青海省西宁市六校联考2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含答案.docx

2022-2023学年第一学期期末西宁市六校联考高二数学试题一、单选题（每题5分，共12题，小计60分）1. 经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为（ ）A. 0B. 6C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】根据点A(2,3)，B(1，x)求得直线l1与斜率，再令斜率为1求解.【详解】直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.故选：C2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果【详解】解：由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线斜率为，直线方程为，化为一般式为故选：A3. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合已知条件可知，正三棱锥为正方体的一部分，然后利用三棱锥的体积公式求解即可.【详解】由题意可知，正三棱锥为正方体的一部分，如下图所示：则所求的正三棱锥为，且，由正方体性质可知，所以，从而.故选：C.4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解.【详解】根据题意，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为3，则该几何体的侧面积是故选：B.5. 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D7. 设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可.【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且，所以四边形为正方形，设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，而正方形边长为，所以， 由，解得，所以.故选：A.8. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，所以.故选：B9. 若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题，直线与圆相交，则直线到圆心距离小于圆半径.【详解】由题，圆心坐标为，半径为1，直线与圆相交.则圆心到直线距离，得，即，解得.故选：B10. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】y2=2px的焦点坐标为,过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,=p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，则，解得，则双曲线C的方程为.故选：B.（理）12. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（文）13. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设点，由依题意可知，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值【详解】设点，因为，所以，而，所以当时，的最大值为故选：A【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.二、填空题（每题5分，共4题，小计20分）14. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.【答案】x+y=3或y=2x【解析】【详解】试题分析：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0考点：直线方程15. 若一个圆锥轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_【答案】【解析】【分析】设母线为，底面半径为，即可得到且，从而求出、，再根据侧面积公式计算可得.【详解】解：由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且，所以圆锥的侧面积故答案为：16. 若圆C过三个点，则圆C方程为_【答案】【解析】【分析】设圆的方程为，根据圆过点，代入求解.【详解】解：设圆的方程为，因为圆过点，所以，解得，所以圆的方程为，即.故答案为：17. 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；m，n是两条异面直线，若，则上面的命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假【详解】若，则m与n平行或异面，故错误；，但m与n不一定相交，不一定成立，故错误；若，则，又由，则，故正确；m，n是两条异面直线，若，则过m的平面与平面相交于直线，有，过n的平面与平面相交于直线，有，m，n异面，一定相交，如图所示，由面面平行的判定可知，故正确；故答案为：三、解答题（共六题，小计70分）18. 已知的三个顶点分别为求：（1）边上的中线所在直线的方程；（2）的面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.【小问1详解】设AC边上中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即【小问2详解】边AC所在直线的方程为：，且，点B到直线AC的距离为：，故的面积：19. 已知圆：（）与直线相切（1）求圆的方程；（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切可得到关于的方程，求解即可；（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况，结合圆的弦长公式即可得解.【小问1详解】直线与圆：相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即，圆的方程为【小问2详解】直线截圆所得弦长为，圆心到直线的距离当直线的斜率不存在时，即，符合；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或20. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答；（2）通过证明面可得答案.【小问1详解】连接AC，由已知F、G分别为和的中点，又面ABCD，面ABCD，平面；【小问2详解】底面是正方形，又底面，面ABCD，面，面，面，又面，.21. （1）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，求线段的长（2）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，求双曲线C的离心率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）联立方程，利用抛物线的焦点弦长度公式和韦达定理计算弦长；（2）利用双曲线的定义得到，然后利用余弦定理得到的关系，进而求得离心率.【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的斜率为，则直线的方程为，设点、，联立可得，由韦达定理可得，因此，.（2）因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.22. 如图，在四棱锥中，平面底面，和分别是和的中点求证：（1）底面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】因为平面底面，平面底面，平面，所以底面.【小问2详解】，为中点，则四边形平行四边形，所以四边形为矩形，.底面，平面，.又平面，且，平面，平面，.和分别是和的中点，.又，平面，平面，平面，平面平面.（理）23. 已知椭圆的离心率为.（1）证明：；（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.求直线的方程；求椭圆的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）；.【解析】【分析】（1）由可证得结论成立；（2）设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1），因此，；（2）由（1）知，椭圆的方程为，即，当在椭圆的内部时，可得.设点、，则，所以，由已知可得，两式作差得，所以，所以，直线方程为，即.所以，直线的方程为；联立，消去可得.，由韦达定理可得，又，而，解得合乎题意，故，因此，椭圆的方程为.（文）24. 已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得，再结合即可求得答案；（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.【详解】（1）椭圆经过点，所以，因离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）由得，解得，所以，或，可得，或者，所以.