新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题含答案.pdf

乌鲁木齐市实验学校 2023-2024 学年高三上学期 1 月月考 乌鲁木齐市实验学校 2023-2024 学年高三上学期 1 月月考 数学试题数学试题总分 150 分 考试时间 120 分钟总分 150 分 考试时间 120 分钟一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）1已知复数 z 满足1z ii ，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合1,2,4A，1,Bx，若BA，则x A1B2C2或4D1或2或43某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为()A9B18C27D364 若函数()f x是周期为2的偶函数，当01x时()2(1)f xxx，则5()2f=()A12B12C14D145 已知椭圆C1：与双曲线C2：2214yx 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点，C1恰好将线段 AB 三等分，则ABCD6若函数在区间(0,)上单调递减，则实数的取值范围是A2,)B1,)C(,2 D(,17若3sin5，532，则tancos22（）A10310B10310C3 10310D3 103108已知等比数列 na的前n项和为nS，则下列判断一定正确的是（）A若30S，则20220aB若30S，则20220aC若21aa，则20232022aaD若2111aa，则20232022aa二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。）二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。）9如图 1，在ABC中，90ACB，2 3AC，2CB，DE 是ABC的中位线，沿 DE 将ADEV进行翻折，连接 AB，AC 得到四棱锥ABCED（如图 2），点 F 为 AB 的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）A当点 A 与点 C 重合时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的表面积为333 2B四棱锥ABCED的体积的最大值为32C若三角形 ACE 为正三角形，则点 F 到平面 ACD 的距离为32D若异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为34，则 A、C 两点间的距离为 2310设抛物线220ypx p的焦点为 F，P 为其上一动点，当 P 运动到2,t时，4PF，直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，点4,1M，则下列结论正确的是（）A抛物线的方程为24yxBPMPF的最小值为 6C若线段 AB 中点的纵坐标为 4，则直线 l 的斜率为 2D当直线 l 过焦点 F 时，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切11下列四个命题是真命题的是（）A若函数 f x的定义域为2 2,，则函数1f x的定义域为3,1B函数2yxx的值域为7,4C 若函数24yxmx的两个零点都在区间为1,内，则实数m的取值范围为5,4D已知 25,1,1xaxxf xaxx在,上是增函数，则实数a的取值范围是3,212从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A 2 个球都是红球的概率为18B 2 个球中恰有一个红球的概率为12C至少有 1 个红球的概率为38D2 个球不都是红球的概率为78三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13已知向量b为单位向量，向量1,1a r，且26ab，则向量a、b的夹角为 .14已知正四棱台的上底边长为 4，下底边长为 8，侧棱长为17，则其体积为 .15已知圆228xy内有一点1,2P，AB 为过点 P 且倾斜角为135的弦，则AB 16集合sin,3kAx xkZ的子集的个数是 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17如图，在ABC中，ABAC，4ABAC，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持4EAF不变，设EAB(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；(2)求EAF面积S的最小值18已知数列 na的前n项和nS，对于*Nn，都满足110(2)nnnnSSSSn，且11a(1)求nS；(2)若2nnSbn，求数列 nb的前n项和nT19某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40,50，50,6090,100后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为 80 分以上（包括80分）的人数为X（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望.20如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面为矩形，平面11AAD D平面11C CDD，且1111122CCCDDDC D.(1)证明:11AD 面11CC D D(2)若1AC与平面11CC D D所成角为3，求锐二面角1CAAD的余弦值.21已知椭圆2222:1xyCab的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为12，过椭圆左焦点1F作不与 x 轴重合的直线与椭圆 C 相交于 M，N 两点，直线 m 的方程为：2xa，过点 M 作 ME 垂直于直线 m 交直线 m 于点 E(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 O 为坐标原点，求OEN面积的最大值22函数 exfxxa，Ra.(1)求函数 yf x的单调区间及极值；(2)若12,x x是函数 yf x的两个不同零点，求证：120 xx；122 1xxa.学科网（北京）股份有限公司月考答案解析：月考答案解析：1B【分析】根据等式化简出z，即可得到z，则可选出答案.【详解】因为1z ii .所以11izii .所以1zi ，其在复平面对应的点为(1,1)在第二象限.故选：B.2C【详解】试题分析：集合1,2,4A，1,Bx，BA，2x 或4x 才能满足集合的互异性.故选 C.考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.3B【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果设老年职工有 x 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，则中年职工有 2x，x+2x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有 90 人，在抽取的样本中有青年职工 32 人，每个个体被抽到的概率是3211605用分层抽样的比例应抽取1590=18 人故选 B考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过4B【分析】根据函数周期性与奇偶性，将52转化到0,1范围内，再代入解析式即可.【详解】因为函数 f x是周期为2的偶函数，且当01x时，21f xxx，则55111112212222222ffff（）（）（），故选:B5C【详解】由题意，C2的焦点为(0,5)，一条渐近线方程为 y=2x，根据对称性易AB 为圆的直径且 AB=2a,C1的半焦距5c，于是得 a2-b2=5.设 C1与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入 C1的方程得：222224a bxba，由对称性知直线 y=2x 被 C1截得的弦长=2 5x由题得：22 53ax，所以3 5ax ,由得 a2=11b2,由得 a2=5.5，b2=0.5.故选 C6C【详解】试题分析：由题意，知()(sincos)0 xfxexxa在区间(0,)上恒成立，即2sin()4ax 在区间(0,)上恒成立因为5(,)444x，所以2sin()(,142x，所以2sin()2,1)4x，所以2a ，故选 C学科网（北京）股份有限公司考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质7B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可【详解】因为3sin5，532，所以24cos1 sin5 ，因为53422，所以sin02，cos02，所以1cos3 10sin2210 ，1cos10cos2210 ，所以sin2tan32cos2，则10tancos32210，故选：B.8D【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.【详解】对于 A，等比数列11231,2,4,2,nnaaaa 满足30S，但是20220a，故 A 错误；对于 B，等比数列312314,2,1,1,2nnnaaaa 满足30S，但是20220a，故 B 错误，对于 C，等比数列312314,2,1,1,2nnnaaaa 满足21aa，但是220230220aa，故 C 错误，对于 D，若10a，由211111111101qaaa qaq，所以等比数列 na为递减数列，故20232022aa正确；若10a，由21111111110qaaa qaq 或1q，当1q 时，等比数列 na为递减数列，故20232022aa正确；当0q 时，偶数项为正，奇数项为负，故20232022aa正确；故 D 正确.故选：D.9AB【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断 A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断 B,根据长度关系可得垂直以及平行，结合等面积法得1DG hDF FG即可求解 C,由线线角的几何法求解，结合余弦定理即可判断 D.【详解】由题意，在ABC中，90ACB，2 3AC，2CB，DE 是ABC的中位线，3tan3BCAAC，112DEBC，132AECEAC，2 3AC 30A，112222ADBDABBC，对于 A 项，当点 A 与点 C 重合时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体为底面半径为3EC，高为1DE 的半个圆锥，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的表面积为：22221111331332 3 133 22222SrlrAC DE 学科网（北京）股份有限公司，故 A 正确；对于 B 项，设AEC，则0,，设点A到CE的距离为h，则sin3sinhAE，四棱锥ABCED的体积为：12311133sinsin332322A BCDEBCDEBCDE CEVShh，在siny中，0,1y，33sin022A BCDEV，四棱锥ABCED的体积的最大值为32，故 B 正确；对于 C，D 项，当三角形 ACE 为正三角形时，60AEC，3ACAECE，取AC中点为G,BC的中点H，连接FH，EH，EG连接DG，在ABD中，ADBD，点 F 为 AB 的中点，由于,F G分别是,AB AC的中点，所以/BCFG,12FGBC,1/,2DEBC DEBC,因此四边形DEGF为平行四边形，故DF/EG,由于EDEC,EDEA,ECEAE,EC,EA=平面EAC,所以ED 平面EAC,EG 平面EAC,所以DEEG,因此四边形DEGF为矩形，则FGDF由于/DEBC,所以BC平面EAC,AC平面EAC,所以ACBC，在ACD中，2ADCD，1322AGCGAC，G为AC的中点，EGAC在ABC中，G为AC的中点，点 F 为 AB 的中点，/ACBC，FGAC，而,EGFGG EG FG平面DEGF，即有AC 平面DEGF，又AC 平面ADC，因此平面DEGF 平面ADC，而平面DEGF 平面ADCDG，所以点 F 到平面 ACD 的距离等于点 F 到直线 DG 的距离，则2222327ABACBC，1722AFBFAB，在ADG中，2222313222DGADAG在矩形DEGF中，DEEG，DEBCFG/，132DGEF，设点 F 到平面 ACD 的距离为1h，在DFG中，1DG hDF FG，即1133122h，解得：13 1313h，故 C 错误，对于 D,由于1/,=2DE BH DE BHBC=,所以四边形DEHB为平行四边形，故/EHBD，又/FHAC，此时FHE即为异面直线 AC 与 BD 所成的角或补角，由于12FHAC，22222211411422EH,EFEGECACAC=+=+-=-,3cos4FHE,由余弦定理2222cosEFFHEHFH EHFHE，解得3AC，则 A,C 两点间的距离为3，故 D 错误；学科网（北京）股份有限公司故选：AB.10BD【分析】对于 A，利用抛物线的定义结合题意可求出p的值，从而可得抛物线方程，对于 B，过 P 作 PE 垂直于准线于 E，结合图形利用抛物线的定义求解，对于 C，利用点差法求解，对于 D，利用抛物线的定义求解【详解】220ypx p，故242pPF，4p，故28yx，A 错误；过 P 作 PE 垂直于准线于 E，则6PMPFPMPE，当 P，E，M 三点共线时等号成立，故 B 正确；设11,A x y，22,B xy，若 AB 中点的纵坐标为 4，则128yy，则2118yx，2228yx，相减得到1212128yyyyxx，所以直线 l 的斜率12121281yykxxyy，故 C 错误；如图所示：G 为 AF 中点，故1111()2222DGOFAQAQCQACAF，故AF 为直径的圆与 y 轴相切，故 D 正确故选：BD11ACD【分析】选项 A 根据抽象函数的定义域可得；选项 B 运用换元法可求函数的值域；选项 C 根据二次函数区间根问题求参数可得；选项 D 根据分段函数在R上增函数可得.【详解】选项 A：函数 f x的定义域为2 2,，则函数1f x的中212x ，得31x，故 A 正确；选项 B：设20tx，得22xt，则22ytt，对称轴为12t ，故函数在0,上单调递增，故222ytt，故 B 错误；选项 C：若函数24yxmx的两个零点都在区间为1,内，则224 40114012mmm ，得54m ，故 C 正确；选项 D：若 25,1,1xaxxf xaxx在,上是增函数，则学科网（北京）股份有限公司212011 51aaaa ，得32a，故 D 正确.故选：ACD12ABD【分析】A 选项直接乘法公式计算；B 选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C、D 选项先计算对立事件概率.【详解】对于 A，111428P，正确；对于 B，1131142422P，正确；对于C，3151428P ，错误；对于 D，1171428P ，正确.故选：ABD.1323【解析】对26ab两边平方解出a b，代入数量积的定义式解出夹角.【详解】向量b为单位向量，向量1,1a r，2a，1b，26ab，222 226aa bb ，即22 226a b ，解得22a b .设向量a、b的夹角为，则1cos2a bab ，0Q，因此，23.故答案为：23.14112【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.【详解】因为正四棱台的上底边长为 4，下底边长为 8，侧棱长为17，所以棱台的下底面积64S，上底面积16S，高2172 23h，所以正四棱台的体积1164 1632311233VSSSSh.故答案为：112.1530【分析】求出直线AB的方程后，利用点到直线的距离求出弦心距，再根据勾股定理可得结果.【详解】依题意可得直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为：2(1)yx，即10 xy，由圆心到直线的距离可得弦心距12d 22，所以21|2 82 82ABd30.故答案为：30168【分析】根据正弦函数分别给 k 在一个周期内的值，并求出对应的 x 值，即求出集合 A，再由集合 A 中元素的个数求出它的子集的个数【详解】由题意sin3kx的周期为 6，,令 k 分别为 0、1、2、3、4、5、6，xsin3k的值对应为：0、32，32，0，32，32，0，根据正弦函数的周期性知，A32，0，32，故它的子集的个数是 238 个，故答案为：8学科网（北京）股份有限公司17(1)04，4sincosAE，2 2cosAF；(2)8(21).【分析】（1）由题设可得04，在ABE、ACF中应用正弦定理即可求得线段AE，AF关于的函数关系式；（2）由（1）及倍角正余弦公式、辅助角公式可得82sin(2)14EAFS，结合的范围及正弦型函数的值域求最小值.【详解】（1）由题设，04，在ABE中sinsin()AEABBB，而4B，所以4 sin44sincossin()4AE，同理sinsin()4AFACCC，4C，则4 sin2 24cossin()2AF.（2）由（1）知：2148sin24sincoscos2sin(2)14EAFSAE AF，所以32444，则2sin(2),142，当8时，EAF面积S的最小值为8(21).18(1)1nSn(2)32342(1)(2)nnTnn【分析】（1）先证明数列1nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列，再求出nS即可；（2）裂项相消求和可解.【详解】（1）2n Q时，110nnnnSSSS，1111nnSS，又111S，数列1nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列111nnnS ，经验证，1n 时也成立，1nSn（2）11 112(2)22nnSbnn nnn，1234nnTbbbbb1111111112324352nn11113231221242(1)(2)nnnnn19（1）73.33分.（2）2970P.（3）见解析.【详解】试题分析：通过各组的频率和等于1，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；2*GB2 分别求出70,80，80,90，90,100的人数是18，15，3，然后利用古典概型概率求解即可；判断概率类型4 0.3XB，即可写出X的分布列和数学期望解析：（1）因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率：41(0.0250.15*20.01f 0.005)*100.3.直方图如图所示.中位数是0.170 1073.330.3cx，学科网（北京）股份有限公司估计这次考试的中位数是73.33分.（2）70,80，80,90，90,100的人数是18，15，3，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：222181532362970CCCPC.（3）因为4,0.3XB，440.30.7kkkp XkC，0,1,2,3,4k，所以其分布列为：X01234P Xk0.24010.41160.26460.07560.0081数学期望为4 0.31.2EXnp.20(1)证明见解析；(2)34.【详解】（1）如图在梯形11CC D D中，因为1111122CCCDDDC D，作11DHDC于H，则11D H，所以11cos2DD H，所以113DDC，连结1DC，由余弦定理可求得12 3DC，因为2221111DCDDDC，所以11DCDD，因为平面11AAD D 平面11CC D D且交于1DD，1DC 面11CC D D所以1DC 平面11AAD D，因为AD 平面11AAD D，所以1ADDC，因为ADDC，1DCDCD，1,DC DC 面11CC D D，所以AD 平面11CC D D.（2）连结11AC，由（1）可知，11AD 平面11CC D D，以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，学科网（北京）股份有限公司因为11AD 平面11CC D D，所以1AC在平面11CC D D内的射影为1DC，所以1AC与平面11CC D D所成的角为11ACD，即113ACD，在1D DC中，由余弦定理可得：2221112cos120DCDDDCDDDC，即211442 2 2122DC ，解得12 3DC.在11Rt ACD中，因为12 3DC，所以116AD，则10,0,0D，16,0,0A，0,1,3D，0,3,3C，10,4,0C，所以10,1,3D D ，116,0,0D A，116,4,0AC ，16,3,3AC 设平面11AAD D的法向量为,mx y z，则有11100m D Dm D A，即3060yzx令3y，则0 x，3z ，故0,3,3m，设平面11AAC C的法向量为,na b c，则有11100n ACn AC，即6406330ababc，令2a，则3b，3c，故2,3,3n，所以63cos,42 34m nm nm n ，故锐二面角1CAAD的余弦值为34.21(1)22143xy；(2)154.【分析】（1）根据给定条件，列出关于 a，b 的方程组，再求解作答.（2）设出直线 MN 的方程，与椭圆 C 的方程联立，借助韦达定理确定直线 EN过的定点，再求出面积的函数关系求解作答.【详解】（1）椭圆2222:1xyCab上顶点(0,)b，右顶点(,0)a，则227ab，离心率2212abea，即2234ab，联立解得2,3ab，所以椭圆 C 的标准方程为22143xy.（2）由（1）知，左焦点1(1,0)F，直线 MN 不垂直于 y 轴，设其方程为1xty，由2213412xtyxy消去 x 并整理得：22(34)690tyty，设1122(,),(,)M xyN xy，122634tyyt，122934y yt，则有12123()2ty yyy，直线 m：4x ，即有点1(4,)Ey，直线 EN：2112(4)4yyyyxx，令0y，则121121212121213()3(4)3524442yyyy xty yyxyyyyyy ，因此，直线 EN 恒过定点5(,0)2P，而学科网（北京）股份有限公司222121212222636121|()4()343434ttyyyyy yttt，则2212222211512115115|1222343(1)1311OENttSOPyytttt，令211ut，有22113131tuut 在1,)上单调递增，则1u，即0t时，221311tt 取最小值 4，于是当0t时，max15()4OENS，所以OEN面积的最大值是154.22(1)递减区间为,0，递增区间为0,，1f xa 极小值，无极大值；(2)证明见解析【分析】（1）求出()fx，解不等式()0fx得增区间，解不等式()0fx得减区间，从而也可得到极值；（2）先确定函数的变化趋势，由函数式，知x 或x 时，都有()f x ，从而函数要有两个零点，则必有(0)0f，从而得1a 因此有两个零点12,x x，不妨设120 xx，通过构造函数()()()g xf xfx，由()g x的单调性可证22()()f xfx，即12()()f xfx，最后由()f x的单调性，得证120 xx；令 2 2e1xF xxx x，然后证明 2F x，由222e0 xf xxa，得22exax，计算22 1fax，由2e1x,结合 2F x 得212 10faxf x，再由()f x在(,0)上的单调性可证结论（1）exfxxa定义域为R e1xfx，令()0fx，则0 x，令 0fx，则0 x，f x递减区间为,0，递增区间为0,，01f xfa 极小值，无极大值；（2）由（1）知x 时，f x ；x 时，f x ，要使 f x有两个不同零点12,x x，则 010fa 即1a，不妨设120 xx，证明：令 ee2,(0)xxg xf xfxx x，则 ee2xxgxfxfx，由于ee2xx，(0)x，故 0gx，g x在0,递增，而20 x，200g xg，220f xfx即22fxfx，120f xf x，12fxfx，12,0 xx 且 f x在,0递减，12xx，即120 xx；证明：令 2 2e1xF xxx x，下面先证明 2F x，2 21 2e1xFxx，令2 2()1 2e1xh xx，学科网（北京）股份有限公司1x，2 244 e0 xh xx，Fx在1,递增，10FxF，F x在1,递增，12F xF，即2 2e2xxx在1x 总成立，222e0 xf xxa，22exax，又22222 22 2e222 1e22eee2xa xxxfaxaxa，2e1x，由 2F x 知2222 2eeee2xxx，则212 10faxf x，又1a，22 10ax且10 x 及 f x在,0递减，212 1 axx，即122 1xxa.