宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第五次月考数学（文）试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司银川一中银川一中 2024 届高三年级第五次月考届高三年级第五次月考理科数学理科数学一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合3Ax x，22BxxN，则AB（）A.1B.0,1C.1,1D.1,0,12.欧拉公式iecosisinxxx（i为虚数单位，xR）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）A.i2e10 B.iieesin2xxxC.5ie在复平面内对应的点位于第二象限D.2(cosisin)cos2isin2xxxx3.若“0,x，sin2sin0 xmx”是假命题，则m的取值范围为（）A.(,2B.(,2 C.(,2)D.(,2)4.已知函数21()cos4f xxx，fx是函数()f x的导函数，则 fx的图像大致是（）A.B.C.D.5.如果向量a，b的夹角为，我们就称a b为向量a与b的“向量积”，a b还是一个向量，它的长度为sina bab，如果10a，2b，12a b ，则a b（）A.-16B.16C.-20D.206.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若coscAb，则ABC必为（）第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形7.已知不等式组24201xyxyx表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为（）A.5 216B.5 28C.22D.548.如图，ABC的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为23，直线BC的斜率为12，则tanABC（）A.14B.78C.74D.729.在正项等比数列 na中，若12318aaa，1231112aaa，则2a（）A.1B.2C.3D.2 310.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周汽油价格分别为 m 元/升，n 元/升(mn)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买 40 元的汽油，乙每周购买 12 升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a，2a，则下列结论正确的是（）A.12aaB.12aaC.21aaD.1a，2a的大小无法确定11.已知函数 232logf xxmxm若1f x为偶函数，52af，3ebf，7ln2cf，则（）A.bacB.cbaC.cabD.abc12.如图，在棱长为 2正方体1111ABCDABC D中，,M N分别是棱1111,AB AD的中点，点E在BD的的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司上，点F在1BC上，且BECF，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是（）A.三棱锥NCME的体积不是定值B.直线11B D到平面CMN的距离是22C.存在点P，使得1190B PDD.1PDD面积的最小值是5 56二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.共共 20 分）分）13.已知角终边与单位圆221xy交于点1,2yP，则3sin2_.14.已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，体积为143，则该圆台的侧面积为_.15.已知函数 2122f xx的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y 的对称点在1ykx 的图象上，则实数 k 的取值范围是_16.已知关于 x 的不等式ln01xkxx恰有 2 个不同的整数解，则 k 的取值范围是_三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共（一）必考题：（共 60 分）分）17.已知数列 na前n项和为nS，数列nSn是以9为首项，1为公差的等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nT.的的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司18.已知圆C：2213xy，直线l：Ryxm m.（1）若直线l与圆C相切，求m的值；（2）若2m ，过直线l上一点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求四边形PACB面积的最小值及此时点P的坐标，19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡横线上并作答.）条件：()(sinsin)sin3 sinbcBCaAbC条件：25cos()cos42AA（1）求角A；（2）若ABC为锐角三角形，1c，求ABC面积的取值范围.20.如图，在四棱锥PABCD中，PA 面,/ABCD ABCD，且2CD，1,2 2,1,ABBCPAABBC E F分别为,PD BC的中点.（1）求证：/EF平面PAB；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC内是否存在点H，满足0HD HA ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.21.已知函数 1 ln1,xxaf xaxR且函数()f x有两个极值点.（1）求a的范围;（2）若函数()f x的两个极值点为1212,()x xxx且123xx，求 12lnln2xxa的最大值.（二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为cos(1sinxttyt 为参数),为l的倾斜角，且0,，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221cos（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,A B两点，点0,1P恰为线段AB的三等分点，求sin.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23.已知不等式2xaa的解集为0,4（1）求实数a的值；（2）若0,0mn，且mna，求1122mnmn的最小值第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司银川一中银川一中 2024 届高三年级第五次月考届高三年级第五次月考理科数学理科数学一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合3Ax x，22BxxN，则AB（）A.1B.0,1C.1,1D.1,0,1【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的几何意义求集合A，根据一元二次不等式的解法及自然数集求集合B，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】333Ax xxx，22220,1BxxxxNN，0,1AB.故选：B.2.欧拉公式iecosisinxxx（i为虚数单位，xR）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）A.i2e10 B.iieesin2xxxC.5ie在复平面内对应的点位于第二象限D.2(cosisin)cos2isin2xxxx【答案】D【解析】【分析】由欧拉公式，代入对应x的值，即可判断 A 和 C；由iecosisinxxx得iecosisinxxx，两式联立，解出sin x即可判断 B；由二倍角公式即可判断 D【详解】对于 A：由欧拉公式得i2ecosisini22，所以i2ei0，故 A 错误；对于 B：由iecosisinxxx得iecosisinxxx，第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司两式联立得iiecosisinecosisinxxxxxx，两式相减消去cosx得，ii2isineexxx，所以iiiiii()sin222xxxxxxeeieiieexie，故 B 错误；对于 C：由欧拉公式得，5iecos5isin5，在复平面对应点的坐标为(cos5,sin5)，因为35(,2)2，所以cos50,sin50，所以5ie在复平面内对应的点位于第四象限，故 C 错误；对于 D：222(cosisin)cossin2isin coscos2isin2xxxxxxxx，故 D 正确，故选：D3.若“0,x，sin2sin0 xmx”是假命题，则m的取值范围为（）A.(,2B.(,2 C.(,2)D.(,2)【答案】B【解析】【分析】确定sin2sin0 xmx对于0,x 恒成立，变换2cosmx，根据三角函数的值域得到答案.【详解】“0,x，sin2sin0 xmx”是假命题，即sin2sin0 xmx对于0,x 恒成立，即sin22cossinxmxx，0,x，2cos2,2x，故2m .故选：B4.已知函数21()cos4f xxx，fx是函数()f x导函数，则 fx的图像大致是（）A.B.的第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数 f x求导得 1sin2fxxx，易知 fx为奇函数，排除 B、D 选项；再对 fx求导，易得 fx在0,3是递减，即可求解.【详解】1()sin2fxxx，()fx为奇函数，则函数 fx的图像关于原点对称，排除选项 B、D，令()()g xfx，1()cos2g xx，当0,3x，()0g x，()g x也就是()fx在0,3递减，排除 A，故 C 正确.故选：C5.如果向量a，b的夹角为，我们就称a b为向量a与b的“向量积”，a b还是一个向量，它的长度为sina bab，如果10a，2b，12a b ，则a b（）A.-16B.16C.-20D.20【答案】B【解析】【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.【详解】由于sina bab，10a，2b，12a b ，则cos10 2cos12a ba b ，则3cos,5 所以4sin5，则4sin10 2165a ba b .故选：B6.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若coscAb，则ABC必为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【答案】A第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由正弦定理得到sincossinCAB，得出sincos0AB，进而sin0,0cosAB，即可求解.【详解】因为coscAb，由正弦定理可得sincossinCAB，即sincossinCAB，又因为sinsin()sincoscossinCABABAB，所以sincoscosscosiinsnABABAB，即sincos0AB，因为,(0,)A B，所以sin0,0cosAB，所以(,)2B，所以ABC为钝角三角形.故选：A.7.已知不等式组24201xyxyx表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为（）A.5 216B.5 28C.22D.54【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出平面图形，再根据斜二测画法得出直观图，根据梯形的面积公式计算即可.【详解】解：根据不等式组，作出如图所示的平面图，在平面图中，31,1,2ABBCAD，根据斜二测画法，作出直观图ABCD，则在四边形ABCD 中，311,/,4542ABADBCADBCA,则113125 2()sin()2242216ABC DSADBCABA.所以平面图形的直观图的面积为5 216.故选：A.第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司8.如图，ABC的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为23，直线BC的斜率为12，则tanABC（）A.14B.78C.74D.72【答案】C【解析】【分析】利用两角差的正切公式可求得tanABC的值.【详解】由题可得ABCxCBxAB，又23ABk，得2tan3xAB，12BCk，得1tan2xCB，12tantan723tantan121tantan4123xCBxABABCxCBxABxCBxAB.故选：C.9.在正项等比数列 na中，若12318aaa，1231112aaa，则2a（）A.1B.2C.3D.2 3【答案】C【解析】【分析】根据等比数列性质有2132a aa，代入计算即可得.【详解】因为 na为等比数列，所以2132a aa，第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司故1312322123132221111182aaaaaaaaa aaaa，所以229a，又20a，所以23a.故选：C.10.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为 m 元/升，n 元/升(mn)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买 40 元的汽油，乙每周购买 12 升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a，2a，则下列结论正确的是（）A.12aaB.12aaC.21aaD.1a，2a的大小无法确定【答案】C【解析】【分析】分别计算出1a，2a关于m，n的表达式，再根据基本不等式即可求解【详解】由题意得0m，0n，mn，则140 22240402mnmnamnmnmnmn，2121212 22mnmnamn，所以21aa故选：C11.已知函数 232logf xxmxm若1f x为偶函数，52af，3ebf，7ln2cf，则（）A.bacB.cbaC.cabD.abc【答案】A【解析】【分析】根据函数对称轴可得1m ，进而可知 f x在1,上为增函数，令 e1xg xx，利用导数可得e10 xxx，以及ln10 xx x，进而分析得解.【详解】因为1f x为偶函数，则11f xfx，第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司可知 f x的对称轴为1x，又因为232,logyxm yxm均只有一条对称轴xm，可知 f x只有一条对称轴xm，则1m，可得1m ，所以 2321log1f xxx，当1x 时，3222log1f xxx，因为322,2log1yxyx在1,上为增函数，则 f x在1,上为增函数，令 e1xg xx，则 e1xgx，当0 x 时，0gx，则 g x在0,上单调递增，可得 00g xg，即e10 xxx，则3325ee2；由e10 xxx，可得ln10 xx x，则751ln22；即3751lne22，可得375lne22fff，所以bac故选：A【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数 e1xg xx，对应的不等式为e10 xxx，以及变形的 ln1)0 xx x此类不等式常用的有e1xx，ln1xx，ln1xx，eexx，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用12.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,M N分别是棱1111,AB AD的中点，点E在BD上，点F在1BC上，且BECF，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是（）A.三棱锥NCME的体积不是定值第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司B.直线11B D到平面CMN的距离是22C.存在点P，使得1190B PDD.1PDD面积的最小值是5 56【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的判定判断 A；根据等体积法求得点1D到平面CMN的距离判断 B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断 C；求出1PDD面积的表达式，再求得面积的最小值判断 D.【详解】对于 A，,M N分别是棱1111,AB AD的中点，则11/B DMN，因为11/BBDD，且11BBDD，所以四边形11BB D D为平行四边形，所以11/B DBD，所以/BDMN，因为MN平面CMN，BD 平面CMN，所以/BD平面CMN，因为E在BD上，所以点E在平面CMN的距离不变，而CMN面积是定值，则三棱锥ECMN的体积不变，即三棱锥NCME的体积不变，故 A 错误；对于 B，因为11/B DMN，11B D 平面CMN，MN平面CMN，于是11/B D平面CMN，因此直线11B D到平面CMN的距离等于点1D到平面CMN的距离 h，2222112,(2 2)13MNCMCNCDD N，1111(1 1)2323C MNDV，22121723()222CMNS，111732DCMNVh，由11C MNDDCMNVV，得1117332h，则2 1717h，B 错误；第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 对 C，以 A原点，建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,2M，2,2,0C，12,0,2B，10,2,2D,设1,2,2MPt MCt ，则1,2,22P ttt，11,2,2PBttt，11,22,2PDttt ，0,1t，由11=90B PD，得 21111222229410PB PDtttttttt ，解得2139t，由于2130,19t，因此存在点P，使得11=90B PD，C 正确；对于 D，由选项 C 得1,2,22P ttt在1DD的投影点为0,2,22t，则 P 到1DD距离222316(1)(22)5()55dttt，1PDD面积为2131625()255Sdt 0,1t，所以当35t 时，S取得最小值为4 55，D错误.故选：C【点睛】关键点睛：本题关键是利用线面平行的判定来判定 A，再通过等体积法求出距离从而判断 B，为的的第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司C,D 选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.共共 20 分）分）13.已知角的终边与单位圆221xy交于点1,2yP，则3sin2_.【答案】12#-0.5【解析】【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.【详解】因为角的终边与单位圆221xy交于点1,2yP，所以|1rOP1312sincos212xr ，故答案为：12.14.已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，体积为143，则该圆台的侧面积为_.【答案】3 5【解析】【分析】利用圆台体积公式可得其高为2h，即可知母线长为5，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积为3 5.【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为1S，下底面面积为14S；设圆台的高为h，由体积可得121231314h SSS S，解得2h，所以可得圆台母线长为222 15lh，根据侧面展开图可得圆台侧面积为12423 5l.故答案为：3 515.已知函数 2122f xx的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y 的对称点在1ykx 的图象上，则实数 k 的取值范围是_【答案】41,3第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】变形后得到2122yx表示的图象为以2,2M为圆心，1 为半径的上半圆，则2122yx关于直线1y 的对称图象也是一个半圆，圆心为2,0N，半径 1，画出图象，数形结合得到当直线斜率k位于直线AB与直线AC之间（含ABk，不含ACk）时，满足要求，求出,ABACkk，得到不等式，求出实数 k 的取值范围.【详解】21222yx，变形得到22221xy，故2122yx表示的图象为以2,2M为圆心，1 为半径的上半圆，则2122yx关于直线1y 的对称图象也是一个半圆，圆心为2,0N，半径为 1，且该圆与x轴交于1,0,3,0BQ两点，如图所示：直线1ykx 恒过点0,1A，设直线1ykx 与半圆N相切时，切点为C，故当直线斜率k位于直线AB与直线AC之间（含ABk，不含ACk）时，满足函数 2122f xx的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y 的对称点在1ykx 的图象上，其中1 010 1ABk，设直线:1AC ymx，则22111mm，解得：43m 或 0（舍去），故4,13k ，解得：41,3k，第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司实数 k 的取值范围是41,3k.故答案为：41,316.已知关于 x 的不等式ln01xkxx恰有 2 个不同的整数解，则 k 的取值范围是_【答案】ln2 ln3,1012【解析】【分析】将不等式化为ln1xk xx，转化为两函数的交点问题，画出函数图象，数形结合求出答案.【详解】ln01xkxx变形为ln1xkxx，因为0 x，所以ln1xk xx，令1yk x，ln xf xx，0 x，21 ln xfxx，当0ex时，()0fx，当ex时，0fx，所以 ln xf xx在ex上取得极大值，也是最大值，1eef，且当1x 时，0f x 第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司画出 ln xf xx的图象如下：而1yk x过定点1,0，且当直线位于如图所示的两条直线11:1lykx与22:1lykx之间（包含2l，不包含1l）时，满足恰有两个整数解，其中1ln3ln333 112k，2ln2ln224 110k 故答案为：ln2 ln3,1012【点睛】对于不等式整数解个数问题，通常可转化为两函数图象问题，数形结合来求解.三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共（一）必考题：（共 60 分）分）17.已知数列 na的前n项和为nS，数列nSn是以9为首项，1为公差的等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nT.【答案】（1）211nan （2）2*21015N1050,5nnnnTnnnn，【解析】【分析】(1)根据题意求出210nSnn,再由1nnnaSS即可写出 na的通项公式；(2)根据 na的通项公式，找到其正负临界的n值，去掉绝对值符号再求和.【小问 1 详解】第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司设等差数列 na的首项为1a,公差为d，则91110nSnnn ，所以210nSnn当2n 时，22110(1)10(1)211nnnaSSnnnnn又19a 也符合上式，故数列 na的通项公式为211nan.【小问 2 详解】当5n 时，2110nan，数列na的前 n 项和210nnTSnn；当5n 时，2110nan，数列na的前 n 项和12345678nnTaaaaaaaaa 123452naaaaaS 52nSS，222(2550)101050nTnnnn .综上所述：2*21015N1050,5nnnnTnnnn，18.已知圆C：2213xy，直线l：Ryxm m.（1）若直线l与圆C相切，求m的值；（2）若2m ，过直线l上一点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求四边形PACB面积的最小值及此时点P的坐标，【答案】（1）16m 或16m （2）min3 22S，31,22P【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，（2）当2m 时，直线l的方程为2yx，而四边形PACB的面积23PQCSSPA，由圆的性质可得当PC最小时，切线长PA最短，此时PCl，求出直线PC的方程，联立两直线方程可得点P的坐标.第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】由已知，圆心0,1C到直线l：0 xym的距离等于半径3，即132md.解得：16m 或16m .【小问 2 详解】当2m 时，直线l的方程为2yx，四边形PACB的面积23PACSSPAPAC为直角三角形，223PAPC当PC最小时，切线长PA最短，显然当PCl时，min32PCmin32PA四边形PACB的面积最小值为min3 22S.此时，1PCk，0,1C，直线PC：110yx ，即1yx .由12yxyx ，解得3212xy，即31,22P.19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_.第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件：()(sinsin)sin3 sinbcBCaAbC条件：25cos()cos42AA（1）求角A；（2）若ABC为锐角三角形，1c，求ABC面积的取值范围.【答案】（1）3A；（2）33(,)82.【解析】【分析】（1）选择，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择，利用诱导公式及同角公式求解即得.（2）利用正弦定理求出边b的范围，再利用三角形面积公式求解即得.【小问 1 详解】选择，由()(sinsin)sin3 sinbcBCaAbC及正弦定理，得22()3bcabc，整理得222abcbc，由余弦定理得2221cos22bcaAbc，而0A，所以3A.选择，由25cos()cos42AA，得25sincos4AA，即251 coscos4AA，解得1cos2A，又0A，所以3A.【小问 2 详解】由（1）知，3A，由正弦定理得sinsinbcBC，即sin()sin3sinsinCBCCb31cossin13122sin22tanCCCC，而ABC是锐角三角形，第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则022032CC，解得62C，3tan3C，即103tanC，因此122b，1333sin(,)2482ABCSbcAb，所以ABC面积的取值范围是33(,)82.20.如图，在四棱锥PABCD中，PA 面,/ABCD ABCD，且2CD，1,2 2,1,ABBCPAABBC E F分别为,PD BC的中点.（1）求证：/EF平面PAB；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP的值，若不存任，说明理由；（3）在平面PBC内是否存在点H，满足0HD HA ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）过 E 作EGAD交AD于点 G,连接,EG GF,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明；（2）先求出面PBC的法向量(0,1,1)n，设(01)DMtPDt,利用向量法结合线面角得正弦值求解即可;（3）由,HDHA H点在空间内轨迹为以AD中点为球心,1322AD 为半径的球,而 AD中点到平面第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司PBC的距离为 3 2342,即可求解.【小问 1 详解】如图，过 E 作EGAD交AD于点 G,连接,EG GF,PA 面ABCD，AD 面ABCD，则PAAD，又EG 面PAD，PA面PAD，且,EG PA不共线，故/EGPA，因为E为PD的中点，所以G也为AD中点，又F为BC的中点，所以/GFAB，而EG 平面PAB，PA平面PAB，所以/EG平面PAB，同理/GF平面PAB，又因为EGGFG，,EG GF平面EGF，所以平面/EGF平面PAB，而EF 平面EGF,所以/EF平面PAB；【小问 2 详解】设(01)DMtPDt 如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,则(0,0,1),(0,1,0),(2 2,1,0),(2 2,1,0)PBCD，故(0,1,1),(2 2,1,1),(2 2,1,1),(0,2,0)PBPCPDCD ，则(2 2,2,)CMCDDMCDtPDt tt ，设平面PBC的法向量(,)nx y z,则有 02 20n PByzn PCxyz ,取(0,1,1)n,第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司222|22|1|cos,|3|2(2 2)(2)n CMtn CMn CMttt 整理得 241670tt,解得 12t 或72(舍去)，所以当12DMDP时,直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13.【小问 3 详解】由（2）知，平面PBC的一个法向量(0,1,1)n，点(0,1,0),BAD中点1(2,0)2G，则3(2,0)2BG ,则AD中点到平面PBC的距离为330211 023 2241 12nnBG ，由0HD HA ，即,HDHA故H在以AD中点为球心，半径为1322AD 的球面上，而3 2342，故H在面PBC上的轨迹是半径为2233 23 2()()244的圆，故存在符合题意的H，此时H轨迹是半径为 3 24的圆.【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有,HDHA则H在以AD中点为球心，半径为1322AD 的球面上，再求AD中点到面PBC距离，结合直观想象及计算确定H在面PBC上的轨迹.21.已知函数 1 ln1,xxaf xaxR且函数()f x有两个极值点.（1）求a的范围;（2）若函数()f x的两个极值点为1212,()x xxx且123xx，求 12lnln2xxa的最大值.【答案】（1）(1,)（2）2ln3【解析】【分析】（1）函数()f x极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数()ln,(0)h xxxa x，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程()0h x 有两个正实数根的充要条件；（2）整体换元法，令21xtx，再结合（1）结论得2211lnlnxxxtx，将12,x x都转化t表示，从而将多为第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司元最值问题转化为一元函数问题，构造函数(1)ln,(1,3(1)ttttt，求其最大值即可.【小问 1 详解】由题得，2ln(),(0)xxafxxx，令()ln,(0)h xxxa x，则函数()f x有两个极值点，即方程()0h x 有两个正实数根.因为11()1xh xxx，所以当(0,1)x时，()0h x，()h x单调递减，当(1,)x时，()0h x，()h x单调递增，所以，min()(1)1h xha，且当0 x 时，()h x ，x 时，()h x .所以方程()0h x 有两个正实数根，只需(1)10ha，解得1a，即函数()f x有两个极值点时，a的范围为(1,).【小问 2 详解】由120 xx且123xx，令21xtx，则(1,3t，由（1）知，12()()0h xh x，即1122lnlnaxxxx，则2211lnlnxxxtx，即11lntxxt，解得1ln1txt，所以21ln1ttxtxt.则1212(1)lnlnln21lnln11tttttttxxaxxt，令(1)ln,(1,3(1)ttttt，第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司则2211(ln)(1)(1)ln2l(n(1)1)tttttttttttt，令12ln()tttP t，则22221(1)10,(1,()3ttPtttt 所以函数()P t在(1,3上单调递增，又(1)0P，所以()(1)P tP，则()0P t.当(1,3t时，()0t，所以()t在(1,3上单调递增，则当3t 时，max()(3)2ln3t.即12lnln2xxa的最大值为2ln3.（二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为cos(1sinxttyt 为参数),为l的倾斜角，且0,，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221cos（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,A B两点，点0,1P恰为线段AB的三等分点，求sin.【答案】（1）2212yx；（2）2sin3【解析】【分析】（1）化简曲线C的极坐标方程为222cos2，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；（2）把直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，求得1212,tt t t，设2APPB ，得到122tt，化第 22 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司简得22sin9，即可求解.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程为2221cos，可得222cos2，又由cos,sinxy，代入可得2222xy，即曲线C的直角坐标方程为2212yx.（2）把直线参数方程cos(1sinxttyt 为参数)，代入曲线C的直角坐标方程2212yx，整理得22(1 cos)2sin10tt ,设,A B对应的参数分别为12,t t，得1212222sin1,1cos1costtt t ，因为点0,1P恰为线段AB的三等分点，不妨设2APPB ，则122tt，所以122tt，代入1212222sin1,1cos1costtt t ，化简得22sin9，又因为0,，所以2sin3选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23.已知不等式2xaa的解集为0,4（1）求实数a的值；（2）若0,0mn，且mna，求1122mnmn的最小值【答案】（1）4 （2）13【解析】【分析】（1）分0a，0a，0a 三种情况讨论即可；（2）设2mnp，2mnq，则3312pqmn.利用111111112221212qppqmnmnpqpqpq和基本不等式即可求解.【小问 1 详解】当0a 时，不等式的解集为，不合题意；当0a 时，不等式的解集为 0，不合题意;第 23 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司当0a 时，2axaa，即0 xa，因为不等式的解集为0,4，所以4a.【小问 2 详解】由(1)知，4mn，设2mnp，2mnq，则3312pqmn.1111111111222221212123qpqppqmnmnpqpqpqpq，当且仅当pq，即2mn时，等号成立，所以1122mnmn的最小值为13.