2.2.1对数与对数运算(第二课时).pdf
2.2.12.2.1对数与对数运算对数与对数运算第二课时第二课时讲读设计讲读设计教学目标：教学目标：1.熟练掌握对数的运算性质；2.能较熟练地运用对数运算法则解决对数计算问题。3.熟记对数的换底公式并利会用它进行计算教学重点：教学重点：对数的运算性质教学难点：教学难点：对数的运算性质的应用教学过程：教学过程：一、预习反馈一、预习反馈1（1）对数定义：如果xaN(0,1)aa，那么数 x 叫做，记作；（2）指数式与对数式的互化：xaN；2幂的运算性质.（1）mnaa；（2）()mna；（3）()nab.二、学习目标二、学习目标1.理解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化；2.会利用指数式与对数式之间的关系求对数式中变量的值。三、自学与探究三、自学与探究(一一)自学提示自学提示 整合教材知识整合教材知识,落实基本能力落实基本能力探究一探究一:对数运算性质及推导对数运算性质及推导问题：由pqp qa aa，如何探讨logaMN和logaM、logaN之间的关系？问题：设logaMp,logaNq，由对数的定义可得：M=pa，N=qa?奎屯?王新敞?新疆MN=paqa=p qa，logaMN=p+q，即得logaMN=logaM+logaN?奎屯?王新敞?新疆根据上面的证明，能否得出以下式子？如果如果 a 0，a 1，M 0，N 0，则，则（1）log()loglogaaaMNMN；（2）logloglogaaaMMNN；（3）loglog()naaMnMnR.反思反思：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式?奎屯?王新敞?新疆）探究二探究二:换底公式的推导换底公式的推导问题问题 1.1.已知指数式bax，将其转化为对数式是什么？问题问题 2.2.若把指数式bax两边同取c（c0,且c1）为底数的对数，你能得到什么式子？你能求出x的表达式吗？问题问题 3.3.综合问题 1、2 的结果，你能得到什么结论？将得到的结论写在下面：对数换底公式：换底公式的意义：换底公式的意义：可将不同底对数化为同底对数，便于使用运算性质。(二）合作探讨二）合作探讨例 1 计算：（1）5log 25；（2）0.4log1；（3）852log(42)；（4）lg9100。例 2 用logax,logay,logaz表示下列各式：（1）2logaxyz；（2）35logaxyz.例例 3 3已知a2lg，b3lg，求下列各式的值：（1 1）4log3（2 2）12log2（3 3）5log15例例 4 4将下列各式用一个对数符号表示：（1 1）7log5log33（2 2）7log5log88例例 5 5利用对数的换底公式化简下列各式：(1)（2）2log5log4log3log5432(BC(BC 选作选作)（1 1）已知1052ba，求，求ba11的值。(三三)探究提升探究提升 精研高考题点精研高考题点,提升备考智能提升备考智能题型一利用对数的运算性质化简、求值例 1计算下列各式的值：(1)12lg324943lg8lg 245；(2)lg 2523lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)方法一原式12(5lg 22lg 7)4332lg 212(2lg 7lg 5)52lg 2lg 72lg 2lg 712lg 512lg 212lg 512(lg 2lg 5)12lg 1012.方法二原式lg4 27lg 4lg 7 5lg4 27 574lg(2 5)lg 1012.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.反思与感悟1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2lg 51 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.变式训练 1计算下列各式的值：(1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2；(2)lg 325lg 935lg27lg 3lg 81lg 27.解(1)原式(lg 5)2lg 2(2lg 2)(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.(2)原式lg 345lg 3910lg 312lg 34lg 33lg 314591012 lg 343lg 3115.题型二利用换底公式化简、求值例 2计算：(1)lg 20log10025；(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52).解(1)lg 20log100251lg 2lg 25lg 1001lg 2lg 52.(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52)(log253log2252log325)(log3523log2522log52)(3113)log25(111)log52133313.反思与感悟1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.2.常用的公式有：logablogba1，lognabmmnlogab，logab1logba等.变式训练 2(1)(log29)(log34)等于()A.14B.12C.2D.4(2)log2125log318log519_.答案(1)D(2)12解析(1)(log29)(log34)(log232)(log322)2log23(2log32)4log23log324.(2)原式lg125lg 2lg18lg 3lg19lg 52lg 53lg 22lg 3lg 2lg 3lg 512.题型三换底公式、对数运算性质的综合运用例 3已知 log189a,18b5，求 log3645.解方法一log189a,18b5，log185b.于是 log3645log1845log1836log1859log18182log189log1851log182ab1log18189ab2a.方法二log189a,18b5，log185b.于是 log3645log1895log181829log189log1852log1818log189ab2a.方法三log189a,18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18，log3645lg95lg1829lg 9lg 52lg 18lg 9alg 18blg 182lg 18alg 18ab2a.反思与感悟1.这类问题一般利用换底公式、对数的运算性质求解.2.解题时应观察要求值与已知式子中底数与真数的关系，如 log182log181891log189.变式训练 3已知 log147a，log145b，则 log3528_.答案2aab解析log3528log1428log1435log147log144log147log145a2log142aba2log14147aba21log147aba21aab2aab.题型四利用对数式与指数式的互化解题例 4(1)设 3a4b36，求2a1b的值；(2)已知 2x3y5z，且1x1y1z1，求 x，y，z.解(1)方法一由 3a4b36，得 alog336，blog436，由换底公式得1alog363，1blog364，2a1b2log363log364log36361.方法二由 3a4b36，两边取以 6 为底数的对数，得alog63blog64log6362，2alog63，1b12log64log62，2a1blog63log62log661.(2)令 2x3y5zk(k0)，xlog2k，ylog3k，zlog5k，1xlogk2，1ylogk3，1zlogk5，由1x1y1z1，得 logk2logk3logk5logk301，k30，xlog2301log215，ylog3301log310，zlog5301log56.反思与感悟1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.2.对于这类连等式可令其等于 k(k0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.变式训练 4已知 3a5bM，且1a1b2，则 M_.答案15解析由 3a5bM，得 alog3M，blog5M，故1a1blogM3logM5logM152，M 15.四、当堂检测四、当堂检测1.若 a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正确的个数为()logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logaxylogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.A.0B.1C.2D.3答案A解析根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确.故选 A.2.lg 83lg 5 的值为()A.3B.1C.1D.3答案D解析lg 83lg 5lg 8lg 53lg 8lg 125lg(8125)lg 1 0003.3.已知 2m5n10，则1m1n_.答案1解析因为 mlog210，nlog510，所以1m1nlog102log105lg 101.4.计算：（1）99log 3log 27；（2）315lglg523.五、归纳小结五、归纳小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：logaNn(logaN)n，loga(MN)logaMlogaN，logaMlogaNloga(MN).六、课后作业六、课后作业一、选择题1.log2716log34的值为()A.2B.32C.1D.23答案D解析原式3233log4log 423log34log3423，故选 D.2.化简12log6122log62的结果为()A.6 2B.12 2C.log63D.12答案C解析原式log612log62log6122log63.3.11451111loglog93等于()A.lg 3B.lg 3C.1lg 3D.1lg 3答案C解析原式log9114log3115log94log35log32log35log3101lg 3，故选 C.4.已知 lg 2a，lg 3b，则 log312 等于()A.2abbB.2abaC.a2abD.b2ab答案A解析log312lg 12lg 32lg 2lg 3lg 32abb.5.已知 x，y 为正实数，则()A.2lg xlg y2lg x2lg yB.2lg(xy)2lg x2lg yC.2lg xlg y2lg x2lg yD.2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy).故选 D.6.如果方程(lg x)2(lg 2lg 3)lg xlg 2lg 30 的两根为 x1，x2，那么 x1x2的值为()A.5B.6C.lg 2lg 3D.lg 2lg 3答案B解析由题意得 lg x1lg x2lg 2lg 3lg 6，x1x26.二、填空题7.lg 5lg20的值是_.答案1解析lg 5lg 20lg 100lg 101.8.化简(log43log83)(log32log92)_.答案54解析原式(log23log24log23log28)(1log231log232)56log2332log2354.9.若 lg 2a，lg 3b，则 log512 等于_.答案b2a1a解析log512lg 12lg 5lg 32lg 21lg 2b2a1a.10.已知函数 f(x)alog2xblog3x2，且 f(12 016)4，则 f(2 016)_.答案0解析由 f(12 016)alog212 016blog312 01624，得alog22 016blog32 0162.alog22 016blog32 0162.f(2 016)alog22 016blog32 0162220.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)lg 2lg 5lg 8lg 5lg 4；(2)lg 5(lg 8lg 1 000)(lg 2 3)2lg16lg 0.06.解(1)原式13lg 2lg 52lg 213lg 213lg 21.(2)原式lg 5(3lg 23)3(lg 2)2lg 6lg 623lg 5lg 23lg 53lg2223lg 2(lg 5lg 2)3lg 523lg 23lg 523(lg 2lg 5)2321.
