河南省许济洛平2023-2024学年高三上学期第二次质量检测数学试题含答案.pdf

许济洛平 20232024 学年高三第二次质量检测数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若复数 z 满足|1-i|z=1-2i，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合 =|ln(+1)0,=|11 0,则 AB=A.-1,0 B.(-1,0 C.-1,0)D.(-1,0)3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购 物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100 名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100 分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第 55 百分位数为 A.65 B.72 C.72.5 D.754.已知圆O:+=1与 x 轴交于 A,B 两点,点 M 是直线 +3=0 上任意一点.设 p:2;:3 0）的焦点 F,且与 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点，若OAB 的面积是 2 2,则|AB|=A.4 B.8 C.12 D.167.设 a=ln1.01,b=1.01,c=0.01,其中 e 为自然对数的底数，则A.B.C.D.8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为 0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是A.0.24 B.0.14 C.0.077 D.0.067二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知函数()=sin 2+3的图象的一个对称中心为 6,0,其中(0,1,则A.直线 =12为函数()的图象的一条对称轴B.函数()的单调递增区间为 2 56,2+12,C.当 0,2时，函数()的值域为(32,1D.将函数=2的图象向左平移6个单位长度后得到函数()的图象10.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,.记大衍数列的前n项和为，其通项公式=212,为奇数22,为偶数.则A.84 是数列n中的项 B.2+4+14+16=408C.12+13+13+17+12023=10112024 D.50=21450参考公式：12+22+32+2=(1)(2 1)6.11.在 1221的展开式中，若第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则A.展开式中 x 的系数为 1058B.展开式中所有项的系数的和为 11024C.展开式中系数的绝对值最大的项是第 5 项D.从展开式中任取 2 项，取到的项都是 x 的整数次幂的概率为 31112.已知()=2cos,()=()cos (1+cos),则A.当 2,2时,(x)=4=2 24,无最大值B.当 2,2时,(x)=4=2 244,无最小值C.当 4,2时,g(x)的值域是(-,2D.当 4,2时,g(x)的值域是2,+)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知双曲线 :2224=1(0)的离心率为 5,则 a=.14.在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB=2,BDDC,点 M 为线段 CD 的中点，则 =_.15.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-ABCD中,P 是棱(不包含端点)上一动点，则三棱锥 P-ABC 的体积的取值范围为 16.已知定义在(-3,3)上的函数()满足.()=2x(),(1)=1()为()的导函数,当x0,3)时,()(),则不等式x(1 )1的解集为 .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。17.(10 分)已知ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(sin+cos)=(3 1)cos+.(1)求 B;(2)若 =1,=3,求ABC 的面积.18.(12 分)已知正项数列的前 n 项和为,=1,且满足:.(1)求 的通项公式;(2)已知=,设数列b的前n项和为,当n时,(cos)sin.22.(12 分)已知椭圆 E:22+22=1(0)的左、右焦点为 F,F,过 1(3,0)的直线交椭圆于 G,H 两点,GHF的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程;(2)点 M,N 分别为椭圆 E 的上、下顶点,过直线 y=2 上任意一点 P 作直线 PM 和 PN,分别交椭圆于 S，T 两点.证明：直线 ST 过定点.2024 届高三第二次模拟考试参考答案届高三第二次模拟考试参考答案一、选择题1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C二、选择题9.ACD 10.ABD 11.BD 12.AD三、填空题13.1 14.154 15.16,13 16.(-2,0)U(2,3)四、解答题17.解:(1)在ABC 中,因为(sin+cos)=(3 1)cos+,由正弦定理可得：sin(sin+cos)=(3 1)sincos+sin,所以 sin(sin+cos)=(3 1)sincos+sin(+),所以：sinsin+sincos=(3 1)sincos+(sincos+cossin),整理得 sinsin=3sincos,又 A(0,),所以 sinA 0,所以 sin=3cos,得 tan=3,4 分因为 B(0,),所以.=3.5 分(2)由(1)知,=3,又 =1,=3,在ABC 中，由余弦定理.=+2,得 3=1+22 1 12,所以 2=0,则 c=2,或 c=-1(舍),8 分所以ABC 的面积 =12sin=12 1 2 32=32.10 分18.解:(1)若选,因为数列an中,2+1=+2,所以数列为等比数列.设的公比为 q,则 q0,由题意得 2(+2)=2+,又 =1,可得 2 +2=2+,即 2+2 4=0,则有 +2 2 4=+2 2 +2=+2(2)=0,因为 +2 0,解得 q=2,故 =2.2 分若选，因为+12=1(),所以+22+1=+12=1(),所以 +2+1=2(+1)(),即+2=2+1();当 n=1 时,有 2=1,即 =1,且 =1,则 =2.所以数列是首项 =1,公比 q=2 的等比数列，所以 =2.4 分若选，由 (+1)=(+1),得+11+1=1,所以 1=111=111=2,所以 =2 1.当 n2 时,=2 1,所以 =2 1 (2 1)=2 2,所以 =2,所以，数列 是以首项 =1,公比 q=2 的等比数列，所以 =2.6 分(2)由(1)可知:数列b满足=21,数列b的前 n 项和=1+22+322+21则 12=12+222+121+2-可得:12=1+12+122+1212=1121122=2 22,所以 =4 221,8 分不等式(cos)+21化为(cos)4 221,可知数列 4 221为递增数列.9 分当 n 为偶数时，4 221,取 n=2,可得3;10 分当 n 为奇数时，-2;11 分综上,实数的取值范围是(-2,3).12 分19.解:(1)由统计表数据可得:=1 2 3 4 55=3,=7 12 13 19 245=15,1 分所以5=1()()=16+3+0+4+18=41,2 分 5=1()2=64+9+4+16+81=174,3 分 5=1()2=4+1+0+1+4=10,4 分所以相关系数 =4117404141.7 0.98,5 分因此，两个变量具有很强的线性相关性.6 分(2)由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,3 7 分因为(=0)=053338=156,(=1)=152338=1556,(=2)=251338=3056=1528,(=3)=350338=1056=528,11 分所以 x 的分布列为：X0123P 15615561528528所以()=0 156+1 1556+2 1528+3 528=158.12 分20.解:(1)证明:如图,取 EC 的中点 H,连结 BD 交 AC 于点 O,连结 HO、HF.因为四边形 ABCD 为菱形,则 ACBD.又 AE平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 AEBD.因为 AE平面 AEC,AC平面 AEC,且 AEAC=A,所以 BD平面 AEC.2 分学科网（北京）股份有限公司因为 H、O 分别为 EC、AC 的中点,所以 HOEA,且 =12;又 AEDF,且 =12.所以HODF,且HO=DF,所以四边形HODF 为平行四边形,所以HFOD,即HFBD,所以HF平面 AEC.因为 HF平面 CEF,所以平面 AEC平面 CEF.5 分(2)取 CD中点 M,连接 AM.因为菱形 ABCD中,ABC=60,所以ACD为正三角形,又 M 为 CD中点,所以 AMCD,因为 ABCD,所以 AMAB.因为 AE平面 ABCD,AB,AM平面 ABCD,所以 AEAB,AEAM.如图,以 A 为原点,AB,AM,AE 所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系 .7 分不妨设 AB=AD=AE=2DF=2,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),E(0,0,2),F(-1,3,1).8 分因为 AM平面 ABE,所以=(0,3,0)为平面 ABE 的一个法向量，9 分设平面 CEF 的法向量为 n=(x,y,z),因为 =(1,3,2),=(2,0,1),所以 =3+2=0 =2+=0 =3=2不妨令 x=1,得 =(1,3,2).11 分设平面 ABE 与平面 CEF 夹角为,贝 cos=|cos|=|=32 2 3=64,11 分所以平面 ABE 与平面 CEF 夹角的余弦值为 64.12 分21.解:(1)当 a=1 时,()=1 ,则 ()=1,1 分所以(1)=1,2 分又(1)=1,3 分故所求切线方程为 (1)=(1)(1),即=(1).4 分(2)因为()的定义域是(0,+),所以当 1时,()=(1)1 设()=1 ,则()=1 cos,5 分设()=()=1 cos,则 ()=+12+sin 0,6 分所以h()在(0,+)上是增函数,则 13=133 cos13 2.73 16=24,所以 4 2,学科网（北京）股份有限公司又 4+sin443.14+1.422 1.984 0,所以h()在 13,4上存在唯一零点 x，也是 h(x)在(0，+)上的唯一零点，所以 (0)=010 cos0=0,即 0=10+cos0.9 分当0 时,()时,()0,()在(+)上单调递增.所以()min=(0)=0 ln01 sin0=10+cos0 ln01 sin010 分由于 0 0 1,ln0 sin0,所以()=()0,所以 g(x)0,11 分所以当 1时,()0,即()成立12 分22.解:(1)由题意知,GHF的周长为 4a,则 4a=8,所以 a=2,1 分 又 =3,则 =4 3=1,3 分所以椭圆 E 的方程为 24+2=1.4 分(2)如图,由题意知,M(0,1),N(0,-1),直线 PS,PT,ST 斜率均存在.设 P(m,2),(mR,m0),则直线 PS:=+1,5 分由=+12+42=4,消去 y 可得：(+4)+8=0,因为 =64 0恒成立，所以+=824,6 分 即=824,所以 =8241+1=2424;同理 =24236,=36 2236,8 分所以=2424823623684 42192=(12 2)(12 2)16(12 2)=12 216,10 分所以直线 ST 方程为：=12 216 824+2424=12 216+12,11 分所以直线 ST 过定点 0,12.12 分