江西省赣州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含答案.docx

赣州市20222023学年度第一学期期末考试高二数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线的斜率计算倾斜角.【详解】直线改写为斜截式方程为，所以直线斜率，则直线倾斜角为.故选：B2. 双曲线的虛轴长为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的虚轴定义求解.【详解】由可得，故虚轴长为，故选:C.3. 若直线与直线平行，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解.【详解】因为两直线平行，所以，经检验，此时两直线的斜截式方程分别为，满足题意，故选:B.4. 如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空进向量运算求得正确答案.【详解】依题意，.故选：A5. 甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全概率公式求得正确答案.【详解】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为：故选：D6. 设抛物线上一点P到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线焦点F的坐标，根据给定条件，结合抛物线定义及点到直线的距离公式求出点F到直线l的距离作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，过点P作垂直于准线，垂足分别为E，D，连接，过F作于B，交抛物线于，过作垂直于准线，垂足为A，如图，由抛物线定义知，因此，当且仅当点P与重合时取等号，所以.故选：C7. 5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（ ）A. 60B. 90C. 150D. 240【答案】C【解析】【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】当每组人数为时，方法有种.当每组人数为时，方法有种.所以不同的分配方法种数为种.故选：C8. 椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出坐标，求得的关系式，利用基本不等式求得正确答案.【详解】设，则，两式相减并化简得，而，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则曲线C是圆B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线D. 曲线C可以是抛物线【答案】AC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，半径为的圆，所以A选项正确.B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.C选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.故选：AC10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 不存在常数项B. 所有二项式系数的和为32C. 第3项和第4项二项式系数最大D. 所有项的系数和为1【答案】ABC【解析】【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A；利用二项式性质判断BC；利用赋值法计算判断D作答.【详解】，因此在的展开式中没有常数项，A正确；的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.故选：ABC11. 已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是（ ）A. 直线的方程为B. 线段的长为C. 点C为圆M上任意一点，则的最大值为5D. 圆O上存在4个点到直线的距离等于1【答案】BD【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系、弦长、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系等知识确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径.圆，即，圆心为，半径.，所以两圆相交.所以由两圆方程相减并化简得直线的方程为，A选项错误.到直线的距离为，所以，B选项正确.的最大值为，C选项错误.到直线的距离为，所以圆O上存在4个点到直线的距离等于1，D选项正确.故选：BD12. 已知正方体中，点P在侧面及其边界上运动，则（ ）A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为B. 当时，异面直线与所成角的正切值为2C. 当时，四面体的体积为定值D. 当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决空间中角度和距离问题.【详解】设正方体棱长为1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，对于 A：当时有，是平面的一个法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为，A选项正确；对于B： 当时，异面直线与所成角的余弦值为，可得异面直线与所成角的正切值为， B选项错误；对于C：因为，且，所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，当时，点在上运动时，则点到平面的距离不变，所以四面体的体积为定值，C选项正确；对于D：由正方体的特征可知，点到平面的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离即为点到点的距离，当点到平面的距离等于到直线的距离时，由抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确故选：ACD.【点睛】思路点睛：涉及空间中的动点，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量解决相应的角度和距离等问题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：14. 设随机变量，若，则_.【答案】#【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意，所以.故答案为：15. 甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为0.5，0.6，则谜题被破解的概率为_.【答案】#【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率等于概率之积求解.【详解】谜题没被破解的概率为，所以谜题被破解的概率为，故答案: .16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若以为直径的圆恰好经过点B，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】因为以为直径的圆恰好经过点B，所以，由，即为线段的中点且，故为线段的垂直平分线，连接，则三角形是等腰三角形且，故，又由渐近线可得，故，则，所以.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单.（1）若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？（2）若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示）【答案】（1）种 （2）种【解析】【分析】（1）利用插空法求得正确答案.（2）利用对立事件的知识求得正确答案.【小问1详解】2个语言类节目不能相邻的排法有种.【小问2详解】前4个节目中要有语言类节目的排法有种.18. 已知圆A的圆心为，且_.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.与直线相切；与圆相外切；经过直线与直线的交点.（1）求圆A的方程；（2）设直线，试求k为何值时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，并求弦长最小值.【答案】（1） （2）时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，且最小值为.【解析】【分析】（1）根据所选条件求得圆半径，进而求得圆的方程.（2）根据直线l截圆A所得弦的弦长最小求得，进而求得弦长的最小值.【小问1详解】设圆的半径为，若选条件，圆与直线相切，所以到直线的距离是圆的半径，所以半径，所以圆的方程为.若选条件，与圆相外切，圆的圆心为，半径为，所以，所以，所以圆的方程为.若选条件，经过直线与直线的交点，所以，所以圆的方程为.【小问2详解】直线恒过定点，由于，所以在圆内部，所以直线与圆相交，根据圆的几何性质可知，当直线时，直线截圆所得弦的弦长最小，所以.圆心到直线的距离，所以当时，直线截圆所得弦长为.19. 如图，在直三棱柱中，M为的中点.（1）证明：平面；（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【小问1详解】连接交于点，连接，则有为的中点，M为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.【小问2详解】连接,因为，所以,又因为平面，平面，所以，,所以平面,又因为平面,所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,设点A到平面的距离为，因为,所以,所以.20. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为增进学生对党史知识的了解，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得20分，每答对1道B类试题得10分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知甲同学答对各道A类试题的概率均为，B类试题中有6道题会作答.（1）若甲同学只作答A类试题，记甲同学答这3道试题的总得分为X，求X的分布列和期望；（2）若甲同学在A类试题中抽1道题作答，在B类试题中抽2道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.【答案】（1）分布列详见解析，期望值为 （2）【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.（2）根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】的可能取值为，所以的分布列为：所以.【小问2详解】第一种情况：类试题答对道，类试题答对道，概率为.第二种情况：类试题答错道，类试题答对道，答错道，概率为.所以仅答对道题的概率为.21. 如图，在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，O为的中点，且.（1）证明：；（2）在棱上是否存在点E，使二面角的大小为？若存在，求出的值.【答案】（1）证明详见解析 （2）存在，且.【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的大小列方程，从而求得的值.【小问1详解】因为，是的中点，所以，由于平面平面且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以.【小问2详解】在棱上存在点，使二面角的大小为.取的中点，因为为的中点，且，所以，则，因为是等腰直角三角形且，所以，由因为，所以，且平面，所以.分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设.，是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则，即，故可设，由于二面角的大小为，所以，整理得，解得或（舍去），所以.22. 已知点M是椭圆上一点，分别为椭圆C的上、下焦点，若，的面积为5.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的直线l和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线l，使得与（O是坐标原点）的面积比值为.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2）存在，且直线的方程为【解析】【分析】（1）结合椭圆定义求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据与的面积比求得直线的方程.【小问1详解】由得.，而，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设满足条件的直线存在，当直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，由于，所以，所以，结合可得，所以直线的方程为.