衡中同卷河北省2023-2024学年高三12月期末考试数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分.共共 4 页，总分页，总分 150 分，考试时间分，考试时间120 分钟分钟.第第 I 卷（选择题共卷（选择题共 60 分）一选择题：本题共分）一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11,02AxxBxx，则AB（）A.0,1B.1,2C.1,2D.0,12.已知直线1l：30axy和直线2l：3230 xy垂直，则a（）A.32B.32C.23D.233.已知圆锥底面半径为 2，高为4 2，则该圆锥的侧面积为（）A.4B.12C.16D.16 234.已知函数 f x是定义域为R的奇函数，当0 x 时，1f xxx，则1f（）A.1B.2C.2D.05.已知是第一象限角，2 5cos5，则coscos2sin（）A.135B.75C.135D.1106.记nS为等比数列 0nnaa 前n项和，且13123,3116,42,a aSSS成等差数列，则6S（）A.126B.128C.254D.2567.直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是A.26，B.48，C.23 2，D.2 23 2，8.设2ln0.99a，ln0.98b，0.961c，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cba二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目的的衡中同卷河北省2023-2024学年高三12月期末考试数学试题含答案第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.数列 na的前n项和为nS，已知27nSnn，则下列说法正确的是（）A.na是递增数列B.1014a C.当4n 时，0na D.当3n 或 4 时，nS取得最大值10.已知函数 2exf xx，则下列说法错误的是（）A.f x图象在2x 处的切线斜率大于 0B.f x的最大值为eC.f x在区间1,上单调递增D.若 f xa有两个零点，则ea 11.已知 sin0,32f xx为偶函数，sing xx，则下列结论正确的是（）A.6B.若 g x的最小正周期为3，则23C.若 g x在区间0,上有且仅有3个最值点，则的取值范围为7 10,33D.若342g，则的最小值为212.如图，在ABC中，2B，3AB，1BC，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N将AMN沿直线l翻折至A MN，且点A在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（）A.A DHA DC B.A DHA OH 的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司C.点O的轨迹的长度为6D.直线A O与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为8 313第第 II 卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分）三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量52,1,2abk，若/ab，则k _.14.写出一个圆心在yx上，且与直线yx和圆22332xy都相切的圆的方程：_.15.表面积为 100球面上有四点 SABC，ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为 3，若面 SAB面 ABC，则棱锥SABC体积的最大值为_.16.数列 na满足2*114,13nnnaaaanN，则122017111aaa的整数部分是_四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sinsin2ACcbC.（1）求角 B；（2）设 BD 是 AC 边上的高，且1BD，3b，求ABC的周长.18.如图所示，在四棱锥EABCD中，底面 ABCD 是菱形，60ADC，AC 与 BD 交于点 O，EC 底面 ABCD，F 为 BE 的中点，ABCE的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：/DE平面 ACF；（2）求 AF 与平面 EBD 所成角的正弦值19.已知数列 na是各项都为正整数的等比数列，13,a 且3a是2a与434a的等差中项，数列 nb满足111,21nnbbb.（1）求数列 ,nnab的通项公式;（2）若582242nnbkank对任意*nN恒成立，求实数k的取值范围.20.已知点P到(2,0)A 的距离是点P到10B,的距离的 2 倍.（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索BE BF 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21 已知函数 esin1xf xaxaR（1）当1a 时，讨论函数 xf xg x e在 3,22上的单调性；（2）当3a 时，证明：对0,x，有 2e1 2exxf xx 22.如图，在ABC中，134,13,cos,13BCABBE D分别为,BC AC的中点，以DE为折痕，将DCE折起，使点C到达点1C的位置，且12BC，如图.（1）设平面1ADC 平面1BECl，证明：l平面1ABC；（2）P是棱1C D的中点，过,P B E三点作该四棱锥的截面，与1C A交于点Q，求1AQAC；（3）P是棱1C D上一点（不含端点），过,P B E三点作该四棱锥的截面与平面1BEC所成的锐二面角的.第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司正切值为32，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分.共共 4 页，总分页，总分 150 分，考试时间分，考试时间120 分钟分钟.第第 I 卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分）一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11,02AxxBxx，则AB（）A.0,1B.1,2C.1,2D.0,1【答案】A【解析】【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.【详解】因为集合11,02AxxBxx，故|01ABxx，故选：A.2.已知直线1l：30axy和直线2l：3230 xy垂直，则a（）A.32B.32C.23D.23【答案】D【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程，解方程即可.【详解】因为直线1l：30axy和直线2l：3230 xy垂直，所以3 120a ，解得23a.故选：D.3.已知圆锥的底面半径为 2，高为4 2，则该圆锥的侧面积为（）A.4B.12C.16D.16 23【答案】B【解析】第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【分析】由圆锥的侧面展开图扇形基本量与圆锥基本量间的关系可得.【详解】已知圆锥的底面半径2r，高4 2h，则母线长22222(4 2)6lrh，圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2r，扇形的半径为圆锥的母线长l，则圆锥侧面积122 6122Srlrl.故选：B.4.已知函数 f x是定义域为R的奇函数，当0 x 时，1f xxx，则1f（）A.1B.2C.2D.0【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义计算得解.【详解】定义在R上的奇函数 f x，当0 x 时，1f xxx，所以1(1)2ff .故选：B5.已知是第一象限角，2 5cos5，则coscos2sin（）A.135B.75C.135D.110【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为是第一象限角，2 5cos5，所以222 55sin1 cos155，所以222 5coscos2 575cos22cos121sinsin5555 ，故选：B.6.记nS为等比数列 0nnaa 的前n项和，且13123,3116,42,a aSSS成等差数列，则6S（）A.126B.128C.254D.256【答案】A【解析】【分析】根据可得2132132161322a aaSSS，整理得232428aaa，进而可得122aq，结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】设等比数列 na的公比为q，则10,0aq，由题意可得2132132161322a aaSSS，即211231241322aaaaaaa，整理得232428aaa，则12148a qa q，解得122aq，所以6621212612S.故选：A.7.直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是A.26，B.48，C.23 2，D.2 23 2，【答案】A【解析】第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】分析：先求出 A，B 两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点A2,0,B 0,2,则AB2 2点 P 在圆22x22y（）上圆心为（2，0），则圆心到直线距离12022 22d故点 P 到直线xy20的距离2d的范围为2,3 2则22122,62ABPSAB dd故答案选 A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题8.设2ln0.99a，ln0.98b，0.961c，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cba【答案】D【解析】公众号：高中试卷君【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较 a 和 b 的大小；构造函数 ln 11 21f xxx，求导判断其单调性，进而比较 b 和 c 的大小.【详解】22ln0.99ln0.99ln0.9801ln0.98ab，令0.02,ln 1,1 21xbxcx，令 ln 11 21f xxx1()2x，11 211 2xxfxxx，22112120 xxxx ，所以11 2xx，即 0fx，故 f x在1,2上单调递增，所以 0.0200ff，即bc，综上，abc.第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故选：D.二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.数列 na的前n项和为nS，已知27nSnn，则下列说法正确的是（）A.na是递增数列B.1014a C.当4n 时，0na D.当3n 或 4 时，nS取得最大值【答案】CD【解析】【分析】根据nS表达式及2n 时，1nnnaSS的关系，算出数列 na通项公式，即可判断 A、B、C选项的正误.27nSnn 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n 时，128nnnaSSn，又1162 18 aS，所以28nan，则 na是递减数列，故 A 错误；1012 a，故 B 错误；当4n 时，820nan，故 C 正确；因为27nSnn 的对称轴为72n，开口向下，而n是正整数，且3n 或4距离对称轴一样远，所以当3n 或4时，nS取得最大值，故 D 正确.故选：CD.10.已知函数 2exf xx，则下列说法错误的是（）A.f x的图象在2x 处的切线斜率大于 0B.f x的最大值为eC.f x在区间1,上单调递增D.若 f xa有两个零点，则ea【答案】ACD【解析】【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题得 e2e1exxxfxxx，则 22e0f ，故 A 错误；当1x 时，0,fxf x在区间,1上单调递增；当1x 时，0,fxf x在区间1,上单调递减，所以 f x的极大值即最大值为 1ef，故 B 正确，C 错误；令 g xf xa，则 1exgxx，由B知 g x在区间,1上单调递增，在区间1,上单调递减，所以 g x的极大值为 e1ga，且当x趋向于时，g x趋向于a，当x趋向于时，g x趋向于，所以若 f xa有两个零点，则e00aa，即0ea，故D错误.故选：ACD11.已知 sin0,32f xx为偶函数，sing xx，则下列结论正确的是（）A.6B.若 g x的最小正周期为3，则23C.若 g x在区间0,上有且仅有3个最值点，则的取值范围为7 10,33D.若342g，则的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】先求出函数 f x的解析式，然后逐项判断即可求解.【详解】对 A：若 sin(03f xx，)2为偶函数，则,32kkZ，2，所以6，A 选项正确；第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司对 B：若 g x的最小正周期为3，则23T，所以23，故 B 正确；对 C:由0,x，得,666x，若 g x在区间0,上有且仅有3个最值点，则57262，得71033，故 C 正确；对 D：因为 sin6g xx，若3sin4462g，则2 463k或22 463k，得283k或28,k kZ，又0，所以的最小值为23，故 D 错误.故选：ABC.12.如图，在ABC中，2B，3AB，1BC，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N将AMN沿直线l翻折至A MN，且点A在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则（）A.A DHA DC B.A DHA OH C.点O的轨迹的长度为6D.直线A O与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为8 313【答案】BCD【解析】【分析】A、B 选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于 C，先由旋转，易判断出MNAO，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于 D 求直线与平面所成角的余弦值，即求OHOHA OAO，,3 2AMN，用表示,AO OH，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意，将AMN沿直线l翻折至A MN，连接AA,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故AAMN，又A在平面BCMN内的射影H在线段BC上，所以A H平面BCMN，MN平面BCMN，所以A HMN，AAA HA，AA平面A AH，A H平面A AH所以MN 平面A AH.AO 平面A AH，AO平面A AH，AH平面A AH，,AOMN A OMN A HMN，AOM 90，且A OH即为二面角AMNB的平面角对于 A 选项，由题意可知，A DH为A D与平面BCMN所成的线面角，故由线面角最小可知A DHA DC，故 A 错误；对于 B 选项，A OH即为二面角AMNB的平面角，故由二面角最大可知A DHA OH，故 B 正确；对于 C 选项，MNAO恒成立，故O的轨迹为以AM为直径的圆弧夹在ABC内的部分，易知其长度为1236，故 C 正确；对于 D 选项，如下图所示 设,3 2AMN，在AOM中，AOM 90，sinsinAOAM，第 9 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司在ABH中，2B，3coscos3ABAHBAH，所以3sincos3OHAHAO，设直线A O与平面BCMN所成角为，则3sincos32 33cos11sin3sincossin 2332OHAO 2 318 313312，当且仅当523212时取等号，故 D 正确故选：BCD第第 II 卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分）三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量52,1,2abk，若/ab，则k _.【答案】5【解析】【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.【详解】因为/ab，所以5122k，故5k .故答案为：-514.写出一个圆心在yx上，且与直线yx和圆22332xy都相切的圆的方程：_.【答案】22112xy（答案不唯一）【解析】【分析】由题设，设圆心为(,)m m，则半径2|rm，讨论所求圆与圆22332xy外切、内切，分别求出对应 m 即可得结果.第 10 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】设圆心为(,)m m，则半径|2|2mmrm，假设与圆22332xy外切，则222|332mmm，所以|3|1|mm，故22692|1mmmm，则3|4mm，若0m，则441mm，则圆心为(1,1)，半径为2r，故22112xy；若0m，则242mm，不满足前提；假设与圆22332xy内切，又(3,3)与yx的距离为63 222，此时，圆22332xy内切于所求圆，则223322|mmm，所以1|3|mm，故22692|1mmmm，则3|4mm，若0m，则242mm，则圆心为(2,2)，半径为2 2r，故22228xy；若0m，则441mm，不满足前提；综上，22112xy或22228xy.故答案为：22112xy（答案不唯一）15.表面积为 100 的球面上有四点 SABC，ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为 3，若面 SAB面 ABC，则棱锥SABC体积的最大值为_.第 11 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【答案】12(73)【解析】【分析】求出球半径及球心到平面ABC的距离，进而求出ABC外接圆半径，利用面面垂直结合球的截面小圆性质，求出SAB的外接圆半径，确定点 S 到平面ABC的最大距离即可作答.【详解】依题意，球O半径5R，令正ABC的中心为O，则3OO，且OO 平面ABC，ABC外接圆半径224rCOROO，连接CO并延长交AB于 D，则 D 为AB的中点，且122O Dr，显然CDAB，而平面SAB 平面ABC，平面SAB平面ABCAB，有CD 平面SAB，令SAB的外接圆圆心为E，则OE 平面SAB，有/OEO D，又OO 平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以OOAB，由OOCDO,所以AB平面OO DE，所以EDAB，而平面SAB 平面ABC，平面SAB平面ABCAB，ED 平面SAB，则ED 平面ABC，即有/EDOO，因此四边形OO DE为平行四边形，则3EDOO，2OEO D，SAB的外接圆半径2221rROE，SAB的 外接 圆上 点S到 直线AB距 离最 大值 为213rED，而点S在平面ABC上的射影在直线AB上，于是点S到平面ABC距离的最大值213h，的第 12 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司又正ABC的面积223333412 344ABCSr ，所以棱锥SABC的体积最大值112 3(213)12(73)133ABCSABCVSh.故答案为：12(73)【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.16.数列 na满足2*114,13nnnaaaanN，则122017111aaa的整数部分是_【答案】2【解析】【详解】因2*114,13nnnaaaanN，所以211(1)0nnnnnaaaaa，数列 na单调递增，所以1(11)0nnnaa a，所以111(1)1111nnnnnaa aaa，所以121122111111111111()()()11111nnnnnSaaaaaaaaaaa，所以20172017131mSa，因为143a，所以22223444131313133133133()1,()1,()12,33999818181aaa ，所以20172016201542aaaa，所以201711a，所以20171011a，所以201512331a，因此m的整数部分是2点睛：本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为111111nnnaaa，再借助数列的单调性是解答的关键为第 13 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sinsin2ACcbC.（1）求角 B；（2）设 BD 是 AC 边上的高，且1BD，3b，求ABC的周长.【答案】（1）3B （2）33【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角以及诱导公式化简已知等式，可得sin2B的值，即可求得答案；（2）根据三角形面积相等可推出2ac，再利用余弦定理即可求得ac的值，即可得答案.【小问 1 详解】因为sinsin2ACcbC，所以sinsinsinsin22BCBC，因为(0,),sin0CC，所以cossin2BB，即cos2sincos222BBB.因为0,22B，cos02B，所以1sin22B，解得3B.【小问 2 详解】因为3B，3b，所以11313222ABCSb BD.又由13sin234ABCSacac，可得3342ac，所以2ac.由余弦定理2222cos3bacac，可得223acac，即233acac，第 14 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司即2369ac，所以3ac，所以ABC的周长为33.18.如图所示，在四棱锥EABCD中，底面 ABCD 是菱形，60ADC，AC 与 BD 交于点 O，EC 底面 ABCD，F 为 BE 的中点，ABCE（1）求证：/DE平面 ACF；（2）求 AF 与平面 EBD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解答 （2）55【解析】【分析】（1）通过证明/OF DE，得证/DE平面 ACF；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问 1 详解】证明：如图，连接OF，因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，可得O点为BD的中点，又F为 BE 的中点，所以OF为BDE的中位线，可得/OF DE，又OF 平面ACF，DE 平面ACF，可得/DE平面ACF；第 15 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】以CB，CE所在直线为y，z轴，过C作CB 的垂线所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，因为 ABCD 是菱形，60ADC，ADC为等边三角形，不妨设2ABCE，则3,1,0D，0,2,0B，0,0,2E，3,1,0A，0,1,1F，可得(3,3,0)DB ，(0,2,2)BE ，设平面EBD的一个法向量为,nx y zr，可得330220DB nxyBE nyz ，不妨取1y，则3,1xz，可得3,1,1n.又(3,0,1)AF ，可得AF与平面EBD所成角的正弦值为：222222331 01 155311301n AFn AF .19.已知数列 na是各项都为正整数的等比数列，13,a 且3a是2a与434a的等差中项，数列 nb满足111,21nnbbb.（1）求数列 ,nnab的通项公式;（2）若582242nnbkank对任意*nN恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）13 2nna，21nnb；（2）4,.【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得公比，进而得到数列 na的通项公式；由已知得到数列1nb 是以2为首项，2为公比的等比数列，求得其通项公式，进而得到数列 nb的通项公式；（2）等价转化为33162nkn对任意*nN恒成立，然后令 32nf nn，利用作差法研究单调性，得第 16 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司到最大值，进而求解得到k的取值范围.【详解】1设数列 na的公比为q，则*qN，3a是2a与434a的等差中项，32432,4aaa23214qq，解得2q=或23q(舍去)，13 2nna 1121,121nnnnbbbb ，又112b ，数列1nb 是以2为首项，2为公比的等比数列，12,21nnnnbb；2由582242nnbkank，整理可得11223 2832nnknk，即13283nkn，33162nkn对任意*nN恒成立，令 32nf nn，则 11122323412222nnnnnnnnnf nf n当4n 时，1f nf n，当5n 时，1,f nf n当4n 或5时，f n取得最大值，416maxf nf116316k.解得4k.故实数k的取值范围是4,.20.已知点P到(2,0)A 的距离是点P到10B,的距离的 2 倍.（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索BE BF 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2224xy （2）是定值，3BE BF 【解析】【分析】(1)设点,P x y，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；第 17 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司(2)设00,Q xy，根据中点坐标公式代入圆P方程中可得Q的轨迹方程，直线l的方程、11,E x y，22,F xy，联立圆Q方程，利用韦达定理表示出12xx,12x x，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；【小问 1 详解】设点,P x y，由题意可得2PAPB，即2222221xyxy，化简可得2224xy.【小问 2 详解】设点00,Q xy，由（1）P点满足方程:2224xy，002 10 xxyy，代入上式消去可得22004xy，即Q的轨迹方程为224xy，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为1yk x，由2241xyyk x，消去y，得22221240kxk xk，显然0，设11,E x y，22,F xy则212221kxxk，212241kx xk，又111,BExy，221,BFxy，则21212121212121111BE BFxxx xy yxxx xkxx 222222221212224211111111kkkx xkxxkkkkkk42424222234222133311kkkkkkkkk.当直线l的斜率不存在时，1,3E，1,3F，3BE BF .第 18 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故BE BF 是定值，即3BE BF .21.已知函数 esin1xf xaxaR（1）当1a 时，讨论函数 xf xg x e在 3,22上的单调性；（2）当3a 时，证明：对0,x，有 2e1 2exxf xx【答案】（1）g x在,02单调递减，在30,2单调递增 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导函数符号变化，分区间讨论单调性；（2）不等式等价变形，构造函数 2e3sin2xF xxx，求解导函数并利用sinxx放缩，再结合辅助角公式转化利用有界性判断导函数符号，得到函数单调性证明不等式.【小问 1 详解】当1a 时，esin1sin11eexxxxxg x，e2cos1cossine14xxxxxgx ，当02x时，2,cos44442xx，0gx，g x单调递减；当302x时，72,cos44442xx，0gx，g x单调递增所以 g x在,02单调递减，在30,2单调递增【小问 2 详解】要证 2e1 2exxf xx，只要证23sin22exxx，即证2e3sin22xxx 令 2e3sin2xF xxx，2e6sin23cos5xFxxxx第 19 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司当0 x 时，令 sinh xxx，1 cos0h xx，公众号：高中试卷君所以 h x在0,单调递增，所以 00h xh，即sinxx，从而22sinxx 所以 22e6sin23cos5e6sin2sin3cos5xxFxxxxxxx，22e4sin3cos5e5sin50 xxxxx，其中，为辅助角，且满足34sin,cos55即可.所以 F x在0,单调递减，即 02F xF 故 2e1 2exxf xx 成立22.如图，在ABC中，134,13,cos,13BCABBE D分别为,BC AC的中点，以DE为折痕，将DCE折起，使点C到达点1C的位置，且12BC，如图.（1）设平面1ADC 平面1BECl，证明：l平面1ABC；（2）P是棱1C D的中点，过,P B E三点作该四棱锥的截面，与1C A交于点Q，求1AQAC；（3）P是棱1C D上一点（不含端点），过,P B E三点作该四棱锥的截面与平面1BEC所成的锐二面角的正切值为32，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.【答案】（1）证明见解析 （2）123AQAC （3）45【解析】第 20 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）延长,AD BE交于点C，连接1CC，确定1111,CCAC CCBC得到1CC 平面1ABC，得到证明.（2）延长,AD BE交于点C，连接CP并延长交1AC于点Q，连接,EP BQ，平面EPQB即为所求截面，根据相似即中位线的性质得到比例关系.（3）过1C作1C HBE，确定ABEB，得到BE 平面1AHC，得到13tan2C HQ，勾股定理计算 得 到11HCAC，132C Q，Q为1AC的 中 点，得 到P是1ACC的 重 心，计 算14CBQPEC DPEVV四棱锥三棱锥，5ABEDQPC DPEVV几何体三棱锥，得到答案.【小问 1 详解】图中延长,AD BE交于点C，连接1CC，因为,E D分别为,BC AC中点，所以11,CEC EEB CDC DDA，所以11,ACCBCC分别是以,AC BC为斜边的直角三角形，即1111,CCAC CCBC，又1111,ACBCC BC平面11,ABC AC 平面1ABC，所以1CC 平面1ABC，又平面1ADC 平面11BEClCC，所以l平面1ABC.【小问 2 详解】图中延长,AD BE交于点C，连接CP并延长交1AC于点Q，连接,EP BQ，所以平面EPQB即为所求截面，取M为1AC的中点，连接PM，则1124PMADAC，QPMQCA，故14QMPMQAAC，故14224 13AQAC.在的在第 21 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【小问 3 详解】过1C作1C HBE，因为11C EC B，所以H为EB的中点，所以1BH，连接AH，因为1313,cos13BHABBAB，所以ABEB，又1,AHC HH AH平面11,AHC C H 平面1AHC，所以BE 平面1AHC，连接HQ，则1C HQ是截面EPQB与平面1BEC所成二面角的平面角，即13tan2C HQ，在直角1BCC中，12,4BCBC，所以12 3CC，在ABC中，由余弦定理可得：222132,cos13 1621342113ACABBCAB BCB ，所以在直角1ACC中，2221121 129ACACCC，所以13AC，所以22211AHACHC，所以11HCAC，因为11113tan23C QC QC HGHC，因为132C Q，即Q为1AC的中点，又D是AC的中点，所以P是1ACC的重心，所以1122,33C PC D CPCQ，第 22 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司211323CPECQBSS，故1124CBQPECCPEC DPEVVV四棱锥三棱锥三棱锥，又1CAQBC BQCVV三棱锥三棱锥，故15ABEDQPC ABQC DPEC BQCC DPEC DPEVVVVVV几何体三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，所以145CBQPEABEDQPVV四棱锥几何体.