福建省龙岩第一中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司龙岩一中龙岩一中 2024 届高三上学期第三次月考届高三上学期第三次月考数数 学学 试试 题题一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合220Ax xx，lnBx yx，则AB（）A.0,1B.0,2C.0,1D.0,22.已知复数12iz，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知cos224sin4，则sin2（）A.1516B.1516C.34D.344.已知等差数列 na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为（）A.10B.11C.12D.135.已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于A.4B.3C.2D.6.已知n为平面的一个法向量，l为一条直线，则“ln”是“/l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知抛物线C：24yx（0y）焦点为F，点A 为抛物线上一点，5AF，若2FBBA ，则点B的纵坐标是（）A.43B.83C.163D.3238.如图，已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C分别在第一二象限交于,A B两点，2ABF内切圆半径为r，若1BFra，则C的离心率为（）.的第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.102B.2 53C.304D.855二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知0,0ab，直线12:(2)10,:20lxaylbxy，且12ll，则（）A.01abB.2abC.222abD.23bab10.如图，在棱长为 4正方体1111ABCDABC D中，E，F，G 分别为棱AD，AB，BC的中点，点 P为线段1D F上的动点，则（）A.两条异面直线1DC和1BC所成的角为45B.存在点 P，使得1/C G平面 BEPC.对任意点 P，平面1FCC 平面 BEPD.点1B到直线1D F的距离为 411.电子通讯和互联网中，信号的传输处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数 sinsin3sin5sin1313513xxxxf x 的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（）A.f x为周期函数，且最小正周期为的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司B.f x为奇函数C.yf x的图象关于直线2x对称D.f x的导函数 fx的最大值为 712.已知函数 1e1xf xx，数列 na满足函数 f x的图像在点,nnafa处的切线与 x 轴交于点1e1,0,nana且11,0naa，则下列结论正确的是（）A.1ee1nnaanaB.01naC.20222023aaD.123112nnaaaa 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题13.已知4,2a，1,1b，则a在b方向上的投影向量的坐标为_14.已知函数 3f xxx有 2 个极值点1x，2x，则1212xxf xf x_15.已知定义在R上函数 f x在0,上单调递增，且函数 1f x 为奇函数，则3412fxfx的解集为_.16.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字若数列 na是以黄金分割数为公比的等比数列，且202420252023aa，则2023a_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，且cos3 sincAcAab.（1）求角C；（2）若ABC的中线CD长为2 3，求ABC面积的最大值.18.已知nS为等比数列 na的前 n 项和，若24a，32a，4a成等差数列，且4282Sa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若122nnnnabaa，且数列 nb的前 n 项和为nT，证明：11124nT.19.如图，平面ABCD平面 ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，的的第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司4ABBC，设平面 ABE 与平面CDE的交线为l.（1）证明：/l平面ABCD；（2）当l与半圆弧AB相切时，求平面ADE与平面CDE的夹角的余弦值.20.已知函数 lnf xaxx（1）求函数 f x的极值；（2）证明：当01a时，0,x，使得 23ln2f xaa21.已知椭圆2222:10 xyEabab离心率为22，焦距为2 2.（1）求E的方程；（2）过点1,0T分别作斜率和为1的两条直线1l与2l，设1l交E于A、B两点，2l交E于C、D两点，AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN过定点.22.设抛物线 C：22yx的焦点为 F，P 是抛物线外一点，直线 PA，PB 与抛物线 C 切于 A，B 两点，过点 P 的直线交抛物线 C 于 D，E 两点，直线 AB 与 DE 交于点 Q.（1）若 AB 过焦点 F，且4FA FB，求直线 AB 的倾斜角；（2）求PQPQPDPE的值.第 1 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司龙岩一中龙岩一中 2024 届高三上学期第三次月考届高三上学期第三次月考数数 学学 试试 题题一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合220Ax xx，lnBx yx，则AB（）A.0,1B.0,2C.0,1D.0,2【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合A，求函数的定义域求得集合B，由此求得AB.【详解】由22210 xxxx，解得12x，所以1,2A .由lnyx得0 x，所以0,B，所以0,2AB.故选：D2.已知复数12iz，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法公式对复数化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因为12221222555ziiiiii，所以21i55z 则z在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D.3.已知cos224sin4，则sin2（）A.1516B.1516C.34D.34【答案】A【解析】第 2 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得sin2.【详解】因为22cos2cossin22 cossin42sinsincos42，即1cossin4，两边平方可得221cos2sin cossin1 sin216，解得15sin216.故选：A4.已知等差数列 na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质得出10110,0aa即可求解.【详解】等差数列 na，10121120aaa，110a，10110aa，100a，则nS取最大值时，10n.故选：A.5.已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于A.4B.3C.2D.【答案】A【解析】【详解】球心 O 为的中点，所以球的半径为112SC，所以4S球,故选 A.6.已知n为平面的一个法向量，l为一条直线，则“ln”是“/l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】第 3 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司将“ln”与“/l”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】当“ln”时，由于l可能在平面内，所以无法推出“/l”.当“/l”时，“ln”.综上所述，“ln”是“/l”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.7.已知抛物线C：24yx（0y）的焦点为F，点A 为抛物线上一点，5AF，若2FBBA ，则点B的纵坐标是（）A.43B.83C.163D.323【答案】A【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得A 的坐标，再由2FBBA ，列出方程，即可得到结果.【详解】因为5AF，由抛物线的焦半径公式可得2ApAFx，即4Ax，且0y 所以4,4A，设00,B xy，则00001,4,4FBxyFAxy ，又2FBBA ，则000021424xxyy，解得00243xy，所以点B的纵坐标是43.故选：A8.如图，已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C分别在第一二象限交于,A B两点，2ABF内切圆半径为r，若1BFra，则C的离心率为（）的第 4 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司A.102B.2 53C.304D.855【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【详解】设ABx，内切圆圆心为I，内切圆在22,BF AF AB上的切点分别为,U V W，则22,BUBWAVAWFUFV，由1BFa及双曲线的定义可知，22222213,2BFa AFxa FUFVBFAFABar，故四边形2IUFV是正方形，得22AFBF，于是22222|BFAFAB，故2229()xaxa，所以5xa，于是1223coscos 5FBFABF，在12FBF中，由余弦定理可得222212121212682cos5FFBFBFBFBFFBFa，从而226845ca，所以855cea.第 5 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司故选：D.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知0,0ab，直线12:(2)10,:20lxaylbxy，且12ll，则（）A.01abB.2abC.222abD.23bab【答案】ABD【解析】【分析】利用12ll，找到2ab，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2llbaab ，且0,0ab，所以2012abab，当且仅当ab时等号成立，故 A 正确；2()22()4abababab，当且仅当ab时等号成立，2ab，故 B 正确；222222(2)2442(1)22abaaaaa，故 C 错误；21213bbabbab aabababa b ，当且仅当baab，即1ab时等号成立，故 D 正确故选：ABD.10.如图，在棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，E，F，G 分别为棱AD，AB，BC的中点，点 P为线段1D F上的动点，则（）A.两条异面直线1DC和1BC所成的角为45B.存在点 P，使得1/C G平面 BEPC.对任意点 P，平面1FCC 平面 BEP第 6 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司D.点1B到直线1D F的距离为 4【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断 A，根据线面平行的判定定理可判断 B，根据线面垂直的判定定理可得BE 平面1FCC，然后根据线线垂直的判定定理可判断 C，利用余弦定理结合条件可判断 D.【详解】对于 A，由正方体的性质可知11/BCAD，两条异面直线1DC和1BC所成的角即为160ADC，所以 A 错误；对于 B，当点 P 与点1D重合时，由题可知1111/,/,EGDC EGDC DCDC DCDC，所以1111/,EGDC EGDC，四边形11EGC D平行四边形，故11/C GD E，又1C G 平面 BEP，1D E 平面 BEP，则1/C G平面 BEP，所以 B 正确；对于 C，连结CF，由于1CC 平面ABCD，BE 平面ABCD，故1CCEB，为第 7 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司又,AEBF ABCBACBF，故BAECBF，故AEBCFB，即90EBACFB，故CFBE，又1,CF CC相交，1,CF CC 平面1FCC，故BE 平面1FCC，又BE 平面 BEP，故对任意点P，平面1FCC 平面 BEP，所以 C 正确；对于 D，由正方体的性质可得2221114 2,2446B DFD，221242 5B F，所以2222211111111164 22 52cos222 6 4 2B DFDB FB D FB D FD，所以1145B D F，所以点1B到直线1D F的距离11112sin4 242dB DB D F，所以 D 正确故选：BCD11.电子通讯和互联网中，信号的传输处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数 sinsin3sin5sin1313513xxxxf x 的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（）A.f x为周期函数，且最小正周期为B.f x为奇函数C.yf x的图象关于直线2x对称D.f x的导函数 fx的最大值为 7【答案】BCD【解析】【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.第 8 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司【详解】sinsin3sin5sin1313513xxxxf x.对于 A，sinsin3sin5sin1313513xxxxf xf x，不是 f x的周期，故 A 错误；对于 B，f x的定义域为 sinsin3sin5sin13,13513xxxxfxf x R，()fx为奇函数，故 B 正确；对于 C，f xf x，且 f x为奇函数，,f xfxf x的图象关于直线2x对称，故 C 正确；对于 D，coscos3cos5cos13fxxxxx，当2xkkZ时，cos1(1,3nxn，5,13),fx 取最大值 7，故 D 正确.故选：BCD.12.已知函数 1e1xf xx，数列 na满足函数 f x的图像在点,nnafa处的切线与 x 轴交于点1e1,0,nana且11,0naa，则下列结论正确的是（）A.1ee1nnaanaB.01naC.20222023aaD.123112nnaaaa【答案】ABD【解析】【分析】利用导数求函数 f x的图像在点,nnafa处的切线方程，令0y，判断 A；推导出1e10nana，证明1eennaa，推导出 f x在区间0,上单调递减，从而数列 na单调递减，判断B，C；2311111122222nn，证明123112nnaaaa，证明222ee2lnennnaaana，令2enax，11ln(1e)2g xxxxx，利用导数性质推导出 g x在区间1,e上单调递减，判断 D【详解】1e1xf xx，1e1nannaaf，第 9 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司 exfxx，函数 f x的图像在点,nna fa处的切线斜率enanka，切线方程为 e1e1nnaannnyaxaa，令0y，解得e11nannxaa ，1e1ennaana，1ee1nnaana，故选项 A 正确；设 e1xxx，则 e1xx，0 x 时 0 x，0 x 时 0 x，x,0上单调递减，在0,上单调递增，min00 x，所以 e10 xxx，即e1xx，则有1ee111nnaannnaaa ，即1e10nana，当0na 时，有1e10na，即10na，由11,0naa，0na，下证数列 na单调递减，即证1eennaa，即证e1ennaana，即证e1ennaana，即证1e10nana，即证0nf a，exfxx，当0 x 时 0fx，f x在区间0,上单调递减，0na，00nf af，1nnaa，数列 na单调递减，101naa，且20222023aa，故选项 B 正确，选项 C 错误；2311111122222nn，要证123112nnaaaa，可证12nna，由11a，只需证112nnaa，即证12eennaannaa，即证2e1ennaana，即证222ee2lnennnaaana，令2enax，01na，1ex，则即证11ln(1e)2xxxx，令 11ln(1e)2g xxxxx，则 2222121022xxxgxxx，g x在区间1,e上单调递减，10g xg，有11ln(1e)2xxxx，故选项 D 正确在第 10 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司故选：ABD【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题13.已知4,2a，1,1b，则a在b方向上的投影向量的坐标为_【答案】3,3【解析】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为4,2a，1,1b，所以a向量在b方向的投影向量为421,13,322a bbbb.故答案为：3,314.已知函数 3f xxx有 2 个极值点1x，2x，则1212xxf xf x_【答案】0【解析】【分析】由 2310fxx 得120 xx，然后根据函数解析式结合条件即得.【详解】因为函数 3f xxx有两个极值点1x与2x由 2310fxx，则2310 x 的两根为1x与2x，所以120 xx，即21xx，由 3f xxx，可得 33fxxxxxf x ，所以1212xxf xf x 110f xfx.故答案为：0.15.已知定义在R上的函数 f x在0,上单调递增，且函数 1f x 为奇函数，则3412fxfx的解集为_.第 11 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司【答案】52x x【解析】【分析】先判断出 f x在,单调递增，利用单调性解不等式.【详解】函数 1f x 为奇函数，函数 f x关于0,1中心对称.则112fxfx 又 f x在0,上单调递增，()fx在,单调递增，从而3412fxfx可化为：(34)fx211fxf x，341xx，525,2xx 原不等式的解集为52x x.故答案为：52x x.16.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字若数列 na是以黄金分割数为公比的等比数列，且202420252023aa，则2023a_【答案】2023【解析】【分析】先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可.【详解】由题意，设整体为 1，较大部分为x，则较小部分为1 x，则11xxx，即210 xx，解得512x（512x舍去），故黄金分割数为512令512q，则210qq，即210naqq，所以210nnnaaa，故2023202420252023aaa故答案为：2023第 12 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，且cos3 sincAcAab.（1）求角C；（2）若ABC中线CD长为2 3，求ABC面积的最大值.【答案】（1）3C （2）4 3【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；（2）利用平面向量知12CDCACB ，利用数量积与模关系及基本不等式可得16ab，再根据面积公式求最值即可.【小问 1 详解】在ABC中，由正弦定理得：sin cos3sin sinsinsinCACAAB，而sinsinBACBAC，所以sin cos3sin sinsinsinCACAAAC，化简得3sin sinsinsin cosCAAAC，因为0,A，所以sin0A，3sin1 cosCC，即3sincos1CC，所以1sin62C，又因为 5,666C，所以66C，即3C.【小问 2 详解】由CD是ABC的中线，12CDCACB ，所以2221|24CDCACBCA CB ，即221124abab，所以22483ababab，所以16ab，当且仅当ab时，等号成立，的第 13 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以三角形面积13sin4 324SabCab，即ABC的面积的最大值为4 3.18.已知nS为等比数列 na的前 n 项和，若24a，32a，4a成等差数列，且4282Sa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若122nnnnabaa，且数列 nb的前 n 项和为nT，证明：11124nT.【答案】（1）2,Nnnan （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出nb，然后运用裂项相消法求出nT可得结论.【小问 1 详解】设数列 na的公比为 q，由24a，32a，4a成等差数列可得24344aaa，故244qq，解得2q=，由4282Sa可得4111 21621 2aa，解得12a，故2nna，即数列 na的通项公式为2,Nnnan.【小问 2 详解】由（1）可得1112112222222222nnnnnnnnnabaa，故1111111111114661010182222422nnnnT.当1n 时，1122n取得最大值16，当n 时，11022n1110226n，故11124nT.第 14 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司19.如图，平面ABCD平面 ABE，点E为半圆弧AB上异于A，B的点，在矩形ABCD中，4ABBC，设平面 ABE 与平面CDE的交线为l.（1）证明：/l平面ABCD；（2）当l与半圆弧AB相切时，求平面ADE与平面CDE的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1010【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理得lCD，再由线面平行的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求两个平面夹角的余弦值.【小问 1 详解】证明：四边形ABCD为矩形，ABCD，AB平面 ABE，CD 平面 ABE，CD平面 ABE又CD 平面CDE，平面ABE平面CDEl，lCD，CD 平面ABCD，l不在平面ABCD内，/l平面ABCD.【小问 2 详解】取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则OFAB，平面ABCD平面 ABE，且交线为AB，OF 平面ABCD，OF 平面 ABE，又OE 平面 ABE，OFOE，当l与半圆弧AB相切时，OEl，即OEAB，以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC，易得0,2,0A，0,2,1C，0,2,1D，2,0,0E，则2,2,1DE，0,0,1AD，0,4,0DC，设111,mx y z为平面DAE的一个法向量，第 15 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司则00AD mDE m，即11110220zxyz，1110zxy，令11x，则1,1,0m 设222,nxyz为平面DCE的一个法向量，则00DC nDE n，即222240220yxyz，所以22202yxz，令21x，则1,0,2n 110cos,1025m nm nm n ，所以两平面的夹角的余弦值为1010.20.已知函数 lnf xaxx（1）求函数 f x的极值；（2）证明：当01a时，0,x，使得 23ln2f xaa【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.【小问 1 详解】易知0 x，11axfxaxx,当0a 时，0fx，函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，10,xa时，0fx，f x单调递减，第 16 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司1,xa时，()0fx，f x单调递增，综上，当0a 时，函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增；【小问 2 详解】由（1）可知，当01a时，f x在1xa处取得最小值1 lna，若0,x，使得 23ln2f xaa，只需231 lnln20aaa，令 231lnln2g aaaa，由 211123aagaaaa，可得，当10,2a时，0ga，g a单调递增，当1,12a时，0ga，g a单调递减，故当12a 时，max113111 lnln2024224g ag ，所以，0,x，使得 23ln2f xaa21.已知椭圆2222:10 xyEabab离心率为22，焦距为2 2.（1）求E的方程；（2）过点1,0T分别作斜率和为1的两条直线1l与2l，设1l交E于A、B两点，2l交E于C、D两点，AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN过定点.【答案】（1）22142xy （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E的方程；（2）设直线AB的方程为11ykx，直线CD的方程为21ykx，则121kk，将直线AB的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，可求得点M的坐标，同理可得出点N的坐标，求出直线MN的的第 17 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司方程，并化简直线MN的方程，即可得出直线MN所过定点的坐标.【小问 1 详解】解：由已知条件可得22222 222abcccea，解得：22abc.所以，椭圆E的方程为22142xy.【小问 2 详解】解：设直线AB的方程为11ykx，直线CD的方程为21ykx，则121kk.联立12222221111214240142ykxkxk xkxy，因为点1,0T在椭圆E内，则直线1l、2l与椭圆E均相交，设点11,A x y、22,B xy，所以，211221421kxxk，则112111211221211221kyykxkxkxxk，所以，线段AB的中点为21122112,21 21kkMkk.同理可得，线段CD的中点为22222222,21 21kkNkk所以直线MN斜率为第 18 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司221211222122221212212112222222222112212121212222211222212121212112242422221212121k kkk kkkkkkk kkkkkkk kkkk kkk kkkkkkkkkk.所以直线MN方程为：221111121212222211112211122121221212kkkkyk kxk kxk kkkkk211112121221121112212kkkk kxk kxk kk，所以，直线MN的方程可化为121102k kxxy，由10102xxy 可得112xy，因此直线MN恒过定点11,2.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程00yyk xx或截距式ykxb来证明.22.设抛物线 C：22yx的焦点为 F，P 是抛物线外一点，直线 PA，PB 与抛物线 C 切于 A，B 两点，过点 P 的直线交抛物线 C 于 D，E 两点，直线 AB 与 DE 交于点 Q.（1）若 AB 过焦点 F，且4FA FB，求直线 AB 的倾斜角；（2）求PQPQPDPE的值.【答案】（1）6或56 （2）2【解析】【分析】（1）设 AB 直线的方程，再和抛物线联立，运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线 AB 的倾斜角；（2）设过 A 点且与抛物线 C 相切的直线方程为11yyk xx，与抛物线联立由0求出直线 PA 的第 19 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司方程，同理可得直线 PB 方程，即可求出直线 AB 的方程，与抛物线联立求出Qy，设直线 PD 的方程为00 xxm yy与抛物线联立由韦达定理表示出DEyy，DEy y，代入PQPQPDPE化简即可得出答案.【小问 1 详解】设00,P xy，11,A x y，22,B xy，1,02F，因为直线 AB 的斜率不为 0，所以设 AB 直线的方程为12xty，联立方程2122xtyyx，消去 y，得221204xxt x，所以21221xxt，1214xx，所以121122FA FBxx21212111424x xxxt，3t ，所以直线的倾斜角为6或56.【小问 2 详解】设过 A 点且与抛物线 C 相切的直线方程为11yyk xx，（k 存在，A 不为原点），联立方程1122yyk xxyx，消去 x 得，21102kyyykx，111 402kykx ，即2111 4022ykyk，所以11ky，即11ky，所以直线 PA 的方程为1111yyxxy，即11yyxx，同理可得，直线 PB 方程为：22yyxx，因为点00,P xy在直线 PA，PB 上，所以0101y yxx，0202y yxx，所以直线 AB 的方程为：00yyxx 第 20 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司设直线 PD 的方程为00 xxm yy，联立方程0022xxm yyyx，消去 x，得2002220ymymyx，得2DEyym，0022DEy ymyx，联立方程0000 xxm yyyyxx，消去 x，得0002Qxmyyym，由于点 P 在抛物线的外部，点 Q 在抛物线的内部，所以0000QQDEyyyyyPQPQPyDPyyE00000002200000022222222QDEDEDExmyymyyyyyyymy yyyyymyxmyy.【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题，此类问题一般有两个处理方法：（1）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而可解决定值问题；（2）设出抛物线上动点的坐标（注意用纵坐标表示横坐标或用横坐标表示纵坐标），把题设条件转化为关于坐标的关系，从而可解决定值问题.公众号：高中试卷君