河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期12月联考试题数学含解析.pdf

河北省保定市部分高河北省保定市部分高中中2023-2024学年高二上学学年高二上学期期12月联考试题数学含月联考试题数学含解析解析高二数学考试高二数学考试注意事项注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教 A 版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第 2 节。一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的的.1.直线 l：341 0 xy=在 x 轴和 y 轴上的截距分别是A.13，14B.13，14C.13，14D.13，142 一只蚂蚁从点 P(1，1，0)出发，在 Oxy 和 Oxz 平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点 Q(2，0，2)的最短距离为A.5B.3C.10D.223.已知数列 na为等差数列，1236aaa，4620aa，则8a A.12B.13C.22D.234.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，点 F 满足AFmAE .若 B，D，A1，F 四点在同一个平面上，则 m=A.12B.25C.13D.235.已知抛物线 C：2)20(yppx=的焦点为 F，准线为 l 过点 F 且倾斜角为3的直线在第一象限交 C 于点 A，若点 A 在 l 上的投影为点 B，且|AB|=4，则 p=A.1B.2C.2 2D.46.已知 A(1，0，1)，n=(1，0，1)是平面的一个法向量，且 B(-1，2，2)是平面内一点，则点 A 到平面的距离为A.23B.26C.2D.227.如图，花篮的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所得到的曲面.已知该花篮的总高度为 45cm，底面圆的直径为 20cm，上口圆的直径为10 13cm，最小横截面圆的直径为 10cm，则该双曲线的离心率为A.3B.2C.2 2D.2 38.观察下列数的规律；2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，则第 100 个数为A.213R.214C.215D.216二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选全部选对的得对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.已知直线 l：0mxym一与圆 C：222440 xyxy相交于 A，B 两点，则A.直线 l 过定点(0，1)B.圆 C 的半径为 3C.当 m=0 时2 5AB D.圆心 C 到直线 l 的最大距离是 210.下列结论正确的是A.若向量a=(1，1，1)，b=(2，-2，2)，c=(3，-1，3)，则a，b，c共面B 若直线 l 的方向向量为a=(1，1，1)，平面的一个法向量为n=(1，0，=1)，则 lC.若向量a=(1，1，1)，b=(2，一 2，2)，则a在b上的投影向最为2 32 3 2 3,333D.已知平面，不重合，平面的一个法向量为n=(1，0，-1)，平面的一个法向量为m=(-3，0，3)，则11.已知 F1，F2辨是椭圆 C：222210 xyabab的两个焦点，过点 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若223AFBF，154ABBF，则A.2abB.棉圆 C 的离心率为22C.AF1F2为等边三角形D.ABF1为直角三角形12.数列 na的前 n 项和为nS，且21nnaan+1+，下列说法正确的是A.若 na为等差数列，则 na的公差为 1B 若 na为等差数列，则 na的首项为 1C.30435SD.243nSn三三、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线252yx的准线方程为_.14.已知圆 M 经过点 A(-2，0)，B(0，4)，C(0，0)，则圆 M 的标准方程为_.15.已知数列 na的前 n 项和为nS，且12a，12nnnnSaS，则20a_.16.已知是双曲线 C：22182xy右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，过点作与 l 夹角为 30的直线，该直线交 l 于点 A，F1是双曲线 C 的左焦点，则112PFPA的最小值为_.四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知直线 l 过点 A(-2，1).(1)若直线 l 与第二，四象限的角平分线平行，求直线 l 的方程；(2)若 b0，直线 l 与圆 M：225xyb=相切于点 A，求直线 l 的方程.18.(12 分)已知双曲线 C 的实轴长为 4，且与双曲线22123yx有公共的焦点(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知 M(0，3)，P 是 C 上的任意一点，求PM的最小值.19.(12 分)已知正三棱锥 A-BCD 中的三条侧棱 AB，AC，AD 两两垂直.(1)证明：ADBC.(2)已知点 E 满足AEABACAD ，求平面 ABC 与平面 ABE 夹角的大小.20.(12 分)已知定点 F(3，0)，定直线 l：3x ，动圆 M 过点 F，且与直线 l 相切，记动圆的圆心 M 的轨迹为 C.(1)求 C 的方程；(2 若过点 F 的直线与 C 交于不同的两点 A，B，且|AB|=36，求直线 AB 的方程.21.(12 分)已知数列 na满足212.3521naaann.(1)求 na的通项公式.(2)记1641nnban数列 nb的前 n 项和为nT，是否存在实数 m，使得数列211nnmTn为等差数列?若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.22.(12 分)已知 A，B 分别是椭圆222210 xyabab的左，右顶点，P(1，32)为椭圆 C 上的点，直线 PA，PB 的斜率之积为14.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 AM 与 BN 相交于点 D，若点 D 在直线4x 上，证明：直线 l过定点.高二数学考试参考答案高二数学考试参考答案1.D【解析】本题考查直线的方程，考查数学运算的核心素养.令 y=0，得13x，令 x=0，得14y ，故直线 l：3410 xy-在 x 轴和 y 轴上的截距分别是13，14.2.C【解析】本题考查空间直角坐标系，考查逻辑推理的核心素养.将平面xz 翻折到与平面 Oxy 共面，此时点 Q 的对应点为 Q(2，-2，0)，所以这只蚂蚁从点 P(1，1，0)出发爬到点 Q(2，0，2)的最短距离为221310.3.C【解析】本题考查等差数列的性质，考查数学运算的核心素养.123236aaaa，即22a.又因为284520aaaa-，所以820 222a -.4.B【解析】本题考查空间向量的基本定理，考查数学运算的核心素养.连接 AC 图略)，112AEACCEABADAA ，则12mAF mAEmABmADAA =.因为 B，D，A1，F 四点在同一个平面上，所以12mmm，解得25m.5.B【解析】本题考查抛物线，考查逻辑推理的核心素养.由抛物线定义可知AFAB.因为AFB=3，所以ABF 为等边三角形，所以4AFABBF=，BFA=60，所以BFO=60.设准线 l 与 x 轴的交点为 P，则cos3PF，2BF，所以 p=2.6.D【解析】本题考查空间向量的应用，考查数学运算的核心素养.AB=(-2，2，1)，点 A 到平面的距离22AB ndn .7.B【解析】本题考查双曲线的方程，考查数学建模的核心素养.在花篮的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系，其中 DE 为最小横截面圆的直径.设双曲线的方程为是为222125xyb，M(5 13，m)，N(10，m-45)(0m45)，所以2222325125100(45)125mbmb解得275b，m=30，所以该双曲线的离心率为257525.8.B【解析】本题考查数列，考查逻辑推理的核心素养.因为112 32n n+，当 n=13 时，1912n n，当 n=14 时，11052n n，所以第 100 个数为142.9.BCD【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.直线 l：0mxym一，即 l：0()1m xy-+，联立100 xy，解得1x，0y，所以直线 l 过定点(1，0)，故 A 错误；圆 C 的方程可化为22129xy，C 的半径为 3，故 B 正确；当 m=0 时，直线 l 的方程为 y=0，则圆心 C 到直线 AB 的距离 d=2，2 942 5AB，故 C 正确；直线 l 过定点(1，0)，且该点在圆 C 的内部，则圆心 C 到直线 l 的最大距离是222()(0)1 12-=，故 D 正确.10.AD【解析】本题考查空间向量及其运算，考查数学运算的核心素养.因为a b c +=，所以a，b，c共面，故 A 正确；因为1 0 10a n -，所以an，所以 l/或 l 在内，故 B 错误；a在b上的投影向量为222211 1,12633 3a bbbbb=，故 C 错误；因为3mn-，所以/，故 D 正确.11.BD【解析】本题考查椭圆的方程以及几何性质，考查数学运算的核心素养.如图，由已知可设2|F Bn=，则2|3AFn，1554BFABn.由椭圆的定义知1226aBFBFn=，所以12|23AFaAFn-.在AF1B 中，由余弦定理推论得222191625cos02 34nnnF ABnn，所以F1AB=2.在AF1F2中，2224aac+，即222ac，所以椭圆 C 的离心率为22，2ab.故选 BD.12.ACD【解析】本题考查等差数列的应用，考查逻辑推理的核心素养.因为21nnaan+1+，所以221nnaan+1+，两式相减得2nnaa+2.若数列 na为等差数列，则 na的公差 d=1.又121aa，所以121ad，解得1a=0，所以 A 正确，B 错误.22123456212(43 1)1 59.432()(2)nnnnnSaaaaaaaannn +，所以2302 1515435S-，所以 C 正确.因为 nN+，所以221()551432104848nSnn-，即243nSn成立，所以 D 正确.13.110y 【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.252yx可化为225xy，故抛物线252yx的准线方程为110y .14.2215()2xy【解析】本题考查圆的方程，考查数学运算的核心素养.设圆 M 的方程为222()xaybr，则222222222()()42ababrabrr +-，解得125abr，所以所求圆的标准方程为2215()2xy.15.97【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养.由12nnnnSaS，可得12nnnaa，那么利用累加法可知20201919181817211()()71(1 19)19)222(9aaaaaaaaaa-+.16.5 2【解析】本题考查双曲线以及几何性质，考查逻辑推理的核心素养.设点 Q 为点 P 在 l 上的投影，F2为双曲线 C 的右焦点(图略)，则124 2PFPF，12PAPQ，所以11214 22PFPAPFPQPFPQ.显然当且仅当 Q，P，F2三点共线，且在 F2，Q 之间时，2PFPQ有最小值，且最小值为点 F 到直线 l 的距离，可得 l 的方程为12yx或12yx.由题知 F2(10，0)，则点 F2到直线 l 的距离为2，故112PFPA的最小值为5 2.17.解：(1)第二、四象限的角平分线方程为yx，2 分所以直线 l 的斜率为-1，.3 分所以直线 l 的方程()12yx-，即10 xy ，.5 分(2)由题可知点 A 在圆 M：225()xyb上，则2415()b，解得 b=0(舍去)或 b=2，.6 分所以225()xyb+的圆心坐标为 M(0，2).因为2 1122MAk，.7 分所以直线 l 的斜率为-2，.8 分所以直线 l 的方程为)12(2yx +，即230 x y+.10 分18.解：(1)双曲线22123yx的焦点坐标为(0，5)，.1 分则设双曲线 C 的方程为2222)1(00yxabab，.2 分由题可知24a，225ab，.4 分解得2a，b=1，所以双曲线 C 的方程为2214yx.6 分(2)设 P00,xy，则202014yx，所以2222200002000551241(3)6844455(3)yyyyyPMxy.9 分因此当0125y 时，|PM|取得最小值，最小值是42 555.12 分19.(1)证明；因为 ADAC，ADAB，ACAB=A，所以 AD平面 ABC.3 分又因为 BC平面 ABC，所以 ADBC.5 分(2)解：以 A 为坐标原点，AC，AB，AD的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 AB=1，则 C(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，1，1)，则AB=(0，1，0)，AE=(1，1，1).7 分设平面 ABE 的法向量为n=(x，y，z)，则00n AByn AExyz ，所以可设n=(1，0，-1).9 分易知m=(0，0，1)是平面 ABC 的一个法向量，.10 分设平面 ABC 与平面 ABE 的夹角为，所以12coscos,22n mn mn m ，所以4.12 分20.解：(1)设点 M(x，y)，圆 M 与直线 l：3x 的切点为 N.因为动圆 M 过点 F(3，0)，且与直线 l：3x 相切，则MNMF，.1 分所以点 M 的轨迹是以原点为顶点F(3，0)为焦点的抛物线，.3 分则 C 的方程为212yx=.5 分(2)设直线 AB 的方程为3xmy，A11()xy，B22()xy，.联立2123xmyyx，整理得212360ymy，.7 分所以1212yym，1236y y ，.8 分则222212121211412(1)36ABmyymyyy ym，10 分解得2m ，所以直线 AB 的方程为23xy.12 分21.解：(1)当 n=1 时，13a，1 分当 n2 时，由212.3521naaann，可得2112.13521naaann，.2 分两式相减得，22(1)2121nannnn，.3 分所以241nan，.4 分又13a 符合上式，所以241nan.5 分(2)2164114411nnbannnnn，7 分所以1111144 1.22311nTnnn.9 分故2214111nnnmnmTnn.因为数列211nnmTn为等差数列，所以令2411nmnkntn，则2241()nmnknkt nt.11 分所以411mkk tt+，解得12m.12 分22.(1)解：由题可知 A(-a，0)，B(a，0)，所以233312241114PAPBkkaaa，1 分解得a=2.2 分因为 P(1，32)为椭圆 C 上的点，所以213144b，解得2b=1，.3 分所以椭圆 C 的方程为2214xy.4 分(2)证明：设 D(4，0y)，则直线 AM 的方程为00)26(yyx.联立0220)214(6xyyxy整理得2222000944360()yxy xy+，解得2x -或20202189yxy，将20202189yxy代入00)26(yyx，可得02069yyy，所以点 M 的坐标为20022002186,99yyyy.7 分同理可得点 N 的坐标为2002200222,11yyyy.8 分当203y 时，直线 l 的方程为 x=1，直线 l 过定点(1，0).9 分当203y 时，所以直线 l 的方程为0022200002222000022006229122218221191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得22200000022224000008322222211314 9yyyyyyyxxyyyyy.10 分令 y=0，则2222200000022220000023223221112111yyyyyyxyyyyy，.11 分所以直线 l 过定点(1，0).