高中数学讲义——等差等比数列综合问题.doc

微专题51 等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：等差数列等比数列递推公式通项公式等差（比）中项等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻项和成等差数列成等比数列2、等差数列与等比数列的互化：（1）若为等差数列，则成等比数列证明：设的公差为，则为一个常数所以成等比数列（2）若为正项等比数列，则成等差数列证明：设的公比为，则为常数所以成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）A. B. 或 C. D. 思路：由“成等差数列”可得：，再由等比数列定义可得：，所以等式变为：解得或，经检验均符合条件答案：B例2：已知是等差数列，且公差不为零，其前项和是，若成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 思路：从“成等比数列”入手可得：，整理后可得：，所以，则，且，所以符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用（或）进行表示，从而得到（或）的关系例3：已知等比数列中的各项均为正数，且，则_思路：由等比数列性质可得：，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，求和可用等差数列求和公式：答案： 例4：三个数成等比数列，其乘积为，如果第一个数与第三个数各减，则成等差数列，则这三个数为_思路：可设这三个数为，则有，解得，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为，所以有：，即，解得或者，时，这三个数为，当时，这三个数为 答案： 小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为（或），这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。例5：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，则有（ ）A. B. C. D. 或思路：抓住和的序数和与的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出发，因为，而为等比数列，联想到与有关，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等号不成立）所以即 答案：B小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。例6：数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（ ）A. B. C. D. 与的大小不确定思路：比较大小的式子为和的形式，所以以为入手点，可得，从而作差比较，由为正项等比数列可得：，所以答案：B小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。例7：设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）A. B. C. D. 思路：求和看通项，考虑，所以，所以答案：A例8：(2011,江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为的等差数列，则的最小值是_思路：可知等比数列为，等差数列为 ，依题意可得，若要最小，则要达到最小，所以在中，每一项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。所以，所以，验证当时， ，式为，满足题意。答案： 例9：已知等差数列的公差，前项和为，等比数列是公比为的正整数，前项和为，若，且是正整数，则等于（ ）A. B. C. D. 解：本题的通项公式易于求解，由可得，而处理通项公式的关键是要解出，由可得，所以，由，可得，所以可取的值为，可得只有才有符合条件的，即，所以，所以，则答案：D例10：个正数排成行列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有的公比都相同，已知，则_，_思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个数阵，抓住已知中的，可得，从而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的每一项 。而第四列即可作为突破口，设每 行的公差为 由可得，从而，所以 。则，求和的通项公式，利用错位相减法可求得：答案：小炼有话说：对于数阵问题首先可设其中的项为（第行第列），因为数阵中每行每列具备特征，所以可将其中一行或一列作为突破口，求得通项公式或者关键量，然后再以该行（或该列）为起点拓展到其他的行与列，从而得到整个数阵的通项公式