九师联盟洛阳强基联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题含答案.pdf

第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 2023 年河南省年河南省九师联盟九师联盟洛阳强基联盟洛阳强基联盟高二高二 12 月联考数学试题月联考数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线2:8C xy=的准线方程为()A.2x=B.2x=C.2y=D.2y=2.数列4，7，10，13，的一个通项公式为()A.(1)(34)nnan=+B.1(1)(31)nnan+=+C.1(1)(34)nnan+=+D.(1)(31)nnan=+3.一条渐近线方程为230 xy+=，且经过点(3 3,2 2)的双曲线的标准方程是()A.22194xy=B.22149yx=C.22149xy=D.22194yx=4.若数列na满足12a=，11nnnaaa+=，则2024a=()A.3 B.2 C.12 D.1 5.设等差数列na的前 n 项和为nS，若1477SS=，则2114SS=()A.187 B.32 C.117 D.116 6.已知1F，2F是平面内两个不同的定点，则“12|MFMF为定值”是“动点 M 的轨迹是双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.定义 x表示不超过 x 的最大整数，例如：0.30=，2.12=，1.72.=若*2()3nnanN+=，数列na的前 n项和为nS，则20S=()A.64 B.70 C.77 D.84 第 2 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为1F，2F，(2,1)A 为椭圆 C内一点.对称中心在坐标原点，焦点在 x轴上的等轴双曲线 E经过点(3,1)，点(,)Q a b在 E上.若椭圆 C上存在一点 P，使得2|4PAPF+=，则 C的离心率的取值范围是()A.2 2 2 2,53 B.2 22,)52 C.2 2 2(,23 D.2(0,)2 二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知关于 x，y 的方程22142xymm+=表示的曲线是 E，则曲线 E可以是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 10.在数列na中，11a=，23a=，*nN，21nnnaaa+=，nS为na的前 n 项和，则2nS的值可以为()A.0 B.3 C.4 D.5 11.等差数列na的前 n项和为nS，公差为 d，7484()()0SSSS，则下列结论正确的是()A.若0d，则120S，则当6n=时，nS最小 C.*nN，227naa D.若121a=，d 为整数，则4d=12.经过抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点 F 的直线 l交 C于 A，B 两点，O为坐标原点，设11(,)A x y，2212(,)()B xyyy，|AB的最小值是 4，则下列说法正确的是()A.3OA OB=B.|AFBFAFBF+=C.若点3(,1)2M是线段 AB 的中点，则直线 l的方程为220 xy=D.若4ABFB=，则直线 l的倾斜角为60或120 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知数列na的通项25nnan=+，则510aa+=_.第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 14.已知椭圆2:116xEy+=的左，右顶点分别为 A，B，上顶点为 C，则直线 CA，CB的斜率之积为_.15.已知 F，A 分别是双曲线22221(0,0)xyabab=的左焦点和右顶点，过点 F 作垂直于 x轴的直线 l，交双曲线于 M，N两点，若AMAN，则双曲线的离心率为_.16.已知两个等差数列na和 nb的前 n项和分别为nA和nB，且7333nnAnBn+=+，则使得nnab为整数的正整数 n的集合是_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题 10分)已知等差数列na的前 n 项和为nS，42a=，1025.S=(1)求数列na的通项公式;(2)求nS的最小值及取得最小值时 n的值.18.(本小题 12分)已知数列na的前 n 项和为nS，且2*339().22nSnn nN=+(1)求数列na的通项公式;(2)求数列|na的前 n项和.nT 第 4 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 19.(本小题 12分)如图，过抛物线2:2(0)C xpy p=的焦点 F的直线与 C相交于 A，B两点，当直线 AB 与 y 轴垂直时，|4.AB=(1)求 C 的方程;(2)以 AB为直径的圆能否经过坐标原点?O若能，求出直线 AB 的方程;若不能，请说明理由.20.(本小题 12分)已知数列na满足11a=，*1712().35nnnaanNa+=(1)求证：数列12na 为等差数列;(2)求数列na的通项公式与最大值.第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 21.(本小题 12分)已知椭圆22221(0)xyabab+=的短轴长与焦距均为 2，A，B 是椭圆上的动点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线 OA与 OB 斜率的乘积为12，动点 P 满足OPOAOB=+，(其中实数为常数)，若存在两个定点1F，2F，使得12|2 6PFPF+=，求1F，2F的坐标及的值.22.(本小题 12分)已知曲线 C上的任意一点到直线4 55x=的距离是它到点(5,0)的距离的2 55倍.(1)求曲线 C 的方程;(2)设(2,0)M，(2,0)N，过点(4,0)G的直线 l在 y轴的右侧与曲线 C相交于 A，B两点，记直线 AM，BN 的斜率分别为AMk，BNk，求直线 l的斜率 k 的取值范围以及3BNAMkk+的值.第 1 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 20232023 年河南省年河南省 九师联盟九师联盟 洛阳强基联盟洛阳强基联盟 高二高二 1212 月联考数学试题月联考数学试题 一、单选题：本题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线:2=8的准线方程为()A.=2 B.=2 C.=2 D.=2【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查抛物线的准线方程，属于基础题.由给出的抛物线方程，确定其开口方向，以及 2p的值，即可求解.【解答】解：抛物线C开口向上，且2=8，则2=2，则其准线方程是=2.故选.2.数列4，7，10，13，的一个通项公式为()A.=(1)(3+4)B.=(1)+1(3+1)C.=(1)+1(3+4)D.=(1)(3+1)【答案】D 【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，属于基础题.先求得数列 4，7，10，13，的通项，再利用(1)来控制数列各项的符号，进而得解.【解答】解：数列 4，7，10，13，的通项可用3+1表示，又因为数列所有的奇数项为负，偶数项为正，故可用(1)来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为=(1)(3+1).3.一条渐近线方程为2+3=0，且经过点(3 3,2 2)的双曲线的标准方程是()A.2924=1 B.2429=1 C.2429=1 D.2924=1【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程，求解双曲线方程即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程与双曲线方程的关系，是基础题 第 2 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由题意设双曲线的方程为42 92=，将点(3 3,2 2)代入双曲线方程得=4 (3 3)29 (2 2)2=36，所以双曲线的方程为42 92=36，即2924=1.故选.4.若数列满足1=2，+1=1，则2024=()A.3 B.2 C.12 D.1【答案】C 【解析】【分析】本题考查数列的周期性，属基础题.由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.【解答】解：因为数列满足1=2，+1=1，所以2=12，3=1，4=2，5=12，.，故数列的周期为 3，故2024=2=12.故选.5.设等差数列的前n项和为，若147=7，则2114=()A.187 B.32 C.117 D.116【答案】A 【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题.根据题意利用等差数列前n项和的性质即可求得结果.【解答】解：在等差数列中，7，14 7，21 14成等差数列，即2(14 7)=7+(21 14)，设7=(0)，则14=7，于是12=+(21 7)，解得21=18，所以2114=187.故选：.第 3 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知1，2是平面内两个不同的定点，则“|1|2|为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义、必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了推理能力，属于基础题 由双曲线的定义和必要条件、充分条件与充要条件的判断，即可判断出【解答】解：“动点M的轨迹是双曲线”“|1|2|为定值”，反之不成立，若定值两个定点的距离，其轨迹不是双曲线 因此“|1|2|为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件 7.定义表示不超过x的最大整数，例如：0.3=0，2.1=2，1.7=2.若=+23()，数列的前n项和为，则20=()A.64 B.70 C.77 D.84【答案】C 【解析】【分析】本题考查数列的新定义，考查数列求和，属于一般题.求出当3 2 3，+时，=，利用分组转化求和即可.【解答】解：因为=+23，所以当1 3，+时，=1;当4 6，+时，=2;当7 9，+时，=3;当3 2 3，+时，=.所以19=20=7，故20=3(1+2+6)+7 2=77.8.已知椭圆:22+22=1(0)的左，右焦点分别为1，2，(2,1)为椭圆C内一点.对称中心在坐标原点，焦点在x轴上的等轴双曲线E经过点(3,1)，点(,)在E上.若椭圆C上存在一点P，使得|+|2|=4，则C的离心率的取值范围是()第 4 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 A.2 25,2 23 B.2 25,22)C.(22,2 23 D.(0,22)【答案】B 【解析】【分析】本题考查椭圆离心率范围的求解，为中档题.根据题意求出双曲线E的方程为2222=1，结合点(,)在E上以及点(2,1)在椭圆C内可得a的取值范围和1的坐标，即可求离心率的取值范围.【解答】解：等轴双曲线E经过点(3,1)，故双曲线E的方程为2222=1，由点(,)在E上，得2 2=2，所以椭圆C的左焦点1的坐标是(2,0)，因为|+|2|=4，所以|+(2|1|)=4，|1|=4 2，又|1|1|=1，当P，A，F共线时等号成立，所以|4 2|1，解得32 52.又因为点(2,1)在椭圆C内，所以22+12 1，即22+122 1，解得2 4，由得2 52，251 0时，=3，方程24+22=1可以化简为2+2=1，曲线E是圆；当4 0，2 0且4 2时，2 3或3 4，曲线E是椭圆；第 5 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 当(4 )(2)0时，4，曲线E是双曲线.故选.10.在数列中，1=1，2=3，+2=+1，为的前n项和，则2的值可以为()A.0 B.3 C.4 D.5【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查周期数列，属于简单题.由题可得数列 是周期为 6 的周期数列，且1+2+6=0，进而得出答案.【解答】解：1=1,2=3,+2=+1 ，3=2 1=2,4=3 2=1,5=4 3=3,6=5 4=2，7=6 5=1,8=7 6=3,为以 6 为周期的数列，且 6=1+3+2 1 3 2=0，而 ，2n 被 6 除的余数只能为 0,2,4，所以 2 的值只能为 2=1+3=4,4=1+3+2 1=5，6=0，故ACD正确，B错误.故选.11.等差数列的前n项和为，公差为d，(7 4)(8 4)0，则下列结论正确的是()A.若 0，则12 0，则当=6时，最小 C.，2 72 D.若1=21，d为整数，则=4【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，数列前n项和的最值问题，属于中档题.由(7 4)(8 4)0，求得6(6+7)0，对d进行分类讨论，逐个判断即可.【解答】解：因为(7 4)(8 4)0，所以(5+6+7)(5+6+7+8)0，即36 2(6+7)0，即6(6+7)0.若 0，6+7 0，则12=6(6+7)0，则6 0，6最小，故B正确;由6(6+7)0，得62 67，所以|62|67|，所以|6|7|，62 72，故C错误;若1=21，则 0，6+7=21+11 0，得215 0)的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，设(1,1)，(2,2)(1 2)，|的最小值是 4，则下列说法正确的是()A.=3 B.|+|=|C.若点(32,1)是线段AB的中点，则直线l的方程为2 2=0 D.若=4，则直线l的倾斜角为60或120【答案】BC 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及向量的数量积，属于中档题.求出p，得抛物线方程，求出焦点坐标，设直线l的方程为=+1，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的坐标运算对选项逐个判断即可.【解答】解：当直线l与x轴垂直时，|取得最小值，所以2=4，所以=2，所以抛物线C的方程为2=4，焦点(1,0)，由题意可知直线l的斜率不为 0，可设直线l的方程为=+1，联立2=4,=+1,得2 4 4=0，=16(2+1)0，12=4，1+2=4，1+2=(1+2)+2=42+2，12=124224=1，所以=12+12=3，A错误;|=1+1，|=2+1，所以|+|=1+2+2=42+4，|=(1+1)(2+1)=12+1+2+1=42+4，所以|+|=|，B正确;因为点(32,1)是线段AB的中点，所以1+2=2，即4=2，=12，第 7 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 所以直线l的方程为2 2=0，C正确;=4，所以|=3|，即1+1=3(2+1)，所以1 32 2=0，因为12=1，所以131 2=0，即12 21 3=0，解得1=3(1=1舍去)，又1 2，故1 0 2，所以(3,2 3)，所以直线l的斜率为2 3031=3，直线l的倾斜角为60，D错误.故选.三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分。13.已知数列的通项=2+5，则5+10=_.【答案】1142 【解析】【分析】本题主要考查数列中项的求解，属于基础题.【解答】解：5=552+5=16，10=10102+5=221，所以5+10=1142.故答案为1142.14.已知椭圆:216+=1的左，右顶点分别为A，B，上顶点为C，则直线CA，CB的斜率之积为_.【答案】116 【解析】【分析】本题考查椭圆的方程，属于基础题.【解答】解：由题意知(4,0)，(4,0)，(0,1)，所以=10(4)104=116，即直线CA，CB的斜率之积为116.15.已知F，A分别是双曲线2222=1(0,0)的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若 ，则双曲线的离心率为_.【答案】2 【解析】【分析】第 8 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 本题考查双曲线的离心率，属于中档题.【解答】解：方法一：设(,0)，将=代入2222=1，得=2，所以(,2)，(,2)，因为(,0)，且 ，所以=0，即(,2)(,2)=0，故(+)2(22)22=(+)21()22=0，因为(+)2 0，所以1()22=0，所以2=2+2 2，得=2，故双曲线的离心率=2.方法二：设(,0)，将=代入2222=1，得=2，所以|=|=2，因为 ，所以|=|，即2=+，所以2 2=2+，即2 22=0，所以2 2=0，解得=2(=1舍去).故答案为：2.16.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且=7+33+3，则使得为整数的正整数n的集合是_.【答案】1,2,5 【解析】【分析】本题主要考查等差数列前n项和的性质，属于较难题.【解答】解：由=1+2121+212=2121=7(21)+3321+3=14+262+2=7+13+1=7(+1)+6+1=7+6+1，因为为整数且 +，所以=1，2，5.故答案为1,2,5.四、解答题：本题共 6 6 小题，共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题 10 分)已知等差数列的前n项和为，4=2，10=25.(1)求数列的通项公式;(2)求的最小值及取得最小值时n的值.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，第 9 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 由4=2，10=25，得1+3=2，101+1092=25，解得1=11，=3，所以=1+(1)=3 14.(2)方法一：由=3知是递增数列，当 4时，0.所以1 2 3 4 5，所以当=4时，最小，最小值为4=41+432 =26.方法二：=1+(1)2=322252=32 256262524，又 ，所以当=4时，最小，最小值为26.【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，等差数列前n项和的最值问题，属于中档题.(1)根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到1=11，=3，然后写通项即可；(2)方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；方法二：根据前n项和的函数性质求最小值.18.(本小题 12 分)已知数列的前n项和为，且=322+392().(1)求数列的通项公式;(2)求数列|的前n项和.【答案】解：(1)当 2时，=1=322+392 32(1)2+392(1)=3+21，当=1时，1=1=18，满足上式.综上，=3+21.(2)令 0，得21 3 0，解得 7;令 0，得21 3 7.当1 7，时，=|1|+|2|+|=1+2+=322+392;当 8时，=(1+2+7)(8+)=27=2 63 (322+392)=322392+126.综上所述，=322+392,1 7且 ,322392+126,8且 .第 10 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】本题考查数列的前n项和Sn与an的关系，分类讨论思想在数列求和中的应用，属于中档题.(1)根据=1，验证=1时，1=1=2，得到数列的通项公式；(2)由题意 7时 0，7时 0)的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，|=4.(1)求C的方程;(2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点?若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.【答案】解：(1)点的坐标是(0,2)，当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是(,2)，(,2)，|=2=4，解得=2，所以C的方程是2=4.(2)以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下：直线AB的斜率显然存在，设其方程为=+1，代入2=4，消去y并整理得2 4 4=0，设(1,1)，(2,2)，则12=4.因为=12+12=12+122216=4+1=3，所以OA与OB不垂直.因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.【解析】本题考查抛物线的标准方程问题，抛物线中的探索性问题，属于中档题.(1)求出A，B坐标，由|=4求出p，即可得抛物线方程;第 11 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司(2)直线AB的斜率显然存在，设其方程为=+1，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.20.(本小题 12 分)已知数列满足1=1，+1=71235().(1)求证：数列12为等差数列;(2)求数列的通项公式与最大值.【答案】(1)证明：1+1212=17 1235212=35212=362=3(常数)，所以数列12是以 3 为公差的等差数列.(2)解：由112=1，得数列12的首项是1，所以12=1+3(1)=3 4，即=134+2.当 2时，由反比例函数的性质知单调递减，所以2 3 ，又1=1，2=52，所以数列的最大值是52.【解析】本题考查等差数列的判断与证明，数列单调性的应用，属于中档题.(1)计算1+1212，根据等差数列的概念即得结论；(2)由(1)可得=134+2，再研究其单调性，计算可得结论 21.(本小题 12 分)已知椭圆22+22=1(0)的短轴长与焦距均为 2，A，B是椭圆上的动点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线OA与OB斜率的乘积为12，动点P满足=+，(其中实数为常数)，若存在两个定点1，2，使得|1|+|2|=2 6，求1，2的坐标及的值.【答案】解：(1)由题设可知：2=2=2，所以=1，第 12 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 又2=2+2=2，所以椭圆的标准方程为22+2=1；(2)设(,)，(1,1)，(2,2)，则由=+，得=1+2，=1+2，因为点A，B在椭圆2+22=2上，所以12+212=2，22+222=2，2+22=(12+222+212)+2(12+222+212)=(12+212)+2(22+222)+2(12+212)=2+22+2(12+212)，因为=1212=12，所以12+212=0，所以2+22=2+22，即22+22+21+2=1，所以点P是椭圆22+22+21+2=1上的点.所以两个定点1，2是该椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|1|+|2|=2 2+22=2 6，所以=2，又 1+2=3，因此两定点的坐标分别为1(3,0)，2(3,0)或1(3,0)，2(3,0).【解析】本题考查椭圆的性质，标准方程，向量与椭圆的综合问题，考查定点问题，属于综合题.(1)利用椭圆的性质求出a，b，即可得椭圆方程;(2)设(,)，(1,1)，(2,2)，由平面向量的坐标运算和点A，B在椭圆2+22=2上，结合斜率公式求得点P是椭圆22+22+21+2=1上的点，所以两个定点1，2是该椭圆的两个焦点，利用椭圆的定义即可求解.22.(本小题 12 分)已知曲线C上的任意一点到直线=4 55的距离是它到点(5,0)的距离的2 55倍.(1)求曲线C的方程;第 13 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司(2)设(2,0)，(2,0)，过点(4,0)的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为，求直线l的斜率k的取值范围以及+3的值.【答案】解：(1)设(,)是曲线C上的任意一点，则|4 55|=2 55(5)2+2，化简得2 42=4，所以曲线C的方程为24 2=1.(2)设(1,1)，(2,2)，直线AB的方程为=+4，由=+424 2=1，消去x并整理得(2 4)2+8+12=0.则 2，=(8)2 48(2 4)=162+192 0，且1+2=824,12=1224,因为直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，所以1+2 0,12 0,即1+4+2+4 0,(1+4)(2+4)0,所以(1+2)+8 0,212+4(1+2)+16 0,(824)+8 0,21224+4(824)+16 0,即3242 0,4(2+16)42 0,解得2 4，即12 4，解得 12，所以直线l的斜率k的取值范围是(,12)(12,+).又因为=11+2222=11+2222=1(2+2)2(1+6)=12+2112+62=12+2(1+2)2212+62=12241624221224+62=424221224+62=13，所以+3=0.【解析】本题主要考查与双曲线有关的轨迹问题，考查双曲线中的定值问题，属于较难题.(1)根据题意结合距离公式列方程化简即可求解；第 14 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司(2)设(1,1)，(2,2)，直线AB的方程为=+4，与双曲线方程联立，结合韦达定理以及斜率公式即可求解.