圆锥曲线之极点与极线讲义-2024届高三数学一轮复习.docx

高三特色专题-极点与极线极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是高中数学课程标准规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景作为优秀的高中学生，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关背景，进而把握命题规律PEFGHMANB图11极点与极线的定义定义1（从几何角度看极点与极线）如图1，设是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点、，连结、交于，连结交于，连结交于，则直线为点对应的极线若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线由图1可知，同理为点对应的极线，为点对应的极线，称为自极三点形若连结交圆锥曲线于点、，则恰为圆锥曲线的切线定义2（从代数角度看极点与极线）已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程特别地，（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为2极点与极线的基本性质定理1：（1）当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；（2）当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）（3）当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹证明：（1）假设同以上代数定义 ，对于：的方程，两边对求导得，于是曲线在点处的切线的方程为，化简得又，从中解出，代入到前式得，根据代数定义，此方程恰为极线方程（2）设过点所作的两条切线的切点分别为，则由（1）知，在、处的切线方程为：又点在切线上，所以观察这两个式子，可发现点都在直线上，故切点弦方程即为极线方程（3）设曲线过的弦的两端点分别为，则由（1）知，曲线在这两点处的切线方程分别为记两切线的交点为，则有，观察两式，可发现都在直线上，又两点确定一直线，所以的方程为，又直线过点，所以，这意味着点在直线上所以，两切线交点的轨迹方程为定理2（配极原则）BQAPl图2点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点，直线关于的极点在直线上直线关于的极点在极线上由此可知，共线点的极线必共点，共点线的极点必共线定理3：如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于、，交于，则，这时称调和分割线段，或称关于调和共轭点关于圆锥曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线就是的极线BQAPl图3推论1：如图3，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有，反之也成立即证明：QRPl图4O推论2：如图4，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭证明：设直线与的另一交点为若化简即得；反之也成立推论3：如图5，圆锥曲线的一条对称轴上的两点（不在上），若关于调和共轭，过任作的一条割线，交于两点，则图5证明：因关于直线对称，故在上存在的对称点若与重合，则也重合，此时关于对称，有；若不重合，则与也不重合，由于关于调和共轭，故为上完全四点形的对边交点，即在上，故关于直线对称，也有3特殊的极点与极线yOFNxQlM图6圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线例如：对于椭圆，右焦点对应的极线应为，恰为椭圆的右准线对于椭圆而言，点对应的极线方程为；对于双曲线而言，点对应的极线方程为，对于抛物线而言，点对应的极线方程为定理4：设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为（1）若过点的直线与圆锥曲线相交于、两点，则在、两点处的切线的交点在准线上，且；（2）若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为、，则直线过焦点，且；（3）若过焦点的直线与圆锥曲线相交于、两点，过作交准线于，则连线、是的两条切线下面给出椭圆情形下结论（1）的证明，其余皆同理可证设由于焦点的极线为，故切线的交点一定在直线上，设，则点的极线为，即，又4试题的命制背景例1：图9设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆交于两个不同的点时，在线段上取点，满足，证明点总在某定直线上分析与解：（1）易求得答案（2）由条件可得，说明点关于圆锥曲线调和共轭根据定理2，点的轨迹就是点对应的极线，即，化简得故点总在定直线上图10例2：已知椭圆，直线是上一点，射线交椭圆于点，又点在上且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线分析与解：由条件可知点关于圆锥曲线调和共轭，而点可看作是点的极线与直线的交点设，则与对应的极线方程为，化简得又直线的方程为，化简得解由联立方程组得，消去得，可化为不同时为0），故点的轨迹是以（1，1）为中心，长短轴分别为，且长轴平行于轴的椭圆，但需去掉坐标原点图11例3：在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）分析与解：前面两问比较简单，这里从略对于（3），当时，点坐标为，连，设直线的交点为，根据极点与极线的定义可知，点对应的极线经过，又点对应的极线方程为，即，此直线恒过轴上的定点，从而直线也恒过定点例4：已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，并设其交点为图12（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值分析与解：（1）显然，点的极线为，故可设点，再设三点对应的极线方程分别为，由于三点共线，故相应的三极线共点于，将代入后面两个极线方程得，两式相减得又，故（2）设的方程为，与抛物线的极线方程对比可知直线对应的极点为，把代入并由弦长公式得，所以显然，当时，取最小值4例5：设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点（1）求的重心的轨迹方程；（2）证明图13分析与解：（1）设点与对比可知直线对应的极点为，为直线上的动点，则点对应的极线必恒过点设，可化为，故直线对应的极点为，将直线的方程代入抛物线方程得，由此得，的重心的轨迹方程为，消去即得（2）设，由（1）知，又，由（1）知，即，所以，同理所以有 8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司