四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期末联考试题数学含解析.pdf

安宁河联盟安宁河联盟 20232024 学年度上期高中学年度上期高中 2022 级期末联考级期末联考数数 学学考试时间共考试时间共 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分注意事项：注意事项：1.答题前答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名姓名、班级班级、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处条码粘贴处”.2.选择题使用选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案再填涂其它答案；非选择题用非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回考试结束后由监考老师将答题卡收回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知点B是点1,6,2A在坐标平面yoz内的射影，则OB （）A.1,0,2B.1,0,0C.0,6,2D.1,6,02.设一组样本数据12,nx xx的平均数为 1，则数据1231,31,31nxxx的平均数为（）A.1B.3C.4D.93.已知点2,0M，2,0N，动点P满足条件2PMPN，则动点P的轨迹方程为（）A.22133xyxB.22133xyx C.22113yxxD.22113yxx 4.一个盒子中装有标号为 1，2，3，4 的 4 张号签，从中随机地选取两张号签，事件A“取到标号为 1 和3 的号签”，事件B“两张号签标号之和为 5”，则下列说法正确的是（）A.A与B互斥B.A与B独立C.A与B对立D.23P B 5.设椭圆22:11612yxC的焦点分别为1F，2F，过2F的直线与椭圆相交于A，B两点，则1ABF的周长为（）A.6B.8C.10D.166.某学校高一高二年级共 1000 人，其中高一年级 400 人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为165cm，170cm和样本方差分别为 3，4，则总体方差2S（）A.18.5B.19.2C.19.4D.207.椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆上一点，O为坐标原点.若13PF，102OP，1290FPF，则椭圆C的离心率为（）A.104B.54C.134D.1548.如图所示，正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF，当11,A E F C四点共面时，点E到平面1C DF的距离为（）A.6B.2 6C.2 3D.3二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A.这 10 年粮食年产量的极差为 15B.这 10 年粮食年产量的第 65 百分位数为 33C.这 10 年粮食年产量的中位数为 29D.前 5 年的粮食年产量的方差大于后 5 年粮食年产量的方差10.以下四个命题正确的是（）A.双曲线221515xy与椭圆221259xy的焦点不同B.1F，2F为椭圆22143xy的左、右焦点，则该椭圆上存在点P满足122PF FSC.曲线22:1412xyC的渐近线方程为3yx D.曲线22:131xyCkk，“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“12k”的充要条件11.已知直线:120l m xy和圆22:(1)(2)9Cxy相交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点()1,2-B.MN的最小值为5C.CM CN 的最小值为9D.圆C上到直线l的距离为32的点恰好有三个，则7m 12.在直三棱柱111ABCABC-中，底面ABC为等腰直角三角形，且满足12ABACAA，点P满足1111B PBCB B，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A.当1时，11AB P的面积S的最大值为2 2B.当1时，三棱雉11PABC的体积为定值C.当12时，AP的最小值为3D.当12时，不存在点P，使得1APBP三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.直线1:20lxay，2:120laxya，当直线1l与2l垂直时，a_.14.甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为12，14，则两人中至少有一人获胜的概率为_.15.点3,4关于直线 xy10 对称的点的坐标为_16.已知A是圆22:9C xy上一点，过点A作垂直于x轴的直线，垂足为B，点P满足3ABAP .若点15,0F，25,0F，则1211PFPF的取值范围是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l的倾斜角为，1cos2，且这条直线经过点3,23A.（1）求直线l的方程.（2）直线130kxyk 恒过定点B，求点B到直线l的距离.18.2023 年中国田协召开了 2023 路跑工作会议，会议对2022 年中国田径协会路跑管理文件汇编进行了修订.新版在年龄组别上调整为 8 个：34 岁以下组、35-39 岁组、40-44 岁组、45-49 岁组、50-54 岁组、55-59岁组、60-64 岁组、65 岁以上组.现抽取了 1000 名年龄在 35-64 岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：（1）求图中a的值，并估计这 1000 人年龄的中位数；（2）用分层抽样的方法从年龄在44,54内的人数中抽取一个容量为 5 的样本，再从样本中任意抽取 2 人，求这两人中至少一人的年龄在49,54中的概率.19.将长方体1111ABCDABC D沿截面11ADC截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中112ABADAA，M，N分别是AB，11AB的中点.（1）求证：1/NC平面1AMC；（2）求直线1C M与平面1AMC所成角的正弦值.20.如图，已知圆22:440C xyxy，点0,2A.（1）求圆心在直线yx上，经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；（2）若过点A的直线l与圆C交于,P Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的14，求直线l的方程.21.过椭圆22:14xCy内一点11,2M引一条弦，使该弦被点M平分.（1）求该弦所在的直线方程；（2）求该弦的弦长.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点2,0A，过点1,0B 的直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N异于点A），当直线l与x轴垂直时，2MN.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求AMN面积的取值范围.安宁河联盟安宁河联盟 20232024 学年度上期高中学年度上期高中 2022 级期末联考级期末联考数学数学考试时间共考试时间共 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分注意事项：注意事项：1.答题前答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名姓名、班级班级、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处条码粘贴处”.2.选择题使用选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案再填涂其它答案；非选择题用非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回考试结束后由监考老师将答题卡收回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知点B是点1,6,2A在坐标平面yoz内的射影，则OB （）A.1,0,2B.1,0,0C.0,6,2D.1,6,0【答案】C【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点在坐标平面的投影确定点B坐标再表示向量即可.【详解】根据题意点1,6,2A在坐标平面yoz内的射影为0,6,2B，所以0,6,2OB .故选：C.2.设一组样本数据12,nx xx的平均数为 1，则数据1231,31,31nxxx的平均数为（）A.1B.3C.4D.9【答案】C【解析】【分析】根据平均数的性质得到平均数为3 1 14 .【详解】已知样本数据12,nx xx的平均数为x，记数据12,naxb axbaxb,的平均数为x，则1212nna xxxbaxbaxbaxbxnnn anxbaxbnn，故数据1231,31,31nxxx的平均数为313 1 14x .故选：C.3.已知点2,0M，2,0N，动点P满足条件2PMPN，则动点P的轨迹方程为（）A.22133xyxB.22133xyx C.22113yxxD.22113yxx【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义可判断动点P的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.【详解】因为2,0M，2,0N，所以4MN，动点P满足2PMPNMN，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则有2c，1a，223bca，所以动点P的轨迹方程为22113yxx.故选：D.4.一个盒子中装有标号为 1，2，3，4 的 4 张号签，从中随机地选取两张号签，事件A“取到标号为 1 和3 的号签”，事件B“两张号签标号之和为 5”，则下列说法正确的是（）A.A与B互斥B.A与B独立C.A与B对立D.23P B【答案】A【解析】【分析】由互斥事件，对立事件，独立事件的定义判断 ABC 选项，古典概型计算概率判断选项 D.【详解】根据题意，选取两张号签用,x y表示一次实验结果，则随机试验结果的样本空间 1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，1,3A，1,4,2,3B.对 A，AB，所以A与B互斥，故 A 选项正确；对 B，AB，16P A，2163P B，所以 P ABP A P B，A与B不独立，故 B 选项错误；对 C，AB，AB，所以A与B不对立，故 C 选项错误；对 D，212633P B，故 D 选项错误.故选：A.5.设椭圆22:11612yxC的焦点分别为1F，2F，过2F的直线与椭圆相交于A，B两点，则1ABF的周长为（）A.6B.8C.10D.16【答案】D【解析】【分析】利用椭圆定义直接求出1ABF的周长.【详解】椭圆2211612yx长半轴长4a，所以1ABF的周长为111221|416|AFABBFAFAFBFBFa.故选：D6.某学校高一高二年级共 1000 人，其中高一年级 400 人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为165cm，170cm和样本方差分别为 3，4，则总体方差2S（）A.18.5B.19.2C.19.4D.20【答案】B【解析】【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可得.【详解】总体样本平均数121223165170168cm55nnzxxnn，22222121122nnSxzSxzSnn222223165 1683170 168419.255.故选：B.7.椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆上一点，O为坐标原点.若13PF，102OP，1290FPF，则椭圆C的离心率为（）A.104B.54C.134D.154【答案】A【解析】【分析】根据题意求出 c的值，利用勾股定理即可求得2PF的值，结合椭圆定义求出 a，即可求得答案.【详解】设椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 2c，由椭圆的几何性质，可知点O是线段12FF的中点，1290FPF，所以：102OPc，即得22212410cPFPF，而13PF，解得：21PF，所以：1223 14aPFPF ，故2a，所以：1010224cea，故选：A.8.如图所示，正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF，当11,A E F C四点共面时，点E到平面1C DF的距离为（）A.6B.2 6C.2 3D.3【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性质得到11/ACEF，又AEBF，故E，F分别为AB，BC的中点，有等体积法求出点到平面的距离.【详解】因为平面ABCD与平面1111DCBA平行，当11,A E F C四点共面时，由面面平行的性质可得11/ACEF，又AEBF，故此时E，F分别为AB，BC的中点，连接 EF，设点E到平面1C DF的距离为1d，点1C到平面EDF的距离为2d，11E C DFCEDFVV，即1121133C DFEDFdSdS.其中114 424 22 2622EDFS ，124dCC，221422 5DFC F，14 2C D，取1C D的中点Q，连接FQ，则FQ1C D，12 2DQCQ，故2082 3FQ，11114 6224 22 3C DFC D FSQ，所以14 664 6d.故选：A二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A.这 10 年粮食年产量的极差为 15B.这 10 年粮食年产量的第 65 百分位数为 33C.这 10 年粮食年产量的中位数为 29D.前 5 年的粮食年产量的方差大于后 5 年粮食年产量的方差【答案】ABC【解析】【分析】ABC 选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D 选项，根据图形及方差的意义得到 D错误.【详解】A 选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这 10 年的粮食年产量极差为402515，故 A 正确；B 选项，1065%6.5i，结合 A 选项可知第 65 百分位数为第 7 个数 33，故 B 正确；C 选项，从小到大，选取第 5 个和第 6 个的数的平均数作为中位数，这 10 年的粮食年产量的中位数为2830292，故 C 正确；D 选项，结合图形可知，前 5 年的粮食年产量的波动小于后 5 年的粮食产量波动，所以前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年的粮食年产量的方差，故 D 错误；故选：ABC.10.以下四个命题正确的是（）A.双曲线221515xy与椭圆221259xy的焦点不同B.1F，2F为椭圆22143xy的左、右焦点，则该椭圆上存在点P满足122PF FSC.曲线22:1412xyC的渐近线方程为3yx D.曲线22:131xyCkk，“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“12k”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】A 选项，求出双曲线和椭圆方程的焦点坐标，判断 A 错误；B 选项，求出122FF，故点P的纵坐标为 2 或2即可，根据椭圆上点的有界性判断 B 错误；C 选项，根据双曲线渐近线方程公式求出答案；D 选项，根据焦点所在位置得到不等式，求出12k，D 正确.【详解】A 选项，双曲线221515xy，即22115xy，焦点在x轴上，由于15 1 16，故其焦点为4,0，4,0，而椭圆221259xy，焦点在x轴上，且25916，故焦点为4,0，4,0，故 A 错误；B 选项，椭圆22143xy，则24a，23b，即2221cab，所以11,0F，21,0F，则122FF，要使122PF FS，则12122PFFy，即2Py，即点P的纵坐标为 2 或2即可，而椭圆上的点纵坐标取值范围为3,3，则不存在点P满足122PF FS，故 B 错误；C 选项，双曲线22:1412xyC的渐近线方程为2 332byxxxa ，故 C 正确；D 选项，曲线22:131xyCkk，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则310kk，解得12k，故 D 正确.故选：CD.11.已知直线:120l m xy和圆22:(1)(2)9Cxy相交于M，N两点，则下列说法正确的是（）A.直线l过定点()1,2-B.MN的最小值为5C.CM CN 的最小值为9D.圆C上到直线l的距离为32的点恰好有三个，则7m 【答案】AC【解析】【分析】A 选项，直线变形后求出定点坐标；B 选项，数形结合得到当lCA时，圆心到直线l的距离最大，MN最小，由垂径定理求出MN的最小值；C 选项，表达出9cosCM CNMCN ，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离32d，从而求出3 77m .【详解】A 选项，根据题意:120l m xy变形为21ym x，故直线过定点1,2A，A 正确；B 选项，由题意可知，当lCA时，圆心到直线l的距离最大，此时MN最小，其中22(1 1)(22)2AC ，此时222322 5MN ，B 错误；C 选项，22:(1)(2)9Cxy的圆心为1,2，半径3r，cos9cosCM CNCMCNMCNMCN ，因为cos MCN的最小值为1，所以CM CN 的最小值为9，C 正确；D 选项，22:(1)(2)9Cxy，因为圆C上到直线l的距离为32的点恰好有三个，所以圆心到直线的距离32d，即222232(1)mmm，解得3 77m ，D 错误；故选：AC.12.在直三棱柱111ABCABC-中，底面ABC为等腰直角三角形，且满足12ABACAA，点P满足1111B PBCB B，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A.当1时，11AB P的面积S的最大值为2 2B.当1时，三棱雉11PABC的体积为定值C.当12时，AP的最小值为3D.当12时，不存在点P，使得1APBP【答案】ABC【解析】【分析】当1时，当点P与C重合时，证得111ABAC，结合1 11 1A B PA BCSS，可判定 A 正确；当1时，得到点P在BC上运动，根据1 11 1P AB CA PB CVV，可判定 B 正确；设1BB的中点为H，1CC的中点为G，得到点P在线段HG上运动，当点P运动到线段HG的中点时，APHG，求得min3AP，可判定 C正确；当12时，设BC的中点为M，11BC的中点为N，得到点P在MN上运动，当点P与点M重合时，证得1BMAP；当点P与点N重合时，1APBP，可判定 D 错误；【详解】对于 A 中，当1时，1111B PBCB B，则点P在1CC上运动，则当点P与C重合时，则此时面积取得最大值，2211112 2ACACCC，由于直三棱柱111ABCABC-，则111ABAA，111ABC为等腰直角三角形，则1111ABAC，又由1111ACAAA，111,AC AA 面11ACC A，则11AB 面11ACC A，因为1AC 面11ACC A，所以111ABAC，则1 11 111112 22A B PA B CSSABAC，故选项 A 正确；对于 B 中，当1时，则1111B PBCB B，点P在BC上运动，则1 11 1P AB CA PB CVV，由于点A到平面11B PC的距离为定值2，点P到线段11BC的距离恒为2，则1112 222 22B PCS，则1 11 11422 233P AB CA PB CVV，故选项 B 正确；对于 C 中，设1BB的中点为H，1CC的中点为G，当12时，111112B PBCB B，则点P在线段HG上运动，因为5AHAG，112 2HGBC，所以当点P运动到线段HG的中点时，APHG，此时2HP，所以22min(5)(2)3AP，故选项 C 正确；对于 D 中，当12时，111112B PBCB B，设BC的中点为M，11BC的中点为N，则点P在MN上运动，当点P与点M重合时，BMMN，1BMAN，因为1MNANN，1,MN A N 平面1AMN，则BM面1AMN，又因为1AP 面1AMN，则1BMAP，当点P与点N重合时，1AN 面11BCC B，即1AP面11BCC B，则1APBP，故选项 D 错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.直线1:20lxay，2:120laxya，当直线1l与2l垂直时，a_.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由两条直线的位置关系，列出方程，即可求解；【详解】由直线1:20lxay，2:120laxya，因为直线1l与2l垂直，所以 1120aa ，解得13a.故答案为：13.14.甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为12，14，则两人中至少有一人获胜的概率为_.【答案】58#0.625【解析】【分析】先求出两人均没有获胜的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案.【详解】两人均没有获胜的概率为11311248 故两人中至少有一人获胜的概率为35188.故答案为：58.15.点3,4关于直线 xy10 对称的点的坐标为_【答案】5,4【解析】【分析】设点(3,4)关于直线 xy10 对称的点的坐标是,m n，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点3,4关于直线 xy10 对称的点的坐标为,m n，则413341022nmmn，解得54mn ，所以点（3，4）关于直线 xy10 对称的点的坐标为5,4故答案为：5,416.已知A是圆22:9C xy上一点，过点A作垂直于x轴的直线，垂足为B，点P满足3ABAP .若点15,0F，25,0F，则1211PFPF的取值范围是_.【答案】2 3,3 2【解析】【分析】由题意先求出点P的轨迹方程，得知它的轨迹为以点15,0F，25,0F为焦点的椭圆，由椭圆的定义可将1211PFPF化简为21639PF，结合焦半径的范围即可得解.【详解】由题意设,P x y，所以,0B x，因为3ABAP ，所以3,2A xy.将点3,2A xy带入圆22:9C xy，则点P满足椭圆22:194xyE的方程.所以121212111122PFPFaPFPFPF PFPFaPF22111116666639PFPFPFPFPF，又1acPFac，即13535PF，当13PF 时，2139PF最大，1211PFPF最小且为23；当135PF 或35时，2139PF最小，1211PFPF最大且为32，即212633239PF，即12211332PFPF，所以1211PFPF的取值范围为2 3,3 2.故答案为：2 3,3 2.【点睛】关键点睛：关键是得到点P的轨迹方程，结合椭圆定义化简表达式即可进一步得解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l的倾斜角为，1cos2，且这条直线经过点3,23A.（1）求直线l的方程.（2）直线130kxyk 恒过定点B，求点B到直线l的距离.【答案】（1）330 xy（2）12【解析】【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.【小问 1 详解】由题可得1cos2，0,，则23，tan3，直线l的斜率3k ，且直线过点3,23A，由直线的点斜式方程得3:233l yx，即330 xy，所求直线l的方程为330 xy；【小问 2 详解】直线130kxyk 化简得：310k xy，定点3,1B，则点3,1B到直线:330lxy 的距离22331 312(3)1d，B到直线l的距离为12.18.2023 年中国田协召开了 2023 路跑工作会议，会议对2022 年中国田径协会路跑管理文件汇编进行了修订.新版在年龄组别上调整为 8 个：34 岁以下组、35-39 岁组、40-44 岁组、45-49 岁组、50-54 岁组、55-59岁组、60-64 岁组、65 岁以上组.现抽取了 1000 名年龄在 35-64 岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：（1）求图中a的值，并估计这 1000 人年龄的中位数；（2）用分层抽样的方法从年龄在44,54内的人数中抽取一个容量为 5 的样本，再从样本中任意抽取 2 人，求这两人中至少一人的年龄在49,54中的概率.【答案】（1）0.04a，中位数为 46.5（2）710【解析】【分析】（1）由概率之和为 1 计算即可得a，借助中位数的性质计算即可得中位数；（2）由分层抽样可确定两组的具体人数，再计算概率即可得.【小问 1 详解】由题可得0.01 0.02 20.050.0651a ，0.04a，34,44的频率为0.020.0550.350.5，34,49的频率为0.350.06 50.650.5，中位数在44,49之间，设中位数为x，则0.35440.060.5x，46.5x，即中位数为 46.5.【小问 2 详解】44,49的频率为0.06 50.3，49,54的频率为0 04 50 2.，这两组的频率之比为3:2，44,49抽取的人数为：3535（人），记为1A，2A，3A，49,54抽取的人数为：2525（人），记为1B，2B，则 5 人中抽取 2 人的基本事件包含：121311122321,A AA AA BA BA AA B、22313212,A BA BA BB B、，共 10 种，其中至少 1 人在49,54的基本事件包含：11122122313212,A BA BA BA BA BA BB B、，共有 7 种.这两人中至少 1 人的年龄在49,54中的概率为710P.19.将长方体1111ABCDABC D沿截面11ADC截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中112ABADAA，M，N分别是AB，11AB的中点.（1）求证：1/NC平面1AMC；（2）求直线1C M与平面1AMC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）421.【解析】【分析】(1)作出辅助线，得到四边形1MBB N为平行四边形，进而得到线线平行，得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1AMC的一个法向量，从而得到线面角的正弦值.【小问 1 详解】连接MN，如图所示，长方形11ABB A中，M，N分别是AB，11AB的中点，1MBNB且1/MBNB，四边形1MBB N为平行四边形，1MNBB且1/MNBB，又长方体中11CCBB且11/CCBB，1CCMN且1/CCMN，四边形1MCC N为平行四边形，得1/MCNC.又MC 平面1AMC，1NC 平面1AMC，1/NC平面1AMC【小问 2 详解】以D点为原点，DA，DC所在直线为x轴，y轴，以D点为垂足，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1122ABADAA，则12,0,4A，2,1,0M，0,2,0C，10,2,4C，10,1,4AM，2,1,0CM ，设平面1AMC的一个法向量为,nx y zr，则有 1,0,1,440,2,1,020n AMx y zyzn CMx y zxy ，令4y，则2x，1z，即2,4,1n，设为直线1C M与平面1AMC所成角，12,1,4C M ，所以 1112,1,42,4,14sincos,214 1 164 16 1C M nC M nC Mn，所以直线1C M与平面1AMC所成角的正弦值为421.20.如图，已知圆22:440C xyxy，点0,2A.（1）求圆心在直线yx上，经过点A且与圆C相外切的圆N的方程；（2）若过点A的直线l与圆C交于,P Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的14，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)(1)2xy（2）0 x 或3420 xy+=.【解析】【分析】（1）根据题意，得到圆C的圆心坐标为2,2C，设圆N的圆心坐标为,N m m，结合NONA,列出方程，求得解得1m，进而得到圆N的方程；（2）根据题意，得到点C到直线l的距离为2，分直线l的斜率不存在和直线的斜率存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得k的值，进而求得直线l的方程.【小问 1 详解】解：由22:440C xyxy，化为标准方程得22(2)(2)8xy所以圆C的圆心坐标为2,2C，又因为圆N的圆心在直线yx上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为,N m m，因为0,2A在圆N上，可得NONA，则有2222(0)(2)(0)(0)mmmm解得1m，所以圆N的圆心坐标为1,1，半径2r，故圆N的方程为22(1)(1)2xy.【小问 2 详解】解：因为圆弧PQ恰为圆C周长的14，根据圆的性质，可得CPCQ，所以点C到直线l的距离为2，当直线l的斜率不存在时，点C到y轴的距离为2，直线l即为y轴，此时直线l的方程为0 x.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，即20kxy.可得222221kk，即221kk，解得34k，所以直线l的方程324yx，即3420 xy+=，故所求直线l的方程为0 x 或3420 xy+=.21.过椭圆22:14xCy内一点11,2M引一条弦，使该弦被点M平分.（1）求该弦所在的直线方程；（2）求该弦的弦长.【答案】（1）220 xy（2）5【解析】【分析】（1）设过点M的弦与椭圆相交于11,A x y，22,B xy两点，利用点差法，结合中点坐标公式，即可求得答案；（2）联立直线和椭圆方程，求得交点坐标，即可求得弦长.【小问 1 详解】设过点M的弦与椭圆相交于11,A x y，22,B xy两点，M为AB的中点，12122,1xxyy，又A，B两点在椭圆上，221144xy，222244xy，两式相减得2222121240 xxyy，即1212121240 xxxxyyyy由题意当12xx时，11,2M不能平分该弦，因此12xx，故直线 AB 的斜率为1212121221442yyxxkxxyy ，该弦所在的直线方程为11122yx，即220 xy；【小问 2 详解】联立直线与椭圆方程得2222014xyxy，得20yy，解得0y 或 1，不妨取10y，21y，则1120 xy或2201xy，即2,0A，0,1B，22(20)(0 1)5AB.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点2,0A，过点1,0B 的直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N异于点A），当直线l与x轴垂直时，2MN.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求AMN面积的取值范围.【答案】（1）2212xy（2）220,2【解析】【分析】（1）根据题意，得到2a，再由当直线l与x轴垂直时，得到21,2，代入椭圆的方程，求得21b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为1xty，联立方程组，得到12222tyyt，12212y yt，得到AMN的面积为221222tSt，结合对勾函数的单调性，即可求解.【小问 1 详解】解：由椭圆2222:1xyCab的右顶点2,0A，可得2a，当直线l与x轴垂直时，且2MN，所以直线l过点21,2，可得212124b，解得21b，所以椭圆C的方程为2212xy.【小问 2 详解】解：依题意，直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为1xty，11,M x y，22,N xy，联立方程组22112xtyxy，整理得222210tyty，且2880t 所以12222tyyt，12212y yt，AMN的面积为21212121121422SAB yyyyy y2222222212442 21122222222ttttttt，令211ut，则21222211uSuuu又由对勾函数1yuu在1,上单调递增，则12uu，所以11012uu，从而2202S，当且仅当0t时取等号，故AMN面积的取值范围为220,2.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围；（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.