专题10 幂函数（5大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析.docx

专题10 幂函数（5大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题10 幂函数（5大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 幂函数的概念】【题型2 函数的定义域】【题型3 幂函数的值域】【题型4 幂函数的图像和性质】【题型5 幂函数的解析式、单调性、奇偶性及应用】【题型1 幂函数的概念】1若幂函数f（x）的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f（x）的解析式可能为（）Af（x）x2Bf（x）xCf（x）x1Df（x）x22下列函数中，y2x+1，yx3+x，是幂函数的个数是（）A1B2C3D43下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（）Ayx2Byx3CDy2x4若幂函数f（x）（2m217）xm2在（0，+）上单调递增，则m（）A3或3B3C4D4或45已知函数f（x）（a2a1）为幂函数，则实数a的值为（）A1或2B2或1C1D16若幂函数f（x）（m24m+4）xm2在（0，+）上单调递增，则m（）A3B1或3C4D4或6【题型2 函数的定义域】7写出一个定义域为0，+），且单调递增的幂函数：f（x） 8已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则的定义域为 9函数f（x）的定义域为 10已知幂函数f（x）x满足f （3），则该幂函数的定义域为 【题型3 幂函数的值域】11已知点（n，8）在幂函数f（x）（m2）xm的图象上，则函数f（x）在区间n，n+1上的值域为（）A8，27B2，3C4，9D8，2712若点（m，81）在幂函数f（x）（m2）xn的图象上，则函数的值域是（）ABCD2，313已知幂函数f（x）（m25m+7）xm1为偶函数，则m ，若，则g（x）的值域为 14求函数的值域【题型4 幂函数的图像和性质】15已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）ABCD16如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（）Am，n是奇数且Bm是偶数，n是奇数，且Cm是偶数，n是奇数，且Dm，n是奇数，且17如图是幂函数yx的部分图象，已知取，2，2，这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的依次为（）A2，2B2，2C，2，2，D2，2，18已知幂函数y1xa，y2xb，y3xc，y4xd在第一象限的图象如图所示，则（）AabcdBbcdaCdbcaDcbda19函数y的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）20已知幂函数（m，nZ），下列能成为“f（x）是R上的偶函数”的充分条件的是（）Am3，n1Bm1，n2Cm2，n3Dm1，n321已知幂函数f（x）（2m22m11）xm+1在（0，+）上单调递增，则m（）AB3C或D3或222若幂函数在区间（0，+）上单调递增，则m（）A1B3C1或3D1或323设，则a，b，c的大小顺序是（）AcabBcbaCacbDbca24下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）ABCy2x2D（多选）25已知函数f（x）xa的图象经过（，2），则（）Af（x）的图象经过点（2，4）Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）单调递减区间是（，0）（0，+）Df（x）在（0，+）内的值域为（0，+）26幂函数（mZ）的图象如图所示，则m的值为 27若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2a）f（a1）的实数a的取值范围是 28R，函数f（x）（x1）+3的图像恒过定点P，则点P的坐标为 29已知幂函数若f（a+1）f（32a），则实数a的取值范围是 30已知幂函数，若f（a1）f（82a），则a的取值范围是 31若幂函数是偶函数，则n【题型5 幂函数的解析式、单调性、奇偶性及应用】32已知幂函数f（x）（m23）xm在（0，+）上为单调减函数，则实数m的值为（）AB±2C2D233已知幂函数f（x）的图象经过点（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）2f（x），写出函数g（x）的单调区间和值域34已知幂函数yf（x）的图像经过点M（4，16）（1）求f（x）的解析式；（2）设，利用定义证明函数g（x）在区间1，+）上单调递增35已知幂函数f（x）（m25m+7）xm1为偶函数（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）f（x）ax3在1，3上不是单调函数，求实数a的取值范围36若幂函数f（x）（2m2+m2）x2m+1在其定义域上是增函数（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2a）f（a24），求a的取值范围37已知幂函数f（x）（mN*）的图象经过点（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）f（3）的实数a的取值范围38已知幂函数f（x）（k2k1）xk（kR），且在区间（0，+）内函数图象是上升的（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上的值域为a，b，求实数a，b的值39已知幂函数f（x）xa的图象经过点A（，）（1）求实数a的值；（2）用定义法证明f（x）在区间（0，+）内是减函数40已知幂函数（kZ）是偶函数，且在（0，+）上单调递增（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2x1）f（2x），求x的取值范围；（3）若实数a，b（a，bR+）满足2a+3b7m，求的最小值41已知幂函数f（x）（a23a+3）xa为偶函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f（x）+（2m1）x3在1，3上的最大值为2，求实数m的值42已知幂函数为奇函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（a+1）f（32a），求a的取值范围43已知幂函数f（x）（m23m+3）xm的图象关于y轴对称，集合Ax|1ax3a+1（1）求m的值；（2）当时，f（x）的值域为集合B，若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围44已知幂函数f（x）（2m22m3）xm（1）若f（x）的定义域为R，求f（x）的解析式；（2）若f（x）为奇函数，x1，2，使f（x）3x+k1成立，求实数k的取值范围专题10 幂函数（5大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 幂函数的概念】【题型2 函数的定义域】【题型3 幂函数的值域】【题型4 幂函数的图像和性质】【题型5 幂函数的解析式、单调性、奇偶性及应用】【题型1 幂函数的概念】1若幂函数f（x）的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f（x）的解析式可能为（）Af（x）x2Bf（x）xCf（x）x1Df（x）x2【答案】D【解答】解：由已知结合幂函数的性质可知，f（x）x2的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点故选：D2下列函数中，y2x+1，yx3+x，是幂函数的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，为常数，故，为幂函数，y2x+1，yx3+x均不为幂函数故选：B3下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（）Ayx2Byx3CDy2x【答案】B【解答】解：对于A，yx2是幂函数，定义域为R，在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，故A错误；对于B，yx3，定义域是R，且在R上单调递增，故B正确；对于C，不是幂函数，故C错误；对于D，y2x是指数函数，不是幂函数，故D错误故选：B4若幂函数f（x）（2m217）xm2在（0，+）上单调递增，则m（）A3或3B3C4D4或4【答案】B【解答】解：幂函数f（x）（2m217）xm2在（0，+）上单调递增，解得m3故选：B5已知函数f（x）（a2a1）为幂函数，则实数a的值为（）A1或2B2或1C1D1【答案】C【解答】解：因为f（x）（a2a1）为幂函数，所以，解得a1，故选：C6若幂函数f（x）（m24m+4）xm2在（0，+）上单调递增，则m（）A3B1或3C4D4或6【答案】A【解答】解：因为幂函数f（x）（m24m+4）xm2在（0，+）上单调递增，所以，解得m3故选：A【题型2 函数的定义域】7写出一个定义域为0，+），且单调递增的幂函数：f（x）（答案不唯一）【答案】（答案不唯一）【解答】解：f（x）满足定义域为0，+），且单调递增故答案为：（答案不唯一）8已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则的定义域为 （，）【答案】（，）【解答】解：设幂函数f（x）x，由于它的图象过点（4，2），42，f（x）故，12x0，x，故函数的定义域为（，），故答案为：（，）9函数f（x）的定义域为 （0，+）【答案】见试题解答内容【解答】解：y，使函数有意义只要满足x0即可，故函数y的定义域为：（0，+）；故答案为：（0，+）10已知幂函数f（x）x满足f （3），则该幂函数的定义域为（0，+）【答案】（0，+）【解答】解：因为幂函数f（x）x满足f （3），所以f （3）3，解得，所以f（x），该幂函数的定义域为（0，+）故答案为：（0，+）【题型3 幂函数的值域】11已知点（n，8）在幂函数f（x）（m2）xm的图象上，则函数f（x）在区间n，n+1上的值域为（）A8，27B2，3C4，9D8，27【答案】D【解答】解：因为函数f（x）（m2）xm的是幂函数，所以m21，解得m3；所以函数f（x）x3，又点（n，8）在函数f（x）x3的图象上，所以n38，解得n2，所以函数f（x）在区间2，3上是单调增函数，且f（2）8，f（3）27，所以f（x）的值域为8，27故选：D12若点（m，81）在幂函数f（x）（m2）xn的图象上，则函数的值域是（）ABCD2，3【答案】B【解答】解：由题意可知，解得，g（x）+，x3，4，g2（x）1+21+2，x3，4，x2+7x120，g2（x）1，2，又g（x）0，g（x）1，故选：B13已知幂函数f（x）（m25m+7）xm1为偶函数，则m3，若，则g（x）的值域为（0，1【答案】3；（0，1【解答】解：由函数f（x）是幂函数，则m25m+71，解得m2或m3，当m2时，f（x）x，函数f（x）是奇函数，不合题意，当m3时，f（x）x2，函数f（x）是偶函数，符合题意，故m3；故，由tx20，得h（t）在0，+）单调递减，故h（t）h（0）1，故h（t）的值域是（0，1，即g（x）的值域是（0，1，故答案为：3；（0，114求函数的值域【答案】见试题解答内容【解答】解：由于函数 yx，令t，则 xt2+1x2，t1故函数yt2+t1，在1，+）单调递减故当t1时，函数取得最大值为1，故函数的值域为（，1【题型4 幂函数的图像和性质】15已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）ABCD【答案】A【解答】解：设f（x）xa，由题意得f（16）16a，所以a，f（x），结合幂函数的性质可知，f（x）的定义域为（0，+），排除选项CD，因为f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项B故选：A16如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（）Am，n是奇数且Bm是偶数，n是奇数，且Cm是偶数，n是奇数，且Dm，n是奇数，且【答案】B【解答】解：由幂函数性质可知：与yx恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1），当0x1时，则，又图象关于y轴对称，为偶函数，又m，n互质，m为偶数，n为奇数故选：B17如图是幂函数yx的部分图象，已知取，2，2，这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的依次为（）A2，2B2，2C，2，2，D2，2，【答案】B【解答】解：在直线x1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，曲线C1，C2，C3，C4相应的依次为2，2故选：B18已知幂函数y1xa，y2xb，y3xc，y4xd在第一象限的图象如图所示，则（）AabcdBbcdaCdbcaDcbda【答案】B【解答】解：根据幂函数y1xa，y2xb，y3xc，y4xd在第一象限的图象知，bc1d0a，即bcda故选：B19函数y的单调递增区间是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）【答案】D【解答】解：设ux22x，在（，1）上为增函数，在（1，+）为减函数，因为函数y为减函数，所以f（x）的单调递增区间（1，+，），故选：D20已知幂函数（m，nZ），下列能成为“f（x）是R上的偶函数”的充分条件的是（）Am3，n1Bm1，n2Cm2，n3Dm1，n3【答案】C【解答】解：幂函数（m，nZ），对于A，当m3，n1时，因为函数的定义域（，0）（0，+），关于原点对称，且，为奇函数，不合题意，故A错误；对于B，当m1，n2时，函数的定义域0，+），不关于原点对称，为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；对于C，当m2，n3时，定义域为R，关于原点对称，且，为偶函数，能成为“f（x）是R上的偶函数”的充分条件的是m2，n3，故C正确；对于D，当m1，n3时，定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，不合题意，故D错误故选：C21已知幂函数f（x）（2m22m11）xm+1在（0，+）上单调递增，则m（）AB3C或D3或2【答案】B【解答】解：因为幂函数f（x）（2m22m11）xm+1，所以2m22m111，解得m2或m3，当m2时，f（x）x1在（0，+）上单调递减，不符合题意；当m3时，f（x）x4在（0，+）上单调递增，符合题意综上，m3故选：B22若幂函数在区间（0，+）上单调递增，则m（）A1B3C1或3D1或3【答案】A【解答】解：因为函数为幂函数，且在区间（0，+）上单调递增，所以m22m21且m24m+10，由m22m30，得m1或m3，当m1时，m24m+10，满足题意；当m3时，足m24m+10，不符合题意综上m1故选：A23设，则a，b，c的大小顺序是（）AcabBcbaCacbDbca【答案】A【解答】解：a1，b1，c1；且01，函数y在（0，+）上是单调增函数，所以，所以ca；综上知，cab故选：A24下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）ABCy2x2D【答案】A【解答】解：由幂函数的定义知，y2x2，yx+不是幂函数，CD错误，y为幂函数，定义域为x|x0，f（x），f（x）为奇函数，A正确，y为偶函数，B错误，故选：A（多选）25已知函数f（x）xa的图象经过（，2），则（）Af（x）的图象经过点（2，4）Bf（x）的图象关于原点对称Cf（x）单调递减区间是（，0）（0，+）Df（x）在（0，+）内的值域为（0，+）【答案】BD【解答】解：函数f（x）xa的图象经过（，2），21，f（x）xa，f（2），A错，定义域为x|x0，且为奇函数，B对，由于f（x）在（0，+）和（，0）上单调递减，故C错误；当x（0，+）时，f（x）（0，+），故f（x）在（0，+）内的值域为（0，+），故D正确，故选：BD26幂函数（mZ）的图象如图所示，则m的值为2或0【答案】2或0【解答】解：根据幂函数（mZ）的图象可得m2+2m3（m+3）（m1）0，且m2+2m3为奇数，求得m2，或m0，故答案为：2或027若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2a）f（a1）的实数a的取值范围是1，）【答案】见试题解答内容【解答】解：设幂函数yf（x）x，其图象过点（4，2），则42，解得；f（x），不等式f（2a）f（a1）为，解得1a；实数a的取值范围是1，）故答案为：1，）28R，函数f（x）（x1）+3的图像恒过定点P，则点P的坐标为 （2，4）【答案】（2，4）【解答】解：令x11，则x2，所以f（2）1+31+34，所以函数f（x）（x1）+3的图像恒过定点P（2，4）故答案为：（2，4）29已知幂函数若f（a+1）f（32a），则实数a的取值范围是 【答案】1，）【解答】解：幂函数f（x），且在0，+）是单调增函数，所以不等式f（a+1）f（32a），等价于，解得：1a；所以实数a的取值范围是1，）故答案为：1，）30已知幂函数，若f（a1）f（82a），则a的取值范围是 （3，4）【答案】（3，4）【解答】解：幂函数，则定义域为（0，+），且是递减函数，f（a1）f（82a），3a4，则实数a的取值范围为（3，4）故答案为：（3，4）31若幂函数是偶函数，则n2【答案】2【解答】解：幂函数是偶函数，n2+n11，且 n22n为偶数，则n2，故答案为：2【题型5 幂函数的解析式、单调性、奇偶性及应用】32已知幂函数f（x）（m23）xm在（0，+）上为单调减函数，则实数m的值为（）AB±2C2D2【答案】D【解答】解：f（x）是幂函数，所以m231，m±2，当m2时，在（0，+）上递减，符合题意，当m2时，f（x）x2，在（0，+）上递增，不符合题意，综上所述，m的值为2，D选项正确故选：D33已知幂函数f（x）的图象经过点（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）2f（x），写出函数g（x）的单调区间和值域【答案】（1）（2）递增区间为（，0），（0，+），无单调递减区间，值域为y|y0【解答】解：（1）幂函数f（x）的图象经过点，设f（x）xa，则，则a1，（2）因为，函数g（x）的单调递增区间为（，0），（0，+），无单调递减区间，值域为y|y034已知幂函数yf（x）的图像经过点M（4，16）（1）求f（x）的解析式；（2）设，利用定义证明函数g（x）在区间1，+）上单调递增【答案】（1）f（x）x2；（2）证明过程见解析【解答】解：（1）设f（x）x（为常数），幂函数yf（x）的图像经过点M（4，16），416，2，f（x）x2；证明：（2）g（x），x1，+），任取x1，x21，+），且x1x2，则g（x1）g（x2），x1，x21，+），且x1x2，x1x20，x1x20，x1x21，0，即g（x1）g（x2），函数g（x）在区间1，+）上单调递增35已知幂函数f（x）（m25m+7）xm1为偶函数（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）f（x）ax3在1，3上不是单调函数，求实数a的取值范围【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意m25m+71，解得：m2或3，若f（x）是偶函数，故f（x）x2；（2）g（x）f（x）ax3x2ax3，g（x）的对称轴是x，若g（x）在1，3上不是单调函数，则13，解得：2a636若幂函数f（x）（2m2+m2）x2m+1在其定义域上是增函数（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2a）f（a24），求a的取值范围【答案】（1）f（x）x3；（2）a的取值范围是（，3）（2，+）【解答】解：（1）由函数f（x）（2m2+m2）x2m+1是幂函数，所以2m2+m21，解得m1或m；当m1时，f（x）x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m时，f（x）x2，在定义域（，0）（0，+）上不是增函数，不满足题意；所以m1，f（x）x3（2）由f（x）x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f（2a）f（a24）等价于2aa24，化简得a2+a60，解得a3或a2，所以a的取值范围是（，3）（2，+）37已知幂函数f（x）（mN*）的图象经过点（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）f（3）的实数a的取值范围【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）幂函数f（x）的图象经过点，即m2+m2，解得：m1或m2，mN*，故m1，故f（x），x0，+）；（2）f（x）在0，+）递增，由f（1+a）f（3），得，解得：1a9，故a的范围是（1，938已知幂函数f（x）（k2k1）xk（kR），且在区间（0，+）内函数图象是上升的（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上的值域为a，b，求实数a，b的值【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）幂函数f（x）（k2k1）xk（kR），k2k11，解得k1或k2；又f（x）在区间（0，+）内函数图象是上升的，实数k2；（2）存在实数a，b，使得函数f（x）在区间a，b上的值域为a，b，即，又ab；a0，b139已知幂函数f（x）xa的图象经过点A（，）（1）求实数a的值；（2）用定义法证明f（x）在区间（0，+）内是减函数【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）f（x）x的图象经过点A（，），（），即2，解得；（2）任取x1，x2（0，+），且x1x2，则f（x2）f（x1）；x2x10，x1x20，且（+）0，f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1）；所以f（x）在区间（0，+）内是减函数40已知幂函数（kZ）是偶函数，且在（0，+）上单调递增（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2x1）f（2x），求x的取值范围；（3）若实数a，b（a，bR+）满足2a+3b7m，求的最小值【答案】（1）f（x）x2（2）1x1（3）2【解答】解：（1）幂函数（kZ）是偶函数，且在（0，+）上单调递增，m22m+21，且5k2k2 为正偶数，m1，k2，故f（x）x2（2）f（2x1）f（2x），|2x1|2x|，4x24x+1x24x+4，即3x23，求得1x1（3）若实数a，b（a，bR+）满足2a+3b7m7，2（a+1）+3（b+1）12，即 2（a+1）+3（b+1）1，则 2（a+1）+3（b+1）（+）（6+4+9+6）1+（4+9）1+×21+2，当且仅当 49时，即2a3b+1时，等号成立，故的最小值为241已知幂函数f（x）（a23a+3）xa为偶函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f（x）+（2m1）x3在1，3上的最大值为2，求实数m的值【答案】（1）f（x）x2（2）或【解答】解：（1）因为f（x）（a23a+3）xa为幂函数，所以a23a+31，解得a2或a1，因为f（x）为偶函数，所以a2，故f（x）的解析式f（x）x2（2）由（1）知g（x）x2+（2m1）x3，对称轴为，开口向上，当，即时，g（x）maxg（3）3+6m2，即；当，即时，g（x）maxg（1）12m2，即；综上所述：或42已知幂函数为奇函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（a+1）f（32a），求a的取值范围【答案】（1）f（x）x3；（2）a|a【解答】解：（1）由题意得m23m+31且为奇数，解得m1或m2，经检验m1符合题意，所以f（x）x3；（2）由（1）得f（x）在R上单调递增，由f（a+1）f（32a）得a+132a，解得a，故a的取值范围为a|a43已知幂函数f（x）（m23m+3）xm的图象关于y轴对称，集合Ax|1ax3a+1（1）求m的值；（2）当时，f（x）的值域为集合B，若xB是xA成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）m2；（2）1，+）【解答】解：（1）由幂函数f（x）（m23m+3）xm，可知m23m+31，解得m1或m2，当m1时，f（x）x的图象不关于y轴对称，舍去，当m2时，f（x）x2的图象关于y轴对称，满足条件，因此，m2（2）当x1，2时，f（x）的值域为，则集合，由题意知BA，得，解得a1，所以a的取值范围为1，+）44已知幂函数f（x）（2m22m3）xm（1）若f（x）的定义域为R，求f（x）的解析式；（2）若f（x）为奇函数，x1，2，使f（x）3x+k1成立，求实数k的取值范围【答案】（1）f（x）x2；（2）实数k的取值范围为（，1）【解答】解：f（x）（2m22m3）xm是幂函数，2m22m31，即m2m20，解得m2或m1；（1）f（x）的定义域为R，m2，故f（x）x2；（2）f（x）为奇函数，f（x）x1；x1，2，使f（x）3x+k1成立，即x1，2，使3xk1成立，（3x）maxk1，又y3x在1，2上是减函数，13k1，故k1；故实数k的取值范围为（，1）