2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　必刷大题6　导数的综合问题.docx

公众号：高中试卷君必刷大题6导数的综合问题1(2023·温州模拟)已知函数f(x)x2(a1)ln x.(1)当a0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)(a2a)ln x对x(1，)恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，当a0时，f(x)2x.当x时，f(x)<0，则f(x)的单调递减区间为，当x时，f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为.(2)由f(x)(a2a)ln x对x(1，)恒成立，得a21对x(1，)恒成立设h(x)(x>1)，则h(x).当x(1，)时，h(x)<0；当x(，)时，h(x)>0.所以h(x)minh()2e，则a212e，解得a，故a的取值范围是，2设f(x)2xln x1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：f(x)x2x2ln x.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)，当x时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以当x时，f(x)取得最小值f 1.(2)证明令F(x)x2x2ln xf(x)x(x1)2(x1)ln x(x1)，令g(x)x2ln x，则g(x)10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x1时，F(x)0，所以(x1)0，即f(x)x2x2ln x.3(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10a13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13x17)时，一年的销售量为(18x)2万件(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；(2)求出f(x)的最大值Q(a)解(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13x17)时，一年的销售量为(18x)2 万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10a13)，商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)(x5a)(18x)2，x13,17(2)f(x)(x5a)(18x)2，x13,17，f(x)(282a3x)(18x)，令f(x)0，解得x或x18，而10a13，则1618，若16<17，即10a<11.5，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)maxf (13a)3；若1718，即11.5a13，则f(x)0，即f(x)在13,17上单调递增，f(x)maxf(17)12a，综上，Q(a)4(2022·重庆质检)已知函数f(x)x22xaln ，aR.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)若曲线yf(x)与直线yax在(0,4上有且只有一个交点，求a的取值范围解(1)由题意，f(x)x22x4ln ，x>0，则f(x)2x2(x2x2)(x1)(x2)，故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，有极小值f(1)34ln ，无极大值(2)设g(x)f(x)axx2(2a)xaln ，x(0,4，则g(x)2x(2a)2x2(2a)xa(x1)(2xa)，当a0时，g(x)x22x，在(0,4上无零点，不符合题意；当a<0时，g(x)在(0,4上单调递增，g(2)4(2a)×2>0，x0时，g(x)<0，由零点存在定理得，g(x)在(0,4内只有一个零点，即曲线yf(x)与直线yax在(0,4上有且只有一个交点当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，若<4，即0<a<8，则只能gaa2aln a0a4，若a8，则g(x)在(0,4上单调递减，当x0时，g(x)>0，则要g(4)164(2a)aln 2<0，则a>，故a8，综上，a的取值范围为(，0)48，)5(2023·济宁质检)已知函数f(x)acos xbex(a，bR)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(1)求实数a，b的值；(2)当x时，f(x)c(cZ)恒成立，求c的最小值解(1)因为f(x)asin xbex，所以解得(2)因为f(x)cos xex，x，所以f(x)sin xex，设g(x)sin xex，g(x)cos xex(cos xex)当x时，cos x0，ex>0，所以g(x)<0，当x(0，)时，1cos x1，ex>1，所以g(x)<0.所以，当x时，g(x)<0，g(x)即f(x)单调递减因为f(0)1<0，f，因为>e>2，所以<，所以f>0.所以x0，使得f(x0)sin x00，即sin x0.所以，当x时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(x0，)时，f(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)maxf(x0)cos x0cos x0sin x0sin. 因为x0，所以x0，所以sin，所以f(x0)(0,1)由题意知，cf(x0)，所以整数c的最小值为1.公众号：高中试卷君