262f xx=，213f=.【小问 2 详解】由()12f B=得，sin 216B=，角 B 为三角形ABC的内角，3B=.3ac=，2b=，1cos2B=，由余弦定理222cos2acbBac+=，得()()22232122 3ccc c+=，即227c=，147c=.第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 18.已知数列 na是等差数列，其前n和为nS，2310aa+=，10110S=，数列 nb的前n项和为nT满足321nnTb=+.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）把数列 na和数列 nb中的相同项按从小到大的顺序组成新数列 nc，nM是数列 nc的前n项和，求nM.【答案】（1）2nan=，()12nnb=（2）1443nnM+=【解析】【分析】（1）根据等差数列定义即可求出2nan=，再由321nnTb=+的关系式可得()12nnb=；（2）由（1）可知数列 nc是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式可得1443nnM+=.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，则2312310aaad+=+=，1011045110Sad=+=解得2d=，12a=，可得()()112212naandnn=+=+=.因为321nnTb=+所以当2n 时11321nnTb=+可得，12nnbb=当1n=时，11b=.所以数列 nb是以 1 为首项，2为公比的等比数列.所以()12nnb=第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 即2nan=，()12nnb=【小问 2 详解】由（1）可知，数列 na和数列 nb的相同项即为数列 nb的所有大于等于 3 的奇数项，即是22，42，62，82，102，122，即224nnnc=，可知数列 nc是以 4 为首项，4为公比的等比数列，所以()14 1 4441 43nnnM+=.19.设函数()e1xf xax=（1）当1a=时，求曲线()f x在1x=处的切线方程.（2）讨论函数()f x在区间0,1上零点的个数.【答案】（1）()e 11yx=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求得导函数，()1e 1f=是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；（2）先对参数a分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可.【小问 1 详解】因为()e1xf xx=，所以()e1xfx=，则()1e 1f=，()1e2f=所以，切线方程为()()()e2e 11yx=即()e 11yx=【小问 2 详解】由（1）知，()exfxa=.当1a 时，()fx在区间()0,1上大于零，()f x在区间0,1上单调递增，且()00f=，所以()f x在区间0,1上有一个零点.第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 当ea 时，()fx在区间()0,1上小于零，()f x在区间0,1上单调递减，且()00f=，所以()f x在区间0,1上有一个零点.当1ea时，()fx在区间()0,lna上小于零，()fx在区间()ln,1a上大于零，所以()f x在区间0,lna上单调递减，在(ln,1a上单调递增，而()1e1fa=.当e10a，即1e 1a时，()f x在区间0,1上有两个零点.当e10a，即e 1ea 时，()f x在0,1上有一个零点，当1e 1a相切.证明：当3MN=时，,M N F三点共线.【答案】（1）2213xy+=（2）证明见解析【解析】第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【分 析】（1）根 据 圆 方 程 可 求 得()2,0C，再 根 据 垂 直 平 分 线 性 质 以 及 对 称 性 可 得2 32 2QCQF+=，即可求出 E 的方程；（2）设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理和点到直线距离可求得3MN=时，直线方程为2yx=或2yx=+，恒过点F，即可得出证明.【小问 1 详解】由222 2100 xyx+=，得()22212xy+=，故()2,0C，半径2 3QC=由题意知QPQF=，如下图所示：2 32 2QCQFQCQP+=+=对 Q 的轨迹是以 C、F 为焦点的椭圆.设椭圆方程为()222210 xyabab+=则3a=，2c=，1b=所以椭圆方程为2213xy+=；【小问 2 详解】由（1）得曲线为()2210 xyx+=，表示右半圆，即为图中虚线圆的右半部分（不包括和y轴交点）；由题意可知直线MN的斜率存在且不为 0，由对称性可设直线():,0MN ykxm km=+相切可得211mk=+，所以221mk=+，联立2213ykxmxy=+=可得()2221 36330kxkmxm+=，()()()22222264 1 333361212240kmkmkmk=+=+=，所以12261 3kmxxk+=+，2122331 3mxxk=+，可得()22222221212222633241414131 31 31 3kmmkMNkxxxxkkkkk=+=+=+=+，化简得()22310k=，所以1k=，所以12km=或12km=，所以直线:2MN yx=或2yx=+，所以直线MN过点()2,0F，即可得,M N F三点共线.【点睛】关键点点睛：在求解,M N F三点共线时，由于已知()2,0F，因此可证明直线MN过点F即可；将问题转化为直线过定点并求出直线MN方程即可得出结论.22.已知函数()2 ln,Raxf xxax=+.（1）当12a=时，求函数()f x的极值；（2）若()f x有两个极值点12xx，求证：()()12124f xf xxx+.第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【答案】22.有极小值 1,无极大值；23.证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导函数研究函数的极值即可；（2）根据题意得出12xx，是方程22 ln20 xaxa+=的两个根，结合函数表达式将问题转化为证12ax x，利用极值点偏移构造函数()()aH xh xhx=，判定其单调性计算即可.【小问 1 详解】当12a=时，函数()()()22lnln10 xxxf xxxfxxx+=，易知()2ln1g xxx=+在定义域上单调递增，且()10g=，所以当()0,1x时，()()00g xfx，即此时()f x单调递增，故()f x在1x=时取得极小值，()11f=，无极大值；【小问 2 详解】由()()222 ln2 ln2axxaxaf xxfxxx+=+=，令()0fx=，即22 ln20 xaxa+=，由题意可知12xx，是方程22 ln20 xaxa+=的两个根，则2112222 ln202 ln20 xaxaxaxa+=+=，欲证()()12124f xf xxx+，即证221212121212121212122 ln2 ln22224axaxxaxaxxxxxxxxaxxxxx x+=+，即证12ax x，第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 令()()()22222 ln20 xah xxaxa xh xx=+=，若0a，()()0h xh x定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去；则0a，可知在()0,xa时，()()0h xh x单调递增，要符合题意则需()()33ln0e,haaaaa=，x +时，()0h x，此时不妨令120 xax，构造函数()()()0aH xh xhxax=()()222223222220aaxaxaaxHxaxxxx=+=，即()H x定义域内单调递增，即()()()0aH xHah xhx=，所以()()121ah xh xhx=，因为120 xax，且在(),xa+时，()h x单调递增，故2121axx xax，利用极值点偏移构造函数()()()0aH xh xhxax=，判定其单调性及最值得出()()121ah xh xhx=即可.在