湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考（五）数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司大联考长郡中学大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）届高三月考试卷（五）数学数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考生号考场号考场号座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.）1.若i为虚数单位，则()()2i 1 i+的虚部为（）A.iB.1 C.i D.-1 2.若集合2log1,1AxxBx x=，则AB=R（）A.01xx B.12xx C.10 xx 或02x D.2x x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数()cos 23g xx=+的图象，可以将函数()sin 26f xx=+的图象（）A.向右平移3个单位长度B.向左平移3个单位长度C.向右平移6个单位长度D.向左平移6个单位长度5.已知()()4223,0,0,xxxf xg xx=若()f x为()(),00,+上的奇函数，()0(0)g aa=的左右顶点分别为12,A A F为C的右焦点，C的离心率为 2，若P为C右支上一点，2PFFA，记1202APA=，则tan=（）A.12B.1C.3D.27.已知二面角l 的平面角为0,2ABCl Dl ABl AB=，则1(12)2pp，前n项积为nT，若768TTT，则（）A.01qC.13141TT D.14151TT 11.已知定义在R上的函数()f x满足()()()22024f xf xf+=，且()21fx+是奇函数，则（）A.()f x的图象关于点()1,0对称 学科网（北京）股份有限公司 B.()()04ff=C.()21f=D.若1122f=，则10011 02iifi=12.,D E是ABC边BC上的点，其中,3BADCAE BC=，且13BD BECD CE=.则ABC面积的可能取值为（）A.9 34 B.3 32 C.3 3 D.7 32 三三填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.5(12)x+的展开式中4x的系数是_.（用数字作答）.14.函数()sin2f xxxx=+的图象在2x=处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为_.15.四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，点,E F分别为,PC AD的中点，平面BEF将四棱锥PABCD分成两部分的体积分别为12,V V，且满足12VV，则12VV=_.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，离心率为e，点P在椭圆上，连接1PF并延长交C于点Q，连接2QF，若存在点P使2PQQF=成立，则2e的取值范围为_.四四解答题解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）已知数列 na是等差数列，其前n项和为nS，且247213,49aaS+=.（1）求 na的通项公式；（2）设2nannba=+，求数列 nb的前n项和nT.18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面,1,3ABC PAABBCPC=.学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：BC 平面PAB；（2）求二面角APCB的大小.19.（本小题满分 12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且()3sincosabCC=+.（1）求B；（2）已知2 3,BCD=为边AB上的一点，若1,2BDACD=，求AC的长.20.（本小题满分 12 分）已知函数()()sinexxf xx=R.（1）求()f x的单调区间；（2）若对于任意的()0,2xf xkx恒成立，求实数k的取值范围.21.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点.以F为焦点O为顶点作抛物线2:2(0)C ypx p=.设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，设(),0(0)Qaa，使得PQ为抛物线C的切线，且2PQ=.圆12C C均与直线OP切于点P，且均与x轴相切.学科网（北京）股份有限公司 （1）试求出,a p之间的关系；（2）是否存在点F，使圆1C与2C的面积之和取到最小值.若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分 12 分）现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中1,12p.（1）设2T结束后，X细胞的数量为，求的分布列和数学期望；（2）设()*nT nN结束后，X细胞数量为m的概率为()mPn.（i）求()2P n；（ii）证明：()32827P np.学科网（北京）股份有限公司 大联考长郡中学大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）数学届高三月考试卷（五）数学 参考答案参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B C A C D BD AC ABD AB 1.D 【解析】因为()()2i 1 i22ii 13i+=+=，故选 D.2.B 【解析】不等式2log1x 解得02x，则 02Axx=，1,111,12Bx xBx xxxABxx=，即22ab，即ab，所以“ab+与ab所成角为锐角”是“ab”的充分必要条件.故选 C.4.B 【解析】()()55sin2,sin 2sin212612f xxg xxx=+=+=+，512123=，故选 B.5.C 【解析】由题意可得当0a 时，()()0f ag a=，因为()f x为()(),00,+上的奇函数，所以()()f afa=，所以()()()()4222230,1230g afaaaaa=+=+=，学科网（北京）股份有限公司 所以21a=（舍去），或232a=，因为0a，所以62a=.故选 C.6.A 【解析】设C的焦距为2c，点()00,P xy，由C的离心率为 2 可知2,3ca ba=，因为2PFFA，所以0 xc=，将()0,P c y代入C的方程得220221ycab=，即03yb=，所以()2133tan3,tan1bbPA FPAFcaca=，故()213 11tantan1 3 12PA FPAF=+.故选 A.7.C 【解析】作AECD，垂足为E，连接BE，因为ABl，即,ABCD AEABA AE AB=平面AEB，故CD 平面,AEB BE 平面AEB，故CDBE，又CD 平面，故平面AEB 平面，平面AEB平面BE=，则AB在平面内的射影在直线BE上，则ABE为AB与平面所成角，即3ABE=，由于,AECD CDBE，故AEB为二面角l 的平面角，即02AEB=，121212AECDSAESBEBECD=，在ABE中，sinsinsinAEBEABABEBAEAEB=，则sin31sin2sinAEABEBEBAEBAE=，而02=，则1(12)(23)(2)(3)2PPPPp=，故 B 正确；对于 C，在回归分析中，2R越接近于 1，模型的拟合效果越好，2R为 0.98 的模型比2R为 0.89 的模型拟合的更好，故C错误；对于D，某人在 10 次答题中，答对题数为(),10,0.8X XB，则数学期望()10 0.88E X=，故 D 正确.故选 BD.学科网（北京）股份有限公司 10.AC 【解析】因为等比数列 na的公比为(0)q q 且768TTT，则61 2 3 4 56156123456110Ta a a a a aa qa q+=，所以78778661,1TTaa aTT=，则278701a aa ，从而10a，故对任意的*11,0nnnaa q=N，由7870aaa q=可得01q=，C 对 D 错.故选 AC.11.ABD 【解析】A 选项，由题意知，()()2121fxfx+=+，则()()110fxf x+=，所以()f x图象的对称中心为()1,0,A正确；B选项，()()()()()()22024,422024f xf xff xf xf+=+=，两式相减得()()4f xf x+=，所以()()40ff=，B 正确；C选项，由B选项可得，()f x的周期为 4，又20244 506=，故()()()()220240f xf xff+=，令0 x=得，()()()200fff+=，得()20f=，所以C错误；D选项，因为()()110fxf x+=，令1x=得，()()020ff+=，又()20f=，故()00f=，()()110fxf x+=中，令12x=得，311222ff=，由()()20f xf x+=，得511731,222222ffff=，又()f x的周期为 4，则()()()()()135714144244344444122222nfnnfnnfnnfnn+=+()()()()()()()11114243444142434402222nnnnnnn+=+=，学科网（北京）股份有限公司 所以10011 02iifi=，D 正确.故选 ABD.12.AB 【解析】由面积公式可得：1sinsin21sinsin2ABDADCADABBADSBDABBADSCDACCADADACCAD=，1sinsin21sinsin2ABEAECAEABBAESBEABBAESCEACCAEAEACCAE=，因为BADCAE=，故CADBAE=，由13BD BECD CE=可得sinsin1sinsin3ABBADABBAEACCADACCAE=，即13ABAC=，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0BC，设(),A x y，则2222(3)3xyxy+=+，整理得到：2232724xy+=，即点A的轨迹是以3,02为圆心，3 32为半径的圆，故ABC的BC边上的高的最大值为3 32，故其面积的最大值为9 34.故选AB.三三填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.）13.80 【解析】5(12)x+的通项为155C(2)2 CrrrrrrTxx+=，令4r=，得5(12)x+的展开式中4x的系数是4452 C80=.14.1 【解析】由题意可得()sincos1fxxxx=+，学科网（北京）股份有限公司 则2,222ff=+，故()f x的图象在2x=处的切线方程为()222yx+=，即22yx=+.令0 x=，得2y=；令0y=，得1x=，则所求图形的面积为12 112 =.15.75 【解析】如图，延长,BF CD交于点G，连接GE交PD于点M，因为底面ABCD为平行四边形，所以FDG与FAB全等，且FDG与BCG相似，相似比为12，设FDG的面积为S，则四边形BCDF的面积为3S，设点P到底面ABCD的距离 为h，则1113322E BCDFVShSh=，又因为E为PC的中点，所以1122E DFMC DFMG DFMVVV=，而111,3326E DFGE DFGG DFME DFME DFMVShSh VVVV=+=，所以118E DFMVSh=，所以259MECBFDE BCDFE DFMVVVVSh=+=，所以121574399P ABCDVVVShShSh=，所以1275VV=.16.)8 211,1 【解析】设11,QFm PFn=，则22QFam=.显然当P靠近右顶点时，学科网（北京）股份有限公司 2PQQF，所以存在点P使2PQQF=等价于()22min0,22PQQFPQQFmna=+，在12PFF中由余弦定理得22221121122cosPFPFFFPF FF=+，即222(2)422cosanncnc=+，解得2cosbnac=，同理可得2cosbmac=+，所以2112amnb+=，所以()()22232 2112223222bbbnmmnmnamnamna+=+=+，所以22min(21)(22)22bmnaaa+=，当且仅当2nm=时等号成立.由22(21)202baa+得22128 2ba，所以28 2111e，cos3sinBB=，所以3tan3B=，()0,6BB=.（2）2 3,1,6BCBDB=，根据余弦定理得 22232cos1 122 1 2 37,72CDBCBDBC BDBCD=+=+=.,sinsincos22BDCABDCAA=+=+=.在BDC中，由正弦定理知，2 37,1sinsincos2BCCDBDCBA=，212 7cos,0,sin727AAA=，sin2 321tan,cos32ACDAACAAC=.20.【解析】（1）()2coscossin4eexxxxxfx+=，令()0fx，则cos04x+，即()2 2 242kxkk+Z，解得()f x的递增区间为()32,2 44kkk+Z；令()0fx，则cos04x+，即()32 2 242kxkk+Z，学科网（北京）股份有限公司 解得()f x的递减区间为()52,2 44kkk+Z.所以，()f x的递增区间为()32,2 44kkk+Z，递减区间为()52,2 44kkk+Z.（2）因为对于任意的()0,2xf xkx恒成立，所以sinexxkx对于任意的0,2x恒成立，当0 x=时，kR；当0,2x时，sinexxkx，令()sin,0,e2xxg xxx=，所以()2cossinsinexxxxxxgxx=.令()cossinsin,0,2h xxxxxx x=，所以()sinsincos0h xxxxxx=在0,2x上恒成立，所以()h x在0,2上单调递减，所以()()00h xh=，即()0gx，点(),0(0)Qaa，设:(0)PQlxmya m=，将其与抛物线C的方程联立，消去x得2220ypmypa+=.因为PQ与抛物线C切于点P，所以方程的判别式为2244 20p mpa=，解得2amp=.进而，点(),2P apa.故222101242PaPQmypaapap=+=+=+.由2PQ=，则2424apa+=.（2）设圆12C C的圆心分别为()()111222,Ox yOxy.注意到，OP与圆12C C均切于点P，故12OPOO.设圆12C C与x轴分别切于,M N，如图所示：则12,OO OO分别为POMPON的角平分线，故112212,90O MO P O NO POOO=，易知21OPOO PO，则12O POPOPO P=，2222121212|2PPy yO MO NO PO POPxyapa=+=+.结合式有2212243y yapaa=+=.由12,O P O三点共线得111112222222PPO PO MypayyyyyPOO Nypay=，学科网（北京）股份有限公司 化简可得121222yyy ypa+=.令2212Tyy=+，于是，圆12C C的面积之和为T.根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据知()()()()()2222222212121212224324422432 432441aaTyyy yy yy yaapaaa=+=.令21ta=，由()()23111144420,0,34 2 342 34tttapatTttttt+=+=+.当且仅当33t=时，上式等号成立.此时，1113at=.结合式（2）得213121333313patta=.故点F的坐标为1,033.22.【解析】（1）2 个T结束后，的取值可能为1,2,3,4，其中()21Pp=，()()()23211Pppp ppp=+=，()()()()12331C12(1),4(1)nPpppppPp=，所以分布列为 1 2 3 4 P 2p 3pp 22(1)pp 3(1)p()()232321232(1)4(1)44Epppppppp=+=+.（2）（i）()2P n表示分裂nT结束后共有 2 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个X细胞.不妨设在第kT时分裂为 2 个X细胞，之后一直有 2 个X细胞，此事件概率()()()12212,11n kknkkPppppp=，学科网（北京）股份有限公司 所以2122,12,22,1()(1)nnknkP nPPPpp=+=()2111(1)1nnknnkp pppp=.（ii）()3P n代表分裂nT后有 3 个细胞的概率，设细胞X在kT后分裂为 2 个新的X细胞，这两个X细胞在剩下的()nk T中，其中一个分裂为 2 个X细胞，一个保持一直分裂为 1 个X细胞，此事件的概率()()()()11113,221C121kn kkn kn kn kkPpppP nkppppp=，得()()223223,2121nknkkPpppppp=，2232233,13,23,11()2(1)2(1)nnnknknkkP nPPPpppppp=+=()()()()()1122112111nnnnnnppppppppp p=+，其中()1,1,0,12npp.令()()()()()()()32221211,11nxpxxxxxxpP np pp p=单调递增；当()()1,1,0,3xfxf x单调递减.故()max14327f xf=，也就是()()3228827 127P np pp+.