2024届山东省潍坊市昌乐第一中学高三上学期模拟预测数学试题含答案.pdf
第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司高三数学试题高三数学试题一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数12,z z在复平面内对应的点分别为121,1,0,1zz，则12zz的虚部为（）A.1B.iC.iD.12.“sincos”是“4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若正数,a b满足3abab，则ab的取值范围是（）A 6,)B.9,)C.0,6D.0,94.具有线性相关关系的变量,x y的一组数据如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为ybxa$，则回归直线经过（）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限5.已知点2,4M在抛物线 C:22ypx(0p)上,点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是A.4B.3C.2D.16.在ABC中，2ABACAD，20AEDE，若EBxAByAC ，则（）A.2yxB.2yx C.2xyD.2xy 7.已知奇函数()f x是R上增函数，()()g xxf x，则（）A.233231(log)(2)(2)4gggB 233231(log)(2)(2)4ggg.2024届山东省潍坊市昌乐第一中学高三上学期模拟预测数学试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司C.233231(2)(2)(log)4gggD.233231(2)(2)(log)4ggg8.已知双曲线 C:22221xyab,(0a,0b)的左右焦点分别为1F,2F,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PFPFm,(0m),212PF PFm ,则双曲线 C 的渐近线方程为A.12yx B.22yx C.yx D.2yx 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的分，有选错的 0 分分9.（多选题）下列命题中的真命题是（）A.1R,20 xx B.2N,10 xx C.00R,lg1xxD.00R,tan2xx10.将函数 sin2f xx的图象向右平移4个单位后得到函数 g x的图象，则函数 g x具有性质（）A.在0,4上单调递增，为偶函数B.最大值为1，图象关于直线32x 对称C.在3,88上单调递增，为奇函数D.周期为，图象关于点3,04对称11.已知mn、为两条不重合直线,、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A.若/,/mn且/,则/mnB.若/,mn mn则/C.若/,/,mn nm，则/mD.若/,mn n，则/m12.设等比数列 na 的公比为q，其前n 项和为nS，前n 项积为nT，并满足条件11a ，的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司201920201aa，20192020101aa，下列结论正确的是（）A.20192020SS B.2019202010SS C.2020T 是数列 nT中的最大值 D.数列 nT无最大值三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知直线0 xya与圆22:2o xy相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为_；14.已知直线2yx与曲线ln()yxa相切，则a=15.2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t(单位：年)的衰变规律满足5730002(tNNN表示碳 14 原有的质量)，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到_年之间(参考数据：lg20.3，lg70.84，lg30.48)16.已知四面体ABCD中，5,8ABADBCDCBDAC，则四面体ABCD的体积为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且2228sin3abCbca,若10a,5c.(1)求cos A;(2)求ABC的面积 S.18.设数列 na前n项和为nS，已知111,21,NnnaSSn（1）证明：1nS 为等比数列，求出 na的通项公式；（2）若nnnba，求 nb的前n项和nT19.如图所示的多面体中，底面 ABCD 为矩形，BE 平面 ABCD，1CC 平面 ABCD，DF平面ABCD，1/AFEC，且 AB=4，BC=2，13CC，BE=1的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（）求 BF 的长；（）求直线1CC与平面1AEC F成的角的正弦值20.2018 年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费 40 元，对于需要用药的每头猪收取药费 2 元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费 120 元，若需要用药的猪不超过 45 头，不另外收费，若需要用药的猪超过 45 头，超过部分每天收取药费 8 元.（1）设日收费为y（单位：元），每天需要用药的猪的数量为nN，试写出两种方案中y与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从 10 月 1 日起对甲养殖场提供技术服务，10 月 31 日该养殖场对其中一个猪舍 9 月份和 10 月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22列联表.9 月份10 月份合计未发病4085125发病652085合计105105210第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd 20()p Kk0.0500.0100.0010k3.8416.63510 828（3）当地的丙养殖场对过去 100 天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.21.已知函数 ln0af xxaax（1）若曲线 yf x在点 1,1f处与x轴相切，求a的值；（2）求函数 f x在区间1,e上的零点个数22.给定椭圆2222:10 xyCabab，称圆心在原点O、半径为22ab的圆是椭圆C的“卫星圆”，若椭圆C的离心率为22，点2,2在C上.（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线1l、2l使得12ll，与椭圆C都只有一个交点，且1l、2l分别交其“卫星圆”于点M、N，证明：弦长MN为定值.第 1 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司高三数学试题高三数学试题一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数12,z z在复平面内对应的点分别为121,1,0,1zz，则12zz的虚部为（）A.1B.iC.iD.1【答案】D【解析】【分析】求出复平面内12,z z的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案【详解】由题意得11 iz ，2iz，所以121 i i1 i1 iiiizz，故 D 正确.故选：D.2.“sincos”是“4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据sincos求出的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由sincos得tan1，4kkZ，因此，“sincos”是“4”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题3.若正数,a b满足3abab，则ab的取值范围是（）A.6,)B.9,)C.0,6D.0,9【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.第 2 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知,a b为正数，且3abab，所以232ababab，化简得24120abab，解得6ab，当且仅当3ab时取等号，所以6,ab，故 A 正确.故选：A.4.具有线性相关关系的变量,x y的一组数据如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其线性回归直线方程为ybxa$，则回归直线经过（）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限【答案】D【解析】【分析】根据 x，y 呈正相关，得到0b，再由样本中心在第四象限判断.【详解】解：由图表中的数据知：x，y 呈正相关，所以0b，又110 1231.5,54.54.23.54.344xy ，则样本中心为1.5,4.3，在第四象限，所以回归直线经过第一、三、四象限，故选：D5.已知点2,4M在抛物线 C:22ypx(0p)上,点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】将点2,4M的坐标代入抛物线方程，求出4p，即得焦点(2,0)F，利用抛物线的定义，即可求出【详解】由点2,4M在抛物线22ypx上，可得164p，解得4p，第 3 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司即抛物线2:8C yx，焦点坐标(2,0)F，准线方程为2x 所以，点M到抛物线C焦点的距离为：224 故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题6.在ABC中，2ABACAD，20AEDE，若 EBxAByAC ，则（）A.2yxB.2yx C.2xyD.2xy【答案】D【解析】【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D为BC的中点，点E为AD上靠近D的三等分点，111121326233EBEDDBADCBABACABACABAC ，21,233xyxy 故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题7.已知奇函数()f x是R上增函数，()()g xxf x，则（）A.233231(log)(2)(2)4gggB.233231(log)(2)(2)4gggC.233231(2)(2)(log)4ggg第 4 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司D.233231(2)(2)(log)4ggg【答案】B【解析】【分析】先利用定义判断出()g x为偶函数，0 x 时单调递增，0 x 时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函数值越大，即可比较大小【详解】解：由奇函数()f x是R上增函数可得，当0 x 时，()0f x，又()()g xxf x，则()()()()gxxfxxf xg x，即()g x为偶函数，且当0 x 时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0 x 时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331(log)(log 4)4gg，2331(2)()4gg，322(2)()4gg，而3log 41，23322012，即3log 4332222，所以233231(log)(2)(2)4ggg故选：B【点评】本题考查了指数式、对数式比较大小，考查了函数的奇偶性和单调性综合应用，属于中档题.8.已知双曲线 C:22221xyab,(0a,0b)的左右焦点分别为1F,2F,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PFPFm,(0m),212PF PFm ,则双曲线 C 的渐近线方程为A.12yx B.22yx C.yx D.2yx【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义求出2ma，由向量的数量积，可求出12FPF，利用余弦定理可得,a c的关系式，结合222cab，即可求出【详解】因为122PFPFa，1222PFPFm可得2ma，由212PF PFm 可得21242 cos4aaFPFa，所以1260FPF，第 5 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司即有2222144162 42122caaaaa，即22223caba，所以2ba，所以双曲线的渐近线方程为：2yx 故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的分，有选错的 0 分分9.（多选题）下列命题中的真命题是（）A.1R,20 xx B.2N,10 xx C.00R,lg1xxD.00R,tan2xx【答案】ACD【解析】【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为0,，所以1R,20 xx，A 选项正确；当1x 时，210 x，所以2N,10 xx 是假命题，B 选项错误；当01x 时，0lg01x，所以00R,lg1xx，C 选项正确；函数tanyx值域为 R，所以00R,tan2xx，D 选项正确.故选：ACD.10.将函数 sin2f xx的图象向右平移4个单位后得到函数 g x的图象，则函数 g x具有性质（）A.在0,4上单调递增，为偶函数B.最大值为1，图象关于直线32x 对称C.在3,88上单调递增，为奇函数D.周期为，图象关于点3,04对称【答案】ABD【解析】第 6 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【分析】化简得到 cos2g xx，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】由题意可得 sin2sin 2cos242g xxxx，对 A、C：因为0,4x，所以20,2x，所以 cos2g xx 单调递增，且 cos2cos2gxxxg x ，得 g x为偶函数，故 A 正确，C 错误；对 B：由 cos2g xx 得其最大值为1，当32x 时，3cos312g，为最大值，所以32x 为对称轴，故 B 正确；对 D：周期22T，333cos 2cos0442g ，所以图像关于点3,04对称，故 D正确.故选：ABD.11.已知mn、为两条不重合的直线,、为两个不重合的平面,则下列说法正确的是A.若/,/mn且/,则/mnB.若/,mn mn则/C.若/,/,mn nm，则/mD.若/,mn n，则/m【答案】BC【解析】【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若/,/mn且/,则可以/mn，,m n异面，或,m n相交，故A 错误；B.若/,mn m则n，又,n故/，B正确；C.若/,mn n则m或m，又/,m，故/m，C正确；D.若/,mn n则m，则/m或m，D错误；第 7 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.12.设等比数列 na 的公比为q，其前n 项和为nS，前n 项积为nT，并满足条件11a ，201920201aa，20192020101aa，下列结论正确的是（）A.20192020SS B.2019202010SS C.2020T 是数列 nT中的最大值 D.数列 nT无最大值【答案】A【解析】【分析】根据11a ，201920201aa，20192020101aa，可判断数列 na 的01q，进而可知数列 na是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.【详解】根据题意，等比数列 na中，201920201aa，则有20192020201920191aaaaq=，有0q，又由2019202011aa0，即20192020110aa-，必有202020191aa，01q 由此分析选项：对于 A，2020201920200SSa，故20192020SS，A 正确；对于 B，等比数列 na中，11a，01q，则202120191SS，则201920211SS，即2019202110SS ，B 错误；对于 C，202020191aa，则2019T 是数列 nT 中的最大项，C 错误；对于 D，由 C 的结论，D 错误；故选：A.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知直线0 xya与圆22:2o xy相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为_；【答案】2【解析】【分析】第 8 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O到直线0 xya的距离,再用公式求解即可.【详解】由题,因为AOB为等腰直角三角形,故22ABOA,故圆心O到直线0 xya的距离22212d.即221211aa .故答案为：2【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.14.已知直线2yx与曲线ln()yxa相切，则a=【答案】3【解析】【分析】设切点为（x0，y0），求出函数 yln（x+a）的导数为 y1xa，得 k切01xa1，并且 y0 x0+2，y0ln（x0+a），进而求出a【详解】设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为 yln（x+a），所以 y1xa所以 k切01xa1，并且 y0 x0+2，y0ln（x0+a），解得：y00，x02，a3故答案3【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15.2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t(单位：年)的衰变规律满足5730002(tNNN表示碳 14 原有的质量)，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的37至1,2据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到_年之间(参考数据：lg20.3，lg70.84，lg30.48)【答案】.12 .6876【解析】【分析】为第 9 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司把5730t 代入573002tNN，即可求出；再令35730 72t，两边同时取以 2 为底的对数，即可求出t的范围【详解】573002tNN，当5730t 时，100122NNN，经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的12，由题意可知：5730327t，两边同时取以 2 为底的对数得：5730223log 2log7t，3lglg3lg771.25730lg2lg2t，6876t，推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 6876 年之间故答案为：12；6876【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由5730327t，两边同时取以 2 为底的对数得：5730223log 2log7t，3lglg3lg775730lg2lg2t，属于中档题.16.已知四面体ABCD中，5,8ABADBCDCBDAC，则四面体ABCD的体积为_【答案】10 113【解析】【分析】取BD中点O，AC中点E，连结,AO CO OE，计算出2 11AOCS后可得B AOCV，所求四面体的体积为它的 2 倍.【详解】取BD中点O，AC中点E，连结,AO CO OE，四面体ABCD中，5,8ABADBCDCBDAC，AOBD，COBD，255 32542AOCO，第 10 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司AOCOO，BD平面AOC，又OEAC，1758162 1124AOCS，1510 11222 11323A BCDB AOCVV，故答案为10 113【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.有时还需把复杂几何体分割成若干简单几何体便于体积的计算或体积的找寻，这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且2228sin3abCbca,若10a,5c.(1)求cos A;(2)求ABC的面积 S.【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】【分析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin3cosAA，再结合平方关系即可求出cos A；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cosabcbcA，即可求出边b，再根据三第 11 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司角形面积公式1sin2SbcA即可求出【详解】(1)由题意得22238sin22bcaabCbcbc由余弦定理得:4 sin3cosaCAc由正弦定理得4sin3cosAA所以3tan4A，ABC中，4cos5A(2)由余弦定理2222cosabcbcA得28150bb解得3b 或5b 3tan4A，3sin5A 由1sin2SbcA得152S 或92S【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题18.设数列 na的前n项和为nS，已知111,21,NnnaSSn（1）证明：1nS 为等比数列，求出 na的通项公式；（2）若nnnba，求 nb的前n项和nT【答案】（1）证明见解析，12nna （2）1242nnnT【解析】【分析】（1）根据121nnSS可推出1121nnSS，即得1121nnSS，即可证明1nS 为等比数列，由此可求得nS表达式，继而求得 na的通项公式；（2）由（1）的结果可得nnnba的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.【小问 1 详解】的第 12 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司121nnSS *1121,NnnSSn，1121nnSS，1nS 为等比数列；11a，故1nS 的首项为112S ，公比为 2，12nnS ，则21nnS，当2n 时，1121nnS，则112nnnnaSS，11a 也满足此式，12nna；【小问 2 详解】由（1）可得12nnnnnba，则01112222nnnT，故121122222nnnT，两式相减得：0111111112221222222212nnnnnnnnnT，故1242nnnT.19.如图所示的多面体中，底面 ABCD 为矩形，BE 平面 ABCD，1CC 平面 ABCD，DF平面ABCD，1/AFEC，且 AB=4，BC=2，13CC，BE=1（）求 BF 的长；（）求直线1CC与平面1AEC F成的角的正弦值第 13 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（）2 6；（）4 3333.【解析】【分析】（）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得F点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（）求出平面1AEC F的一个法向量，由直线1CC的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值【详解】（）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(2,4,0)B，(2,0,0)A，(0,4,0)C，(2,4,1)E，1(0,4,3)C，设(0,0,)Fz1AFEC，由1AFEC 得(2,0,)(2,0,2)z，解得2z，(0,0,2)F(2,4,2)BF ，于是|2 6BF ，即 BF 的长为2 6（）设1nu r为平面1AEC F的法向量，设1(,)nx y z，由1100nAEnAF ，得0402020 xyzxyz ，即40220yzxz，取1z，得114xy 第 14 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司又1(0,0,3)CC ，设1CC 与1nu r的夹角为，则111134 33cos33131116CC nCCn 所以，直线1CC 与平面1AEC F的夹角的正弦值为4 3333【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便20.2018 年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：方案一，公司每天收取养殖场技术服务费 40 元，对于需要用药的每头猪收取药费 2 元，不需要用药的不收费；方案二，公司每天收取养殖场技术服务费 120 元，若需要用药的猪不超过 45 头，不另外收费，若需要用药的猪超过 45 头，超过部分每天收取药费 8 元.（1）设日收费为y（单位：元），每天需要用药的猪的数量为nN，试写出两种方案中y与n 的函数关系式.（2）若该医药公司从 10 月 1 日起对甲养殖场提供技术服务，10 月 31 日该养殖场对其中一个猪舍 9 月份和 10 月份猪的发病数量进行了统计，得到如下22列联表.9 月份10 月份合计未发病4085125发病652085合计105105210第 15 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.附：22(),()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd 20()p Kk0.0500.0100.0010k3.8416 63510.828（3）当地的丙养殖场对过去 100 天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）有 99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.【解析】【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；（2）根据22列联表，代入公式计算2K，比较临界值得出结论即可；（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.【详解】（1）方案一，402,yn nN，方案二，120,45,8240,45,nnNynnnN（2）22210(40 2065 85)105 105 140.0210.82825 85K，所以有 99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）若采用方案一，则这 100 天的总费用为.第 16 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司40100+2(4220+4440+4620+4810+5010)=13000 元，若采用方案二，则这 100 天的总费用为120100+(46-45)208+(48-45)108+(50-45)108=12800 元，所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.21.已知函数 ln0af xxaax（1）若曲线 yf x在点 1,1f处与x轴相切，求a的值；（2）求函数 f x在区间1,e上的零点个数【答案】（1）1a （2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）由 0fx，求得xa，分类讨论xa与1,e的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数.【小问 1 详解】由题意得 ln0af xxaax定义域为(0,)，221axafxxxx，因为 yf x在点 1,1f处与 x 轴相切，且 10f所以 110fa，解得1a 经检验1a 符合题意【小问 2 详解】由（1）知 2xafxx，令 0fx，得xa，当xa时，0fx，当xa时，()0fx，（i）当01a时，1,ex，()0fx，函数 f x在区间1,e上单调递增所以 10f xf，所以函数 f x在区间1,e上无零点；（ii）当1ea时，若1xa，则 0fx，若eax，则()0fx函数 f x在区间1,a上单调递减，在区间,ea上单调递增第 17 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司且 10f，则(1)0f af，而 e1eafa 当 e10eafa，即e1e1a时，函数 f x在区间1,e上有一个零点；当 e10eafa 时，印当eee1a时，函数 f x在区间1,e上无零点；（iii）当ea 时，1,ex，0fx，函数 f x在区间1,e上单调递减所以 10f xf，所以函数 f x在区间1,e上无零点综上：当01a或ee 1a 时，函数 f x在区间1,e上无零点；当e1e1a时，函数 f x在区间1,e上有一个零点【点睛】方法点睛：求解函数 f x在区间1,e上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.22.给定椭圆2222:10 xyCabab，称圆心在原点O、半径为22ab的圆是椭圆C的“卫星圆”，若椭圆C的离心率为22，点2,2在C上.（1）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；（2）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线1l、2l使得12ll，与椭圆C都只有一个交点，且1l、2l分别交其“卫星圆”于点M、N，证明：弦长MN为定值.【答案】（1）22184xy，2212xy；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）本题可根据题意得出22cea以及22421ab，然后通过计算得出a、b的值以及椭圆方程，最后根据22rab即可求出卫星圆的方程；公众号：高中试卷君（2）本题可先讨论1l、2l中有一条无斜率的情况，通过求出1l与2l的方程即可求出MN的值，然后讨论1l、2l都有斜率的情况，设点00,P xy以及经过点P且与椭圆只有一个公共点的直线为00yt xxy，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线1l、2l垂直，判断出此时线段MN应为“卫星圆”的直径以及MN的值，最后综合两种情况即可得出结果.第 18 页/共 18 页学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为椭圆C的离心率为22，点2,2在C上，所以2222421ceaab，解得2 2a，2b，椭圆方程为22184xy，因为222 3rab=+=，圆心为原点O，所以卫星圆方程为2212xy.（2）当1l、2l中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，所以其方程为2 2x 或2 2x ，当1l方程为2 2x 时，此时1l与“卫星圆”交于点2 2,2和2 2,2，此时经过点2 2,2或2 2,2且与椭圆只有一个公共点的直线是2y 或=2y，即2l为2y 或=2y，此时12ll，线段MN应为“卫星圆”的直径，4 3MN，当1l、2l都有斜率时，设点00,P xy，其中220012xy，设经过点00,P xy与椭圆只有一个公共点的直线为00yt xxy，联立方程0022184yt xxyxy，消去y得到2220000124280txt ytxxytx，则()222000064 81632 80 xtx y tyD=-+-=，()220012220032 8 1232 8164 864 8xyt txx-=-，满足条件的两直线1l、2l垂直，此时线段MN应为“卫星圆”的直径，4 3MN，综合可知，MN为定值，4 3MN.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.的
