2024届广东深圳实验、湛江一中、珠海一中三校高三12月联考数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 绝密启用前 试卷类型：A 深圳实验深圳实验、湛江一中、珠海一中、湛江一中、珠海一中 20242024 届届高三三校联考高三三校联考 数学试题数学试题 2023.12 注意事项：1本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码 3作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑 4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液 5考试结束后，考生上交答题卡 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合*|2Axx=N，集合2|2By yx=+，则AB=A1,4 B2,4 C1,2,3,4 D2,3,4 2.若复数z满足i12iz=，则z在复平面上所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在梯形ABCD中，设AB=a，AD=b，若2ABCD=，则AC=A1+2a b B12+ab C1+2ab D12ab 4已知函数14e,1,()41,1xxf xxxx=+，则()f x的最大值为 A1 B4 C4e D5 5若tan2=，则sin2=A43 B43 C45 D45 6已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为 2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 1，则圆台的体积为 A7 33 B5 33 C5 3 D7 3 7已知抛物线2:4C yx=的焦点为F，直线1xmy=+与C交于A，B两点，与其准线交于点D，若AFFD=，则|BF=A13 B1 C43 D4 8已知函数2()e2xxf x=，过点(,)m n作()f x的切线l，若1nm=+（1n），则直线l的条数为 A0 B1 C2 D3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 学科网（北京）股份有限公司 求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的为 A这5位同学成绩的中位数是80 B这5位同学成绩的平均数是76 C这5位同学成绩的第75百分位数是80 D若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 10.将函数()tan2f xx=的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x的图象，则下列结论正确的为 A()g x的最小正周期为2 B()g x的图象关于直线512x=对称 C()g x在区间(0,)3上单调递减 D()f x的图象与()g x的图象关于(,0)12对称 11已知圆221:9Cxy+=，点P在圆2222:()(8)(0)Cxayrr+=上，过P可作1C的两条切线，记切点分别为A，B，则下列结论正确的为 A当6a=，2r=时，点P可是2C上任意一点 B当6a=，2r=时，APB可能等于2 C若存在P使得APB为等边三角形，则r的最小值为2 D若存在P使得APB的面积为92，则r可能为3 12.已知点P在棱长为2的正方体1111ABCDABC D的表面上运动，且四面体11PABC的体积恒为23，则下列结论正确的为 AP的轨迹长度为42 2+B四面体1PADA的体积最大值为43 C二面角11PACB的取值范围为 5,66 D当1PAC的周长最小时，22189APCP+三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设等差数列na的前n项和为nS，若12a=，530S=，则公差d=14某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方 案数为 15已知奇函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，若()(2)22f xfxx=+恒成 立，则(2023)f=学科网（北京）股份有限公司 16.已知双曲线C的离心率为e，左、右焦点分别为1F，2F，点M在C的左支上运动且不 与顶点重合，记I为12MFF的内心，1221tantanIFFIF F=，若2,4e，则的取值范围 为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（10 分）已知nS为数列na的前n项和，且满足13535(21)2naaanan+=（*nN）.(1)求数列na的通项公式；(2)记21nnabn=+，求数列na的前n项和nT 18（12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 cosbcbA=(1)求证：2AB=；(2)若ABC的面积为15 7，且23ab=，求b 19（12 分）如图，在三棱锥ABCD中，ABD为等腰直角三角形，ABAD=，BCD为等边三角形.(1)证明：BDAC；(2)若直线AC与平面ABD所成的角为3，点E在棱AD上，且2DEEA=，求二面角EBCD的大小.学科网（北京）股份有限公司 20（12 分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为12，13，25，且每场比赛的胜负均相互独立.(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)若主办方在决赛的前两场中共投资m（千万元），则能在这两场比赛中共盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资n（千万元），则能在该场比赛中盈利n（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？21（12 分）已知函数2()(1)exf xxax=+，aR(1)讨论()f x的单调性；(2)当1a ，25 7sin1cos16CC=，10 分 记ABC的面积为S，11 35 7sin15 722216bSabCb=，11 分 8b=12 分（方法二）由正弦定理，得sinsinabAB=，即2sincossinabBBB=，7 分 学科网（北京）股份有限公司,(0,)A B，sin0A，且sin0B，cos2aBb=，8 分 又23ab=，3cos4B=，27sin1cos4BB=，21coscos22cos18ABB=，3 7sin8A=，9 分 5 7sinsin()sincoscossin16CABABAB=+=+=，10 分 记ABC的面积为S，11 35 7sin15 722216bSabCb=，11 分 8b=12 分 19（12 分）解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OA，OC，1 分 ABAD=，BDAO，2 分 BCD为等边三角形，BDCO，3 分 又AOCOO=，,OA OC 平面AOC，BD 平面AOC，4 分 又AC 平面AOC，BDAC.5分(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ，QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即3QAC=，3OAC=6 分 不妨设2BD=，2BAD=，O为BD的中点，1OAOBOD=，BCD为等边三角形，3OC=，在OAC中，由正弦定理sinsinAOOCOCAOAC=,得1sin2OCA=，6OCA=，2AOC=，即OAOC，由(1)知，ODOC，且ODOA，7 分 以O为坐标原点，OC，OD，OA所在的直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(0,0,0)O，(3,0,0)C，(0,1,0)B，1 2(0,)3 3E，OCADBE 学科网（北京）股份有限公司 则有(3,1,0)BC=，4 2(0,)3 3BE=，8 分 易知(0,0,1)n=为平面BCD的一个法向量，9 分 设(,)mx y z=为平面BCE的一个法向量，则00BC mBE m=，即3042033xyyz+=+=，32yxzy=，则平面BCE的一个法向量为(1,3,2 3)m=，10 分 2 33cos,1 42|n mn mn m=，11 分 由图可知，二面角EBCD为锐角，二面角EBCD的余弦值为32，二面角EBCD的大小为6.12 分（解法二）过E作EFBD，垂足为F，过F作FGBC，垂足为G，连接GE，由(1)不难知道，在平面AOC内，若过C作直线AO的垂线CQ交AO于点Q，则该垂线亦为平面ABD的垂线，故直线AC在平面ABD内的射影为直线AQ，QAC为直线AC与平面ABD所成的角，即3QAC=，3OAC=6 分 不放设2BD=，2BAD=，O为BD的中点，1OAOBOD=，BCD为等边三角形，3OC=，在OAC中，由正弦定理得1sin2OCA=，6OCA=，2AOC=，即OAOC.结合(1)可知，二面角ABDC为直二面角，7 分 EF 平面BCD，又BC 平面BCD，EFBC,又EFFGF=，,EF FG 平面EFG，BC 平面EFG，又EG 平面EFG，BCEG，EGF为二面角EBCD的平面角.8 分 2DEEA=，EFAO，2233EFOA=，23DF=，43BF=，9 分 取BC的中点H，连接AD，则DHFG，22 333FGDH=，zyxOCADBEGHFOBDACE 学科网（北京）股份有限公司 2243EGEFFG=+=，10 分 3cos2FGEGFEG=，11 分 二面角EBCD的余弦值为32，二面角EBCD的大小为6.12 分 20（12 分）解：(1)记“甲队获得冠军”为事件A，“决赛进行三场比赛”为事件B，由题可知121121()(+)=232355P AB=，2 分 121121111()(+)+=232352330P A=，4 分 当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为()6()()11P ABP B AP A=.6 分 (2)设主办方在决赛前两场中共投资x（千万元），其中01x，若需进行第三场比赛，则还可投资1x（千万元），记随机变量为决赛的总盈利，则可以取2x，12xx+，7 分 11121()+=223232xP=，12111(1)+223232xPx=+=，9 分 随机变量的分布列为 2x 12xx+P 12 12 的数学期望111()+(1)=(1)2 2222xxExxx=+，10 分 令1(01)txt=，则(0,)x+时，()0fx，()f x单调递增；(,0)x 时，()0fx，()f x单调递减；2 分 学科网（北京）股份有限公司 0a 时，令()0fx=，得0 x=或ln(2)xa=，若12a，()f x单 调 递 增；(0,ln(2)xa时，()0fx，()f x单调递减；3 分 若12a=，则()0fx在R上恒成立，()f x在R上单调递增；4 分 若102a，()f x单调递增；(ln(2),0)xa时，()0fx，()f x单调递减5 分 综上，当0a 时，()f x在(0,)+上单调递增，在(,0)上单调递减；当12a 时，()f x在(,0)，(ln(2),)a+上单调递增，在(0,ln(2)a上单调递减；当12a=时，()f x在R上单调递增；当102a时，()f x在(,ln(2)a，(0,)+上单调递增，在(ln(2),0)a上单调递减.6 分(2)由(1)知，1a 时，()f x在(,0)，(ln(2),)a+上单调递增；在(0,ln(2)a上单调递减，则()f x的极小值点为0ln(2)xa=，7 分 由极大值(0)10f=，(1)0fa=，满足12111()(1)e0 xf xxax=+=，8 分 化简得，12112(1)e2xxax=，111ln(22)ln(2)2lnxxax+=+，即111ln(2)ln(22)2lnaxxx=+，10111ln(2)2lnln(22)xxxaxx=，9 分 设()2lnln(22)g xxx=，1x，212()11)gxxxxxx=，10 分 当(2,)x+时，()0g x，()g x单调递增，(1,2)x时，()0g x，2 分 由椭圆定义可知，动点M在以A，B为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，C的方程为：22143yx+=(0)x 3 分(2)(i)（法一）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知直线EF的方程为11yk x=+，联立2211143yxyk x+=，得2211(34)690kxk x+=，11221634kxxk+=+，4 分 1122013342xxxkk+=+，002114143ykk x=+，即122113434 3)4(,Gkkk+，5 分 同理可得，222223434 3)4(,Hkkk+，6 分 122212916(34)(34)OOk kGHkk+=，7 分 欲使OGOH，则0OG OH=，即129169160k k+=+=，169=，存在唯一常数169=，使得当12169k k=时，OGOH 8 分（法二）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知EF的斜率1k不为零，否则G与A重合，欲使OGOH，则H将在x轴上，又H为PQ的中点，则PQx轴，这与PQ过A矛盾，故10k，同理有20k，4 分 则22112222143143yxyx+=+，可得1212121243yyyyxxxx+=+，5 分 易知120=2xxx+，120=2yyy+，且121212120022OGykyyyyxxxxx=+=+，21121yykxx=，143OGkk=，即143OGkk=，6 分 学科网（北京）股份有限公司 同理可得，243OHkk=，7 分 欲使OGOH，则1OGOHkk=，1244()()133kk=，12169k k=，存在唯一常数169=，使得当12169k k=时，OGOH 8 分 (ii)由(i)易知11221634kxxk+=+，且1221934x xk=+，112112121222221213636(34)4|1143434()4kxxxkkEFkxkk+=+=+，即124|434EFk=+，同理可得，224|434PQk=+，9 分 1243kk=，212222224434|=|=|34344334EFPQkkkk+，记220kt=，347771|124334(43)(34)1222571225tEFPQtttttt=+，当且仅当1t=，即21k=时取等，10 分 由椭圆的对称性，不妨设此时21k=，143k=，且直线EF和PQ的夹角为，则4113tan47113=+，不难求得2sin10=，11 分 此时，易知22424|4347PQk=+，且12425|4347EFk=+，四边形EPFQ的面积为112425230 2|sin22771049PQ EF=12 分