广东省中山市中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题含答案.docx

中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末考考试题数学试卷第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在【答案】C【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.【详解】化简得，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°故选：C2. 已知向量，且与互相平行，则实数k的值为（ ）A. 2B. 2C. 1D. 1【答案】D【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可【详解】向量，与互相平行，即，解得故选：D3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 8B. 12C. 14D. 20【答案】D【解析】【分析】依据等差数列的性质去求的值【详解】等差数列的前n项和为，则，构成首项为2，公差为2的等差数列则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20故选：D4. 某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解【详解】解：记四名学生为甲、乙为，另外2名学生为，两个农场为，则分配方案为：农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场，共6种，甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为：农场，农场；农场，农场；农场，农场；农场，农场，共4种，故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为.故选：C.5. 已知数列是等比数列，是函数的两个不同零点，则（ ）A. 16B. C. 14D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则故选：B.6. 设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】确定，解得答案.【详解】线性相关，则，不同时为0，解得.故选：D7. 双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，结合双曲线的定义求得，再结合基本不等式和函数的单调性求得的最小值.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以，当在双曲线的左支时，所以，当且仅当时等号成立.当在双曲线的右支时，所以（其中），对于函数，任取，由于，所以，所以在上递增，所以.所以的最小值为.综上所述，的最小值为.故选：B8. 如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A. 若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B. 存在Q点，使得平面C. 当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D. 若，那么Q点的轨迹长度为【答案】B【解析】【分析】取中点，证明平面，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由与此法向量平行确定点位置，判断B，利用空间向量法求得到到平面距离的最大值，确定点位置判断C，利用勾股定理确定点轨迹，得轨迹长度判断D【详解】选项A，分别取中点，连接，由与，平行且相等得平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，连接，所以，同理平面，平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，A正确；选项B，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设（），设是平面的一个法向量，则，取，则，若平面，则，所以存在，使得，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，B错；选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，到平面的距离为，时，当时，d有最大值1，时，时，d有最大值，综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确；选项D，平面，平面，所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. （多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用点到直线的距离可得答案.【详解】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB【点晴】焦点在轴的抛物线的标准方程为，准线方程为，计算时一定要找准的值.10. 等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）A. 若，则B. 若，则是中最大的项C. 若， 则D. 若则.【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的前项和性质判断【详解】A错：；B对：对称轴为7；C对：，又，；D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前项和性质，（1）是关于的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2），可由的正负确定与的大小；（3），因此可由的正负确定的正负11. 如图，椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右项点为椭圆的中心，设椭圆与椭圆的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则以下结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据题中关系可得，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题图知，所以，则，故B不正确；且，故D不正确；因为椭圆与椭圆有公共的左顶点和左焦点，所以，则，故C正确；因为椭圆的右项点为椭圆的中心，所以，则，即，故A正确故选：AC12. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A选项，.累加得，即.又，所以，A正确；B选项，由A选项可知，故，B不正确；C选项，.累加得，所以，C正确；D选项，由C选项中同理可知，D不正确.故选：AC.第卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：这10名同学数学成绩的分位数是_.【答案】146【解析】【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根据，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的分位数为：.故答案为：14614. 直线将单位圆分成长度的两段弧,则_.【答案】【解析】【分析】根据直线将单位圆分成长度的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出即可.【详解】解:由题知分成长度的两段弧，所以两段弧长所对圆心角之比为，故劣弧所对圆心角为，记与圆交点为，则，过点作垂线，垂足，画图如下:则有，,即圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式有:，解得.故答案为：.15. 已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为_【答案】2或4【解析】【分析】设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，则，当时，有.当时，得 (舍)，当时，有，当且仅当x3时， ，故a2或a4，综上得a2或4.故答案为：2或4.16. 圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _ . 【答案】【解析】【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足（1）求动点的轨迹的方程（2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【小问1详解】设，则由，即，化简得，所以P点的轨迹方程为【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；当直线l的斜率存在时，设，即， 由到l的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上，l的方程为或.18. 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求直线与平面的距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）平面得到，得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量为，平面的一个法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）假设存在，设，计算，根据平行得到，确定，再利用向量的距离公式计算得到答案.【小问1详解】平面，平面，故；为等边三角形，为中点，故；，且平面，故平面.【小问2详解】取的中点，连接，则，故平面，平面，故，.为等边三角形，所以.以为原点，以、所在直线分别为、 轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问3详解】假设在棱上存在点，使得平面，且设， 则，则，所以，要使得平面，则，得，故，直线与平面的距离为19. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.（1）求值及直线的斜率的取值范围；（2）若，求直线的方程.【答案】（1），直线的斜率的取值范围为 （2）或.【解析】【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得，再设直线的方程为，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；（2）设，进而结合韦达定理与焦半径公式得，再解方程即可得答案.【小问1详解】解：因为抛物线：的焦点到其准线的距离为2，所以，解得.所以抛物线方程为，因为直线过点且与交于两点，所以，设直线的斜率为，方程为，所以，联立得，故方程有两个不等的实数解.，解得且所以，直线的斜率的取值范围为【小问2详解】解：设，由（1）知，又由焦半径公式得，所以，即，解得或.所以，直线的方程为或.20. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示（i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；（ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率【答案】（1）16家；4家； （2）（i）6家；120家；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；（2）由已知题意和图像可先求解出，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.【小问1详解】抽取小吃类商家（家），抽取玩具类商家（家）；【小问2详解】由图可得，（i）该直播平台“优秀商家”个数约为（家）；（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则21. 已知正项数列的前n项和为，其中（1）求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；（2）证明：当时，【答案】（1），数列不是等差数列，理由见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由得，当时，然后两式相减得，即数列从第2项起为等差数列，根据和得到，即可得到，数列不是等差数列，然后求通项即可；（2）利用裂项相消方法求，即可证明.【小问1详解】由得，当时，两式相减得，整理得，因为数列为正项数列，所以，则，即，在中，令，则，解得或-1（舍去），所以，所以数列从第2项起为等差数列，公差为2，所以，数列不是等差数列.【小问2详解】当时，所以当时，因为，所以，即.22. 已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为（1）求椭圆E的方程；（2）若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）； （2）存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为【解析】【分析】（1）由椭圆定义知为两圆半径之和，由点差法可得，求出，从而得到椭圆方程； （2）设直线PQ的方程为，根据中点在直线上求得值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.【小问1详解】因圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，设，的中点， ，则椭圆E的方程：；【小问2详解】假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为，PQ中点，即，由N在l上，此时，故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为