同构函数问题--2024届高考数学拓展含答案.pdf

1 同构函数问题1(2023南宁模拟)已知，R R，则“+0”是“+cos-cos”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 已知xN N，yN N，x2bB.ab2D.ab24 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaeB.beaC.abeD.bb1，若ea-2a=aeb+1-bea，则()A.ln(a-b)1C.3a+3-b2 3D.3a-10)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若对于任意的x0，有 f(x)0，求正数a的取值范围310已知函数 f(x)=xln x.(1)求 f(x)的最小值；(2)当x2时，证明：xx-1exln(x-1)11已知a0，函数 f(x)=xex-ax.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若 f(x)ln x-x+1恒成立，求实数a的取值范围1 同构函数问题1(2023南宁模拟)已知，R R，则“+0”是“+cos-cos”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C2已知xN N，yN N，x2bB.ab2D.ab2【答案】B4设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaeB.beaC.abeD.bb1，若ea-2a=aeb+1-bea，则()A.ln(a-b)1C.3a+3-b2 3D.3a-10，得0 xe，由g(x)e.g(x)在(0，e)上单调递增，2在(e，+)上单调递减(2)由 f(x)g(x)，即ex+1-ax+1lnxx+2，得axex+1-ln x-x=eln x+x+1-(ln x+x+1)+1，令t=ln x+x+1，tR R，即aet-t+1恒成立，令(t)=et-t+1，tR R，则(t)=et-1，当t(-，0)时，(t)0，(t)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，(t)min=(0)=2，故a2.8(2023潍坊模拟)已知函数 f(x)=ex-1ln x，g(x)=x2-x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当x(0,2)时，f(x)g(x)【答案】(1)解：函数 f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=ex-1ln x+ex-1x=ex-1lnx+1x，记h(x)=ln x+1x，x0，则h(x)=1x-1x2=x-1x2，所以当0 x1时，h(x)1时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)h(1)=1，所以 f(x)=ex-1lnx+1x0，所以函数 f(x)在(0，+)上单调递增(2)证明原不等式为ex-1ln xx2-x=x(x-1)，即lnxxx-1ex-1，即证lnxelnxx-1ex-1在(0,2)上恒成立，3设(x)=xex，x(-，1)，则(x)=ex-xexe2x=1-xex，所以当x0，(x)单调递增，令t(x)=ln x-x+1，x(0,2)，则t(x)=1x-1=1-xx，当0 x0，t(x)单调递增；当1x2时，t(x)0，t(x)单调递减，所以t(x)max=t(1)=0，所以ln xx-1，且在区间(0,2)上有lnx1，x-10)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若对于任意的x0，有 f(x)0，求正数a的取值范围【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=ex-ln x，得 f(x)=ex-1x，切点坐标为(1，e)，斜率为 f(1)=e-1，所求切线方程为y-e=e-1(x-1)，即 e-1x-y+1=0.(2)f(x)0，即ex+x-ax-ln ax0(a0，x0)ex+xax+ln ax(a0，x0)ex+xeln ax+ln ax(a0，x0)令g(x)=ex+x，显然g(x)是增函数，于是上式可化为g(x)g(ln ax)，即xln ax(a0，x0)ln ax-ln x(a0，x0)令(x)=x-ln x(x0)，4则(x)=1-1x=x-1x，易知(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，故(x)min=(1)=1，于是ln a1，可得02时，证明：xx-1exln(x-1)【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=1+ln x，当x 0，1e时，f(x)0，f(x)在 0，1e上单调递减，在1e，+上单调递增，f(x)min=f1e=-1e.(2)证明x2，x-11，要证xx-1exln(x-1)，即证xex(x-1)ln(x-1)，即证exln ex(x-1)ln(x-1)，即证 f(ex)f(x-1)，由(1)知 f(x)在1e，+上单调递增，且ex1e，x-11e，即证exx-1，令(x)=ex-(x-1)(x2)，(x)=ex-10，(x)在(2，+)上单调递增，(x)(2)=e2-10，exx-1，即证原不等式成立11已知a0，函数 f(x)=xex-ax.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；5(2)若 f(x)ln x-x+1恒成立，求实数a的取值范围【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xex-x，所以 f(x)=(x+1)ex-1，所以 f(1)=2e-1，f(1)=e-1，所以切线方程为y-(e-1)=(2e-1)(x-1)，即(2e-1)x-y-e=0.(2)由题意得xex-axln x-x+1，即xex-ln x+x-1ax，因为x0，所以xex-lnx+x-1xa，设F(x)=xex-lnx+x-1x=ex+lnx-lnx+x-1x，令t=x+ln x，易知t=x+ln x在(0，+)上单调递增，当x0时，t-，当x+时，t+，所以存在x0，使t=x0+ln x0=0，令m(t)=et-t-1，tR R，因为m(t)=et-1，所以当t(-，0)时，m(t)0，即m(t)在(0，+)上单调递增，所以m(t)min=m(0)=0，所以m(t)m(0)=0，即m(t)=et-t-10，得到ett+1，当且仅当t=0时取等号，所以F(x)=ex+lnx-lnx+x-1xx+lnx+1-lnx+x-1x=2xx=2，当且仅当x+ln x=0时取等号，所以a2，又a0，所以a的取值范围是(0,2