重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题数学试题（满分：（满分：150 分：考试时间：分：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2ii0zz ，则复数z的虚部为（）A.15B.1i5C.25D.2i52.设集合1,0,1A，1 2,xBy yxA，则AB中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知2，则2214sinsin的最小值为（）A.6B.8C.9D.104.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AAa，若侧面11AAB B水平放置时，水面恰好过AC，BC，11AC，11BC的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为（）A.4aB.2aC.34aD.a5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.90B.125C.180D.2436.x表示不超过x的最大整数，如2.32，1.92，已知数列 na满足11a，25a，2145nnnaaa，若21lognnba，nS为数列 nb的前n项和，则2023S（）A.2023 2022B.2023 2024C.2023 2026D.2023 20287.过双曲线22221xyab上任一点00,P xy作两渐近线的平行线PE，PF且与两渐近线交于E，F两点，且1EFOPkk，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.28 已知1tan0.01sin0.01a，100b，1051232c，则（）A.abcB.acbC.cbaD.cab二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 sinf xxk0,22的图象中相邻两条对称轴的距离是2，现将 f x的图象向右平移个8单位长度，得到函数 g x的图象，若 g x是偶函数，且最大值为 2，则下列结论正确的是（）A.f x的最小正周期是2B.f x的图象关于直线8x 对称C.f x的图象关于点5,18对称D.f x在3 7,88上单调递减10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率 0.005P C.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被确诊为患病”，则有0.95P A CP A C.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.0.95P C B.0.005P AC C.0.05P A C D.0.1P C A 11.统计学中的标准分z是以平均分X为参照点，以标准差x为单位，表示一个数据x在整组数据中相对.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司位置的数值，其计算公式是iixxXz（1,2,in）.若一组原始数据如下：序号 i12345对应值 ix105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X B.3x对应的标准分30.1z C.该组原始数据的标准分z的方差为 1D.存在ij，使得ijxx，ijzz同时成立12.定 义 域 为R的 函 数 f x，g x的 导 函 数 分 别 为 fx，gx，且 fxg x，0fxgx，则下列说法错误的为（）A.当0 x是 f x的零点时，0 x是 g x的极大值点B.当0 x是 f x的零点时，0 x是 g x的极小值点C.f x，g x可能有相同零点D.f x，g x可能有相同极值点三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量1,2,3,4maanaa ，若/mnm，则实数 a_.14.已知,02，sintan2cos，则tan_.15.过直线2y 上任意一点P作圆O：221xy的两条切线，则切点分别是,A B，则OAB面积的最大值为_.16.已知四面体ABCD满足4 3BCCDBD，它的体积为28 3，其外接球球O的表面积为100，则点A 在球O表面的轨迹长度为_；线段AB长度的最小值为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na中，2122aa，且22,4,nnnanaa n为奇数为偶数.的的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）求 na的通项公式；（2）求 na的前 10 项和10S.18.记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 coscoscos2caABbA（AB）.（1）求A；（2）若AD是角A 的内角平分线，且2AD，求ABC周长的最小值.19.已知三棱锥PABC中，2ABAC，BAAC，3PACPAB，4PA.（1）求点P到平面ABC的距离；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.20.在直角坐标系xOy中，动点P到y轴的距离比点P到点1,0F的距离少 1.（1）求动点P的轨迹方程W；（2）当0 x 时，过点4,0M直线与W交于,A B两点，连接AF，BF延长与W分别交于C、D两点，求FCD与FAB面积之和FCDFABSS的最小值.21.“大地”渔业公司从A、B两不同设备生产厂商处共购买了 80 台同类型的设备.（1）若这 80 台设备购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是 0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由 4 个人维修，每个人各自独立负责 20 台；乙方案是由 3 个人共同维护这 80 台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.的的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司附：22n adbcabcdacbd0.10.050.010.005x2.7063.8416.6357.87922.设函数 sincosf xxxx，21cos2xg xx.（1）当0,x时，证明：0f x；当,x 时，求 g x的值域；（2）若数列 na满足11a，1cosnnnaaa，0na，证明：1231233coscoscoscos2nnaaaaaaaa（*Nn）.第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题数学试题（满分：（满分：150 分：考试时间：分：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2ii0zz ，则复数z的虚部为（）A.15B.1i5C.25D.2i5【答案】A【解析】【分析】设复数z的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.【详解】设i(,)zab a bR，代入2ii0zz 得，i2(i)ii2(21)i0abababba，则有20210abba，解得2515ab，即复数z的虚部为15.故选：A.2.设集合1,0,1A，1 2,xBy yxA，则AB中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【分析】由定义域为A，先求函数1 2xy 值域B即可，再由交集运算可得.【详解】设函数()1 2xf x ，则1(1),(0)0,(1)12fff，所以集合11,0,2B，由集合1,0,1A，则1,0AB，AB中元素的个数为2，故选：B.3.已知2，则2214sinsin的最小值为（）A.6B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】由于2，得出2sin和2sin的对应关系，再设定2sin和2sin为,x y，得到基本不等式形式：“1xy和14xy模型”，求解即可.【详解】由于2，得sinsin()cos2，所以设2sin,(0,1)x x，2sin,(0,1)y y，且1xy，则221414144()()5sinsinyxxyxyxyxy，其中445529yxyxxyxy（等号成立时4yxxy，即12,33xy时成立）.故选：C.4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AAa，若侧面11AAB B水平放置时，水面恰好过AC，BC，11AC，11BC的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为（）第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司A.4aB.2aC.34aD.a【答案】C【解析】【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.【详解】如图，设11BC，11AC，11AB的中点分别为 E，F，G，则111112EFAGGBAB，11 1 114C EFA B CSS，所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为3:4，由于两种状态下水的体积相等，所以当底面ABC水平放置时，水面高为侧棱长的34，即34a.故选：C5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.243【答案】A【解析】【分析】根据已知对五位同学分 3 组，然后全排列即可求解.【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的 3 位专家去定点帮助 5 名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分 3 组，且三组人数为 2、2、1，然后分配给 3 位专家，所以不同的安排方法共有2213531322C09C CAA种.故选：A6.x表示不超过x的最大整数，如2.32，1.92，已知数列 na满足11a，25a，第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司2145nnnaaa，若21lognnba，nS为数列 nb的前n项和，则2023S（）A.2023 2022B.2023 2024C.2023 2026D.2023 2028【答案】B【解析】【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出1na，再适当放缩得出nb，再结合等差数列的求和公式计算即可.【详解】由2145nnnaaa可知21144nnnnaaaa，所以数列14nnaa是常数列，又11a，25a，所以2141aa，则数列14nnaa各项均为 1，即111141433nnnnaaaa，11433a，则数列13na是以43为首项，4 为公比的等比数列，即112211411441213333nnnnnaa，由22222214 23 2212123nnnnn ，22212122212216 24 2213 2212213nnnnnnn ，故22112122log2,21nnnnaann，根据题意可知：21log2nnban，所以120232023202322 202320232024 202322bbS.故选：B7.过双曲线22221xyab上任一点00,P xy作两渐近线的平行线PE，PF且与两渐近线交于E，F两点，且1EFOPkk，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.2【答案】D【解析】【分析】求出,E F的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【详解】过点P与双曲线渐近线byxa平行的直线PE为00()byyxxa，于是有：00byxabyyxxa，解得000022bxayxbbxayya，即0000,22bxaybxayEba，过点P与双曲线渐近线byxa 平行的直线PF为00()byyxxa，于是有：00byxabyyxxa，解得000022bxayxbbxayya，即0000,22bxaybxayFba，所以0000202000002222EFbxaybxayb xaakbxaybxaya ybb，因为1EFOPkk，所以220022001b xyba yxa，所以双曲线的离心率为2212cbeaa.故选：D8.已知1tan0.01sin0.01a，100b，1051232c，则（）A.abcB.acbC.cbaD.cab【答案】A【解析】【分析】由常用不等式与作差法比较大小,【详解】设()sinf xxx，02x，则()1 cos0fxx，则()f x在0,2单调递增，故()(0)f xf，即sin0 xx，则sin0 xx，且tan0 x.第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司11sin xx，且tan0 x 所以11100,tan0.010sin0.010.01，则1tan0.01100sin0.01ab；因为225153533 57,2222，则10822225151513 575112223525225 ，则12355 57755 52322c，所以7755 512355 510022bc，由2212315129,55 515125，则12355 5，即bc.所以abc.故选：A二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 sinf xxk0,22的图象中相邻两条对称轴的距离是2，现将 f x的图象向右平移个8单位长度，得到函数 g x的图象，若 g x是偶函数，且最大值为 2，则下列结论正确的是（）A.f x的最小正周期是2B.f x的图象关于直线8x 对称C.f x的图象关于点5,18对称D.f x在3 7,88上单调递减【答案】CD【解析】【分析】根据对称性求得周期判断 A，整体代换法求解对称轴、对称中心判断 BC，代入正弦函数单调减区间求解判断 D.【详解】因为函数 sinf xxk0,22的图象中相邻两条对称轴的距离是2，第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以函数 f x的最小正周期为222T，所以2，故 A 错误；sin 2f xxk，将 f x的图象向右平移个8单位长度，得到函数 g x的图象，则 sin 24g xxk，又 g x是偶函数，且最大值为 2，所以,Z4212kkk，即3,Z41kkk，又22，所以41k，所以 sin 214f xx，由2+,42xkkZ，得3,82kxkZ，即 f x图象的对称轴方程为3,82kxkZ，当8x 时，12k Z，故 B 错误；由2,4xkkZ，得,82kxkZ，即 f x图象的对称点为,182kkZ，当1k 时，f x的图象关于点5,18对称，故 C 正确；当32 22,242kxkkZ，解得：37,88kxkkZ，所以当0k 时，f x在区间3 7,88上单调递减，故 D 正确.故选：CD10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率 0.005P C.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被确诊为患病”，则有0.95P A CP A C.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.0.95P C B.0.005P AC C.0.05P A C D.0.1P C A【答案】BC【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断 AC，根据条件概率和全概率公式判断 BD.【详解】因为(|)0.95P A C，所以(|)1(|)0.05P A CP A C，因为 0.005P C，所以 0.995P C，故选项 A 错误，C 正确；第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司因为 ()()0.95 0.0050.004750.005P ACP C A P AP A C P C，故选项 B 正确；由全概率公式可得 ()()P AP A CP CP A CP C，则由条件概率公式知 ()()(|)()()()P ACP ACP C AP AP A C P CP A C P C0.95 0.005190.95 0.0050.05 0.995218，故选项 D 错误.故选：BC11.统计学中的标准分z是以平均分X为参照点，以标准差x为单位，表示一个数据x在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是iixxXz（1,2,in）.若一组原始数据如下：序号 i12345对应值 ix105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X B.3x对应的标准分30.1z C.该组原始数据的标准分z的方差为 1D.存在ij，使得ijxx，ijzz同时成立【答案】AC【解析】【分析】根据平均数计算公式判断 A，先求标准差x，然后利用标准分计算3z判断 B，计算12345,z zz zz，代入方差计算公式求解判断 C，利用iz与ix关系判断 D.【详解】该数组的平均值10566875X，故选项 A 正确；因为标准差22222107576767874 555x，所以3367544 55XxXz，故选项 B 错误；第 9 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司111073 544 55XxXz，2257524 55XxXz，4367544 55zz，5587544 55XxXz，所以标准分z的平均值为3 555554244405z，所以该组原始数据的标准分z的方差为222223 55555000004244415 ，故选项 C 正确；由题意75744 55iiixzx，若ijxx，且ij，则ijzz，故选项 D 错误.故选：AC12.定 义 域 为R的 函 数 f x，g x的 导 函 数 分 别 为 fx，gx，且 fxg x，0fxgx，则下列说法错误的为（）A.当0 x是 f x的零点时，0 x是 g x的极大值点B.当0 x是 f x的零点时，0 x是 g x的极小值点C.f x，g x可能有相同的零点D.f x，g x可能有相同的极值点【答案】ABD【解析】【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.【详解】()()g xfx，设 h xfx，则()g xh x，则()g xh x，所以()()fxh x，AB 选项,若()0f x,则0 x不是()g x的极大值点,也不是极小值点，故 AB 错误；C 选项,考虑32(),()3f xxfxx，则2()()3g xfxx，显然两者有共同零点 0，故 C 正确；D 选项,若()()g xfx在0 x处取得极值,第 10 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司若1x处取得极大值,10fx,则在1x左右两侧无限小的区间内()0f x,即11,0 xxx时,必有()0fx,所以()f x在11,xx上单增,不符合题意,同理 10fx,有11,0 xxx 时,必有()0fx,所以不符合题意.若1x处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以 D 选项错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：（1）结合导数得出原函数表达式；（2）假设成立，判断命题真假；（3）转化思想应用.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量1,2,3,4maanaa ，若/mnm，则实数 a_.【答案】54【解析】【详解】(2,6)mn，由/mnm，得612 20aa，解得54a.14.已知,02，sintan2cos，则tan_.【答案】0【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的二倍角公式计算即可.【详解】易知2sin2tantan2tancos1tan，因为,02，若0，显然tan0，上式恒成立，若,02，则t an0，所以2222tan2tan1tan11tan1tan ，无解，第 11 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司综上可知tan0.故答案为：015.过直线2y 上任意一点P作圆O：221xy的两条切线，则切点分别是,A B，则OAB面积的最大值为_.【答案】34#134【解析】【分析】由,OAPA OBPB得出点,A B在以OP为直径的圆C上是关键，通过两圆方程相减得到直线AB的方程，从而求出OAB面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点,2P t（），因,OAPA OBPB,故点,A B在以OP为直径的圆C上，因圆心(,1)2tC，半径为242t，故圆C的方程为：2224:()(1)24ttCxy，又圆O：221xy，将两式左右分别相减，整理得直线AB的方程为：:210ABltxy，于是，点(0,0)O到直线:210ABltxy 的距离为：214dt，222213|2 1()244tABtt，故OAB的面积为：2222211313=|222444AOBttSAB dttt，不妨设23,mt则3m，且223tm，故2111AOBmSmmm，因1ymm在 3,)上单调递增，故4 33y，此时34AOBS，第 12 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司即0t时，点(0,2)P时，OAB面积的最大值为34.故答案为：34.16.已知四面体ABCD满足4 3BCCDBD，它的体积为28 3，其外接球球O的表面积为100，则点A 在球O表面的轨迹长度为_；线段AB长度的最小值为_.【答案】.9 .5 2【解析】【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径R，再根据勾股定理求出球心O到平面BCD的距离，再由锥体体积求出点 A 到平面BCD的距离h，直观想象可得点 A 在球O表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点 A在圆上运动，到定点B的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.【详解】设外接球半径为R，因为外接球的表面积为100，则24100R，解得5R，设BCD的中心为1O，则1324 3423BO，如图过点B作球的轴截面，则222211543OOOBO B，设点 A 到平面BCD的距离为h，21328 34 334A BCDVh，解得7h.则由题意知，点 A 在以5为半径的球面上，且距离平面BCD为7的平面内，则点 A 在球O表面的轨迹为圆，设圆心为2O，且234OOh则2222222549AOOAOO，即圆2O的半径为3，所以点 A 在球O表面的轨迹长度为9；由题意可看作点 A 在圆台12OO底面圆周2O上运动，则当AB为圆台母线时，AB最小，即当12,A B O O四点共面时，AB取最小值，如图，2222min7(43)5 2ABAHBH.第 13 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故答案为：9；5 2.【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.交轨法：根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）部分确定轨迹；4.基底（建系）法：通过选择基底（或建系）将几何问题数量化，得到动点满足方程（组），进而分析方程表示的轨迹；5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na中，2122aa，且22,4,nnnanaa n为奇数为偶数.（1）求 na的通项公式；（2）求 na的前 10 项和10S.【答案】（1）1,2,nnn nan为奇数为偶数；（2）707【解析】【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.【小问 1 详解】由题意可知当21Nnkk时，有221212nnkkaaaa，此时数列 na的奇数项成等差数列，的第 14 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司由题意可知11a，公差为 2，则2112121kakk，所以nan，（n为奇数），当2Nnk k时，有22224nnkkaaaa，即此时数列 na的偶数项成等比数列，由题意可知22a，公比为 4，则1212242kkka，所以12nna，（n为偶数），综上1,2,nnn nan为奇数为偶数.【小问 2 详解】由上可知 1012101392410Saaaaaaaaa5392 1 41 951 3922270721 4 18.记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知2 coscoscos2caABbA（AB）.（1）求A；（2）若AD是角A 的内角平分线，且2AD，求ABC周长的最小值.【答案】（1）3；（2）4 3.【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;（2）由AD是角A 的内角平分线，可得到ABCABDACDSSS，化简得到32bcbc，表示出周长，利用基本不等式计算即可.【小问 1 详解】因为2 coscoscos2caABbA，由正弦定理可得：2 sin2 2 sincoscos2 sincos2RCRAABRBA,所以sin2sincoscossincos2CAABBA因为在ABC内，有ABC,所以sinsinCAB，第 15 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以sinsin2 cossincos2sin 2ABABBAAB所以2ABAB,或2ABAB，即2AB，或3A，由AB，故3A.【小问 2 详解】因为AD是角A 的内角平分线，且2AD，所以ABCABDACDSSS,即111sin2 sin2 sin232626bccb，整理得：32bcbc，所以2 32 3233bcbcbc，所以163bc，当且仅当4 33bc时，上式取到最小值，在ABC中由余弦定理可得：222222cos3abcbcbcbc，所以ABC周长：223324 322ABCCabcbcbcbcbcbcbc=+=+-+-+，当且仅当4 33bc时，等号成立，所以ABC周长的最小值为4 3.19.已知三棱锥PABC中，2ABAC，BAAC，3PACPAB，4PA.（1）求点P到平面ABC的距离；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.【答案】（1）2 2 （2）105【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证得PE 平面ABC，再利用勾股定理求得PE，从而,第 16 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司得解；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问 1 详解】取BC中点D，连接AD，PD，在ACP和ABP中，ABAC，APAP，PACPAB，可得ACPABP，则CPBP，所以PDBC，因为ADBC，且ADPDDI，,AD PD 平面ADP，所以BC平面ADP，在平面PAD中，过P点作PEAD，交AD延长线于点E，连接CE，BE，PE，因为BC平面PAD，且PE 平面PAD，所以BCPE，又ADBCD，,AD BC 平面ABC，所以PE 平面ABC，即PE为点P到平面ABC的距离，在PCAV中，3PAC，4,2PAAC，由余弦定理可得2222212cos422 4 2122PCPAACPA ACPAC ，则2 3PC，在RtABC中，122ADCDBC，在Rt PCD中，2212210PDPCCD，在RtPAE中，22222PEPAAEPDDE，则2216210DEDE，解得2DE，则2221028PEPDDE，即2 2PE，所以点P到平面ABC的距离为2 2.【小问 2 详解】由（1）知,CDBD ADDE，所以四边形ABEC是平行四边形，又,ABAC ABAC，所以四边形ABEC是正方形，以 A 为原点，AB为x轴，AC为y轴，如图建立空间直角坐标系，第 17 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司 则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(2,2,2 2)P，可得(2,0,0)AB ，(2,2,2 2)AP ，(2,2,0)CB ，(0,2,2 2)BP ，设平面PAB法向量为(,)ma b c，则20222 20m ABam APabc ，令2b，则0a，1c ，即(0,2,1)m，设平面PBC的法向量为(,)nx y z，则22022 20n CBxyn BPyz ，令1z ，则2x，2y，即2,2,1n，设平面PAB与平面PBC的夹角，则02，可得2 115coscos,5322 1m nm nm n ，221510sin1 cos155，所以平面PAB与平面PBC的夹角的正弦值105.20.在直角坐标系xOy中，动点P到y轴的距离比点P到点1,0F的距离少 1.（1）求动点P的轨迹方程W；（2）当0 x 时，过点4,0M的直线与W交于,A B两点，连接AF，BF延长与W分别交于C、D两点，求FCD与FAB面积之和FCDFABSS的最小值.【答案】（1）20,04,0 xyx x；（2）514.的第 18 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；（2）设直线AB和,A B坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出,C D坐标，从而判定CD过定点，通过消元转化及基本不等式求面积最值即可.【小问 1 详解】设点,P x y，则由题意可知：2211xxy，化简得222xyx，若200 xy，即0,0 xy，若204xyx，综上可知动点P的轨迹方程W为：20,04,0 xyx x；【小问 2 详解】根据（1）知0 x 时，2:4Wyx，由题意可设221212:4,44AByylxkyAyBy，22,44CDCDyyCyDy，不妨令A 在第一象限，则,B C在第四象限，D在第一象限，如图所示，联立抛物线方程22441604yxykyxky，显然12124,16yyk y y，同理可设过F点的直线为1xmy，与抛物线联立有2440ymy，则124,4CDy yy y ，所以2211224444,CDyyyy，第 19 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司若0k 时，易得124yy，则11,1,144CD，即1:4CDlx，若0k，则CD斜率存在，则2212211214444:44CDyylxyyyyy，化简得121214164444ky y xyyyxkyxy ，综上可知直线CD横过定点1,04G，所以121122FCDFABDCSSGFyyMFyy1211213115116512324yyyyyy，当且仅当14y 时取得最小值514.21.“大地”渔业公司从A、B两不同设备生产厂商处共购买了 80 台同类型的设备.（1）若这 80 台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是 0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由 4 个人维修，每个人各自独立负责 20 台；乙方案是由 3 个人共同维护这 80 台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：22n adbcabcdacbd0.10.050.010.005x2 7063.8416.6357.879.第 20 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）否 （2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据2计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问 1 详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联，由题意，2280(46 6 14 14)0.3563.84160 20 60 20，依据小概率值0.05的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问 2 详解】对于甲方案：以 X 记“第 1 人维护的 20 台设备中同一时刻发生故障的台数”，以1,2,3,4iA i 表示事件“第i人维护的 20 台设备发生故障时不能及时维修”，则知 80 台设备发生故障时不能及时维修的概率为：123412P AAAAP AP X，而20,0.01XB，故有2019120211 0.01C1 0.010.010.0169P X ，所以12340.0169P AAAA；对于乙方案：以 Y 记“80 台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时80,0.01YB，则 80 台设备发生故障时不能及时维修的概率为8079782128080411 0.01C1 0.010.01 C1 0.010.01P X 773380C1 0.010.010.0087，可得0.00870.0169，故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.22.设函数 sincosf xxxx，21cos2xg xx.（1）当0,x时，证明：0f x；当,x 时，求 g x的值域；（2）若数列