贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案.docx

遵义市20222023学年度第一学期期末质量监测高二数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1 考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码2 客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选其它选项！主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相成的位置答题；在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，.故选：C.2. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线标准方程知p2，可得抛物线准线方程【详解】抛物线y24x的焦点在x轴上，且2p=4,=1，抛物线的准线方程是x1故选C【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题3. 已知向量，若，则x的值为（ ）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，进而求出x的值.【详解】因为，所以，即，解得，故选：D.4. 已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由，则，当且仅当，即时，等号成立，故选：A.5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将、与2比较可得，将、用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.【详解】，又，即：，.故选：B.6. 已知两条直线和，下列不正确的是（ ）A. “a1”是“”的充要条件B. 当时，两条直线间的距离为C. 当斜率存在时，两条直线不可能垂直D. 直线横截距为1【答案】D【解析】【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令可以求出直线得横截距.【详解】当时，则，当时，直线与重合，故舍去，所以A正确；当时，和间的距离为，所以B正确；若，则，则，又当斜率存在时，所以C正确；，令得，所以直线横截距为-1，所以D错误.故选：D.7. 已知函数的图象如下图所示，则的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数的图象变换得到偶函数的图象，再根据平移变换得到的图象.【详解】在轴左侧作函数关于轴对称的图象，得到偶函数的图象，向左平移一个单位得到的图象.故选：A.8. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ）A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B对立C. 事件A与事件B相互独立D. 【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断A，B；根据独立事件的概率公式可判断C；求出事件的概率可判断D.【详解】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误；对于C，投掷一枚均匀骰子，共有基本事件6个，事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为,B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为,事件包含的基本事件个数有1个，其概率为,由于,故事件A与事件B相互独立，C正确；对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，故，D错误，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知函数，则（ ）A. 函数f（x）为偶函数B. 函数f（x）的定义域为C. 函数f（x）的最小值为2D. 函数f（x）在（0，）单调递减【答案】ABC【解析】【分析】对于A：根据偶函数的定义即可判断；对于B：分母不为0即可判断；对于C：根据基本不等式即可判断；对于D：求导即可判断.【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，而，所以为偶函数.故A正确；对于B：，的定义域为.故B正确；对于C：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2.故C正确；对于D：，当时，令即，解得，令即，解得，在上单调递减，在上单调递增.故D错误.故选：ABC.10. 已知函数，则（ ）A. 函数f（x）的最小正周期为B. 将函数f（x）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称C. 函数f（x）的一个对称中心为D. 函数f（x）在区间上单调递减【答案】AD【解析】分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】，对于A项，故A项正确；对于B项，的图象向右平移个单位后为，所以，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；对于C项，因为，所以的对称中心为，当时，所以不是的对称中心.故C项错误；对于D项，因为，则，令，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减.故D项正确.故选：AD.11. 已知直线l：，点P为M ：上一点，则（ ）A. 直线l与M相离B. 点P到直线l距离的最小值为C. 与M关于直线l对称的圆的方程为D. 平行于l且与M相切的两条直线方程为和【答案】AC【解析】【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误.【详解】M ：，圆心，半径，圆心到直线l：的距离为：，所以直线l与M相离，故A正确；点P到直线l距离的最小值为，故B错误；设圆心关于直线l对称点为，则，解得，则与M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确；设平行于l且与M相切的直线方程为，则，解得或，平行于l且与M相切的两条直线方程为和，故D错误.故选：AC.12. 双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线右支交于A、B两点，和内切圆半经分别为和，则（ ）A. 双曲线C的渐近线方程为B. 面积最小值为15C. 和的内切圆圆心的连线与x轴垂直D. 为定值【答案】BCD【解析】【分析】A：根据定义和双曲线性质得渐近线方程为；B：，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到；CD:画图，设圆切、分别于点、，推导出点、的横坐标为，证得轴，可得出，得证；【详解】选项:双曲线的渐近线方程为化简成一般式为 ，错误；选项：设则；设过点的直线为l显然与轴不垂直，设：，联立，故，由于A，均在双曲线右支，故，解得，带入得：，代入韦达定理得，令，则，易知随的增大而减小，则当时，综上：的面积的最小值为15，正确；选项:（如图所示） 过的直线与双曲线的右支交于、两点，由切线长定理可得，所以，则，所以点的横坐标为.故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，正确；选项：由C可知圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.在中，所以，所以，则，所以，即，正确；故答案为：BCD【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程，设出交点坐标，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若复数，则|z|_【答案】【解析】【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则.故答案为：.14. 若，则tan 2_【答案】.【解析】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：，.方法2：，.故答案为：.15. 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若PA2，AB1，则三棱锥PABC外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥中，平面，平面，所以，,又，平面，所以平面，平面，所以，设的中点为，因为，所以，因为，所以，所以为三棱锥外接球的球心，因为，所以，因为，所以，设三棱锥外接球的为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故答案为：.16. 已知函数，若方程有四个不相等的实数根、，且，则的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】画出的图象可得m的范围，代入所求式子转化为求函数在上的值域即可.【详解】的图象如图所示，方程有四个不相等的实根，又，又上单调递减，的取值范围为.故答案为：.四解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：（1）根据频率分布直方图，求a的值；（2）若从得分在75，90内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在内的概率【答案】（1）0.04. （2）.【解析】【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型.【小问1详解】，解得：.【小问2详解】由分层抽样可知，从得分在内的球迷中抽取人，分别记为、，从得分在内的球迷中抽取人，分别记为、，从得分在内的球迷中抽取人，记为.所以从这6人中选取2人的基本事件有、，共有15个，两人中至少有1名球迷得分在内的基本事件有、，共有9个.所以两人中至少有1名球迷得分在内的概率为.18. 已知的圆心在直线上，且过点（1）求的方程；（2）若：，求与公共弦的长度【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案；（2）求出两圆的公共线的方程，求得到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案.【小问1详解】由题意知的圆心在直线上，且过点，则的垂直平分线方程为，即，联立，解得，即圆心为，则半径为，故的方程为【小问2详解】因为，而，故和相交，将和相减可得，点到直线的距离为，故与公共弦的长度为.19. 如图，正四棱柱中，M为中点，且（1）证明：平面；（2）求DM与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析. （2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作,证明平面,找到DM与平面所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.【小问1详解】证明：如图，连接 ,因为 ,所以四边形为平行四边形，故 ,又平面，平面,故平面.【小问2详解】作,垂足为P，因为平面, M为中点，平面,平面,故,平面,故平面,连接,则为 DM与平面所成角，在中，,而,故在中, ,即DM与平面所成角的正弦值为.20. 在；这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答问题：在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，_（1）求C；（2）若a1，b2，D在线段AB上，且满足，求线段CD的长注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）选择条件，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出，从而可得到，再由题意求出，再根据勾股定理即可求得【小问1详解】选择条件，依题意由正弦定理得，即，又由余弦定理得，且，得，选择条件，依题意由正弦定理得,即，又，则，所以，得，【小问2详解】结合（1）由余弦定理得，即，则，所以，又，即，则，则在RtCBD中，得21. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD平行四边形，PA平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC平面PAB（1）证明：；（2）若，四棱锥PABCD的体积为，求二面角PBCA的余弦值【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【小问1详解】平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面，平面，则平面，平面平面，与为同一条直线，即平面，平面，.【小问2详解】在平面内，过作，且，连接，作图如下：平面，且平面，同理可得，平面，平面，平面，为二面角的平面角，在中，且，则，在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得，在中，故二面角的余弦值为.22. 已知椭圆C的左顶点为，离心率为（1）求C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线、，M为与C两交点的中点，N为与C两交点的中点，求FMN面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知顶点坐标求出，由离心率求出，进一步运算得出椭圆的方程；（2）设出直线、的方程，与椭圆C方程联立，得出M，N的纵坐标，表示FMN的面积，求其最大值.【小问1详解】由左顶点为，得，又离心率为，即，则，所以椭圆C的方程为；【小问2详解】由已知、斜率都存在且不为0，设与C交于，右焦点，设直线：，联立，得，所以与椭圆C两交点的中点M的纵坐标， 同理与椭圆C两交点的中点N的纵坐标，所以FMN的面积， 不妨设，令 ，则，因为，因为，所以函数在区间上单调递增，当时，有最小值，FMN面积有最大值，最大值为