天津市静海区第一中学2022-2023学年高二下学期3月学业能力调研数学试题含答案.pdf
静海一中静海一中 2022-2023 第二学期高二数学（第二学期高二数学（3 月）月）学生学业能力调研试卷学生学业能力调研试卷考生注意：考生注意：本试卷分第本试卷分第卷基础题（卷基础题（112 分）和第分）和第卷提高题（卷提高题（38）两部分，共）两部分，共 150 分分.其中学习习惯占其中学习习惯占 8分（含分（含 3 分卷面分）分卷面分）知知 识识 与与 技技 能能学习能力学习能力内容内容导数定义导数定义单调性单调性极值最值极值最值数列数列导数几何意义导数几何意义参数范围参数范围关键环节关键环节分数分数10302021153024第第卷卷 基础题（共基础题（共 112 分）分）一、选择题一、选择题:每小题每小题 5 分，共分，共 30 分分.1.已知函数 32113103fxxfxx，则 3f（）A.1B.0C.8D.12.函数 25ln4f xxx的单调递增区间是（）A.5,2B.,0和5,2C.50,2D.0,33.已知函数 xxf xe，记2log 13af，3log 11bf，1ln2cf，则（）A.acbB.abcC.bcaD.bac4.若函数 lnfxxax在区间3,4上有极值点，则实数a的取值范围是（）A.10,3B.1,4C.1 1,4 3D.1 1,4 35.已知函数 2exf xax有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.2e0,4B.22e,e4C.2e,4D.22e,e46.已知函数 f x是定义域为0 x x 的奇函数，fx是其导函数，22f，当0 x 时，0 xfxf x，则不等式 1fxx的解集是（）A.2,02,B.,22,C.2,D.2,00,2二、填空题：每小题二、填空题：每小题 5 分，共分，共 15 分分.7.已知函数 yf x是可导函数，且 12f，则 011lim2xfxfx _.8.若直线1yax是函数 lnf xxx的图象在某点处的切线，则实数a_9.已知函数32()f xxaxbx的图象在点(0,(0)f处的切线斜率为4，且2x 时，()yf x有极值，则()f x在3,2-上的最小值为_.三、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 67 分分)10.已知函数 212 ln22f xxa xx aR（1）若32a ，求 f x的单减区间.（2）若函数 f x在区间1,2上单调递增，求a的取值范围；（3）若函数 f x在区间1,2上存在减区间，求a的取值范围（4）若函数 f x在区间1,2上不单调，求a的取值范围；11.已知 na为等差数列，nb是公比为2的等比数列，且223344ababba（1）证明：11ab；（2）已知11a（）证明：1223111112nnna aa aa aN；（）求1niiiab12.已知函数 2ln3f xxxxab在0 x 处取得极值 0（1）求实数a，b的值；（2）若关于x的方程()0(R)f xmm在区间1,22上恰有 2 个不同的实数解，求m的取值范围；13.已知函数 2ln,exf xg xxaxx（e是自然对数的底数）（1）求 f x在 1,1f处的切线方程.（2）存在(0,),()0 xg x成立，求 a 的取值范围.（3）对任意的0,m，存在1,3n，有 f mg n，则a的取值范围.第第卷卷 提高题（共提高题（共 38 分）分）14.已知数列 na是公差为1的等差数列，且123aaa，数列 nb是等比数列，且123b bb，4124abb.（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设 21nannca，*nN，求数列 nc的前 2n 项和2nS；（3）设2*1532,4222,nnnnnn ndnnnN为奇数为偶数，求数列 nd的前2n项和2nT.15.已知函数2()ln(2)f xxaxax.（1）讨论 f x的单调性；（2）当a，解得：1x；令 0fx，解得：1x，所以 yf x在,1上单增，在1,上单减；因为1lnln202，所以 1ln002cff，所以0c;因为22log 13log 83,3332log 9log 11log 273,所以32log 11log 130ff，所以bac.故选：D【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：（1）比较幂指数、对数值的大小；（2）比较抽象函数的函数值的大小；（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.4.若函数 lnfxxax在区间3,4上有极值点，则实数a的取值范围是（）A.10,3B.1,4C.1 1,4 3D.1 1,4 3【答案】D【解析】【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题【详解】由已知得 1axfxx，若函数 lnfxxax在3,4上有极值点，则10ax在3,4x上有解，即13,4xa，解得1143a.故选：D5.已知函数 2exf xax有三个零点，则实数a的取值范围为（）A.2e0,4B.22e,e4C.2e,4D.22e,e4【答案】C【解析】【分析】分析可知0a，由 0f x，可得21exxa，则直线1ya与函数 2exxg x 的图象有三个公共点，利用导数分析函数 2exxg x 的单调性和极值，数形结合可求得实数a的取值范围.【详解】当0a 时，exf x 无零点，所以0a.由 0f x，可得21exxa，令 2exxg x，其中xR，因为函数 2exf xax有三个零点，所以直线1ya与函数 g x的图象有三个公共点，22exxxgx，由 0gx，可得0 x 或2x，列表如下：x,000,222,gx00 g x减极小值0增极大值24e减如下图所示：由图可知，当2140ea，即2e4a 时，直线1ya与函数 g x的图象有三个公共点，即 2exf xax有三个零点，所以实数a的取值范围为2e,4.故选：C.6.已知函数 f x是定义域为0 x x 的奇函数，fx是其导函数，22f，当0 x 时，0 xfxf x，则不等式 1fxx的解集是（）A.2,02,B.,22,C.2,D.2,00,2【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数()()f xg xx，利用导数判断单调性，再由奇偶性解不等式即可.【详解】令()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx，当0 x 时，()()0 xfxf x，故()0g x，所以()g x在(0,)上单调递减，又(2)(2)12fg，所以 1fxx即()(2)g xg，因为函数 f x是定义域为0 x x 的奇函数，所以()()()()fxf xgxg xxx，即()g x为定义域为0 x x 的偶函数，所以由()(2)g xg可得(|)(2)gxg，所以|2x，即2x 或，解得，得0ex；令 0fx，得ex；所以 f x在0,e上单调递增，在e,上单调递减，故 max1eef xf，因为 2eg xxax 开口向下，对称轴为2eax，则有：当12ea，即2ea 时，g x在1,3上单调递减，则 max1eg xga ，所以1eea ，则1eea，故e1ee2a；当132ea，即2e6ea时，g x在1,2ea上单调递增，在,32ea上单调递减，则 max11ee2eeg xgaga ，所以 maxmaxf xg x，故2e6ea；当32ea，即6ea 时，g x在1,3上单调递增，则 max131e5eeggag x ，所以 maxmaxf xg x，故6ea；综上所述：1eea，即a的取值范围1e,e.第第卷卷 提高题（共提高题（共 38 分）分）14.已知数列 na是公差为 1 的等差数列，且123aaa，数列 nb是等比数列，且123b bb，4124abb.（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设 21nannca，*nN，求数列 nc的前 2n 项和2nS；（3）设2*1532,4222,nnnnnn ndnnnN为奇数为偶数，求数列 nd的前2n项和2nT.【答案】（1）nan，2nnb（2）22n+n（3）1211114321 43nnn nn【解析】【分析】（1）根据题意列式求解11,a b q，即可得结果；（2）利用并项求和分析运算；（3）利用裂项相消结合分组求和运算求解.【小问 1 详解】由题可知数列 na是公差为 1 的等差数列，且123aaa，则11112aaa，解得11a，所以11nann ，设等比数列 nb的公比为 q，且123b bb，4124abb，则21111144b bqbqbbq，解得12bq，所以12 22nnnb，所以 na和 nb的通项公式为nan，2nnb.【小问 2 详解】由（1）得为nan，则212222122222212111211221241nnaannnnaannnnn ，所以数列 nc的前n项和 22222222222221231234(21)(2)(21)(2)4nSnnnn L2341374122nnnnn L.【小问 3 详解】由（1）得为nan，2nnb，所以215321532,42 44222,nnnnnnnn nn ndnn为奇数为偶数，因为当n为奇数时，则111111532 415321142 4424424nnnnnnnnndn nnnnn，所以求列 nd的前2n项和为 2135212462nnnTdddddddd22446222111111113 43 43 43 43 421 421 4nnnn242224222nn224211212424222nnnn212221 422111111421 421 4321 43nnnnnnn nnn 故12211114321 43nnnTn nn.15.已知函数2()ln(2)f xxaxax.（1）讨论 f x的单调性；（2）当a0，证明：2()2f xa.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论0a 与a，f x在0,上单调递增；当a，f x在10,a上单调递增当1,xa 时，0fx，f x在1,a上单调递减，综上，当0a 时，f x在0,上单调递增，当a0时，f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.【小问 2 详解】由（1）可得，当a0时，max111211()lnln1af xfaaaaaa.要证 22f xa，只需证 max22f xa，即证11ln10aa 恒成立.令1ta，ln10g tttt，则11()1tg ttt，当0,1t时，0g t，g t单调递增，当1,t时，0g t，g t单调递减，g t的最大值为 10g，即：()0g t.11ln10aa 恒成立，原命题得证.即：当a0时，22f xa.
