河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月联考数学试卷含答案.pdf
洛阳强基联盟 3 月联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教 A 版必修第二册第六章第七章第 2 节。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i?t?i?i?th?,则t?=A.-9B.9C.7D.-72.已知?th为等边三角形，则?t?与 th?的夹角为A.120B.60C.30D.-603.已知向量t=(8,-2),?=(?,1),若t?,则实数?的值是A.-4B.-1C.1D.44.在?th中,角?hthh的对边分别为th?h浔,已知 t?h?ht?h则?=A.45或135B.135C.45D.60或1205.若复数?满足?i?i?i，则?在复平面内对应的点的坐标为A?B?C?D?6.已知?th的内角?hthh的对边分别是th?h浔,则“?th是钝角三角形”是“t?浔?”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量t，?的夹角为?h且|t|=2,?=(1,1),则t在?上投影向量的坐标为A?B?C?D.(1,1)8.在平行四边形?th?中,?t?h?h?t?tt?h?t?th?h且tt?ht?h则平行四边形?th?的面积为A?B?C?D?二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.对于任意的平面向量t，?，浔，下列说法错误的是A.若t?，则t与?不是共线向量B.?t?浔?t?浔?浔C.若t?t?浔,且t?,则?浔D.?t?浔?浔?t10.若复数z为纯虚数，则A.?+?为实数B.?-?为实数C.?为实数D.?i为实数11.下列说法正确的是A.若两个非零向量?t?hh?共线，则?，t，h，?必在同一直线上B.若向量t与?平行，?与浔平行，则t，浔方向相同或相反C.若非零向量?t?与 h?是共线向量，则它们的夹角是0或180D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量12.在?th中，内角?，t，h所对的边分别为t，?，浔，则下列结论正确的是A.若t?,则sin?sin tB.若sin?sin t,则?tC.若tcos?cos t,则?th是等腰三角形D.若?th为锐角三角形,则sin?cos t三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设复数?满足?i+1=?,则?14.在?th中,角?hthh的对边分别为th?h浔,且?cos h 浔sin t?t,?,则t?sin?sint?15.已知平面向量t?h?,?h?,若t与t?的夹角为锐角,则?的取值范围为.16.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶h处的仰角为60，又利用无人机在离地面高400m的?处(即?)，观测到山顶h处的仰角为15，山脚?处的俯角为45,则山高th=m.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知虚数z满足?(1)求证?i?在复平面内对应的点在直线?h上；(2)若?是方程?h?h?的一个根，求?与?.18.(本小题满分12分)已知向量th?满足|t|=2,|?|=3,且?t?t?.(1)若?t?t?,求实数?的值;(2)求t与?t?的夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知?th的内角?hthh的对边分别为th?h浔,且?cos?tcos t?cos?.(1)求角?;(2)若?th的周长为?h?，且?th外接圆的半径为1，判断?th的形状，并求?th的面积.20.(本小题满分12分)如图，在等腰梯形?th?中，?t?h?h?t?h?h?t?hE是th边的中点.(1)试用?t?h?表示?t?hth?(2)求?t?t?的值.21.(本小题满分12分)如图，在平面四边形?th?中，?t?h?h?h?t?h设?h?.(1)若?=60,?t=2h?,求t?的长度;(2)若?t?th=30,求tan?.22.(本小题满分12分)记?th的内角?hthh所对的边分别为th?h浔,已知tsin?浔sin h?.(1)求证:sint?t浔t?浔?cost?(2)若?th的面积?,求?的最大值，并证明：当?取最大值时，?th为直角三角形.洛阳强基联盟3月联考高一数学参考答案、提示及评分细则1.B?t?,即?t?,所以t?h?ht?.故选B.2.A因为ABC为等边三角形,所以 AB 与BC 的夹角为120.故选A.3.A由t?,得?h?h解得?=-4.故选A.4.C由正弦定理得 sin?t?t?h?t?h?th角A等于45.故选C.5.D由?,得?h所以z在复平面内对应的点的坐标为?故选D.6.B若ABC中B为钝角,则C为锐角,浔?h?,即有t?浔?,故充分性不成立；若t?浔?,由余弦定理得cosh?t?浔?t?h即C为钝角，故必要性成立.故选B.?C?t?cos?故选C.8.D 因为?t?EBhDF?FCh所以BF?CE?CF?CB?CB BE?CD?CB?CB?CD?CB?CD?CB?CD?cos?th?cos?th?h则得 浔?th?=?h 则 sin?th?h所 以?th?ht?h?sin?th?故选D.9.ACD 对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A错误；对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B正确；对于C若t和?，浔都垂直，显然?，浔至少在模长方面没有任何关系，故C错误；对于D,?t?浔?浔?t很多时候是不成立的,则?t?浔与?浔?t是分别和浔、t共线的向量,故错误.故选ACD.10.ACD 因为?为纯虚数,设?,且?h?h则?,A正确;?,B错误;?为实数,C正确;?为实数,D正确.故选ACD.11.CD 平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量，则 AB与CD平行或共线，故A错误；当b为零向量时，结论不成立，故B错误；由向量的夹角可知C正确；平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确。故选CD.12.ABD在ABC中,由正弦定理得tsin?sinth所以t?sin?sint?若t?,则t?sin?sint?h又?h?t?0,所 以?t,故 A 正 确;因 为t?sin?sinth 又?t,?,?t?0,所以t?sin?sint?h所以t?,所以?t,故B正确;若t浔?浔?t,由正弦定理可得?浔?t浔?t,即?t,则?t或?t=,即?t或?t?h则ABC是等腰三角形或直角三角形故C错误；若ABC为锐角三角形，则?t?h所以?t?h 又?h在?上为单调增函数，所以sin?sin?t h即?浔?t,故D 正确.故选ABD.?由?,得?h 则?h?由正 弦定理 得?t浔?h?h?t?,即?t浔?h?h?t?t h?t浔?h 浔?t?hh?h?t?浔?t?hh?h?h?t?浔?th?t?t?t?h?h?t?h?t?=?sint?h?t?sin?h?sinth 所以t?sin?sint?sin?sintsin?sint?因为t与t?的夹角为锐角,所以t?t?,且t与t?不共线,即?,且1?-25,解得?且?.16.600 由 题 意 知?,则?h又 由?h?t?,所 以?h?-60-?,?h?,在?h中，由正弦 定 理 得?hsin?h?sin?h?h即?hsin?sin?h解 得?h?h 则 th?h?.17.(1)证明:方法一:设?t?th?h?h1分因为?h所以?,2分以?t?t?t?t?h4分所 以?在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(t?ht?),在 直 线?h上.5分方法二:设?t?th?h?),1分因为?t?h所以t?,2分?t?t?t?t?t?t?t?t?t?h4分所 以?在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(t?ht?),在 直 线?h上.5分(2)解:因为?t?是方程?h?h?的一个根,所以?t?t?,6分即?t?t?t?,所以?t?t?,且?t?=0,由?t?及?,得t?,8分因为 t?,所以?,把t?h?代入?t?t?=0得?=10,所以?10,?-1?10分18.解:(1)因为?t?t?,所以?t?t?,即?t?,解得t?.3分若(t?t?h则?t?t?,即t?t?,即?,解得?6分?t?t?t?t?又t?t?t?t?,9分所以 cos?th?t?t?t?t?t?h即t与?t?的夹角的余弦值为?12分19.解:(1)?浔浔?t浔?t?浔?,由正弦定理得?h浔?浔?t?t浔?h 2分因为?浔?t?t浔?t?h,所以2?h浔?h,因为h?(0,),所以?h0,以 cos?4分因为?h?,以?5分(2)设?th外接圆的半径为?,则?=1,由正弦定理，得t?sin?h6分因为ABC的周长为?h所以?浔?7分由余弦定理，得 t?浔?浔cos?浔?浔h即?浔,所以?浔?9分由?浔?h?浔?h得?h浔?h所以ABC为等边三角形.11分所以ABC的面积?浔sin?12分20.解?h?AD DC?AD?ABh?t?AB AC?AB AD?AB?AB?ADhth?h?AB?AD?AB?AB?AD?AB?5分?AB?DC?cos?h7分?t?AB?ADh?t?AE?AB?AD?AD?AB?AB?AD?AB?AD?t?AD?AB?AD?cos?12分21.解:(1)由?t?hh?h?h?h?t?h?h?h知?h?tan?h2分在ABD中,?t?h?t?h?h由余弦定理可知 ht?h则 t?6分?h?t?h?h?t?tan?th?7分由题意易知,?浔?h?t?.在ABD中，由正弦定理可知?sin?t?tsin?th9分?cos?sin?h 即有?cos?cos?sin?h?cos?sin?h?tan?12分22.(1)证明:由tsin?sint?浔sinhh得 sin?tsint?hsinh?浔sint?h代入t?浔?h?,得t?sint?浔?sint?h2分所以 sint?t?浔?h由余弦定理，得?t?浔?t浔浔?t,以sint?t?浔?tcostt?浔?t浔t?浔?costh 4分以sint?t浔t?浔?cost?5分(2)解:由(1)知sint?t?浔?h所以ABC的面积?t浔sint?t浔?t?浔?h 6分所以?t浔t?浔?t浔?t浔?h 当且仅当t?浔时取等号，所以?的最大值为?8分下面证明当?h即t?浔时,?th为直角三角形.把t?浔代入sint?t浔t?浔?cost?h得?t 浔?t?,9分两边平方，得?t?t浔?t 浔?t=1,所以?t浔?t?,11分因为?t?hsint?所以cost?h t?h所以?th为直角三角形.12分
