湖南省多校联考2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

姓名_准考证号_（在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效）绝密绝密启用前启用前湖南省多校联考湖南省多校联考 2022-2023 学年高二下学年高二下学期期中考试数学试题含答案学期期中考试数学试题含答案2023 年上学期高二期中联考年上学期高二期中联考数学数学本试卷共本试卷共 4 页。全卷满分页。全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U R，集合02AxxZ，1,0,1,2,3B ，则图中阴影部分表示的集合为（）A2,0B2,3C2,0,2D2,0,32 若复数3i为方程20 xmxn（m，nR）的一个根，则该方程的另一个根是（）A3i B3iCi3Di33 将 A，B，C，D，E 五个字母排成一排，且 A，E 均不排在两端，则不同的排法共有（）A108 种B72 种C36 种D18 种4已知方程22119xykk表示椭圆，则实数 k 的取值范围是（）A1,9B,9C1,55,9D1,5已知111log244aa，则实数 a 的取值范围是（）A10,2B0,1C1,12D10,46如图，沿着网格线，先从点 A 到点 B，然后经过点 C，到达点 D 的最短的路径的条数为（）A720B480C360D2407在三棱锥PABC中，PA面 ABC，3PAAB，4AC，且60BAC，若G 为PAB 的重心，则 CG 与平面 ABC 所成角的正弦值为（）A346B26C18214D14148甲盒中有 2 个红球和 1 个黄球，乙盒中有 1 个红球和 2 个黄球，丙盒中有 1 个红球和 1个黄球从甲盒中随机抽取一个球放入乙盒中，搅拌均匀，然后从乙盒中随机抽取一个球放入丙盒中，搅拌均匀后，再从丙盒中抽取一个球，则从丙盒中抽到的是红球的概率为（）A1736B1627C1318D1354二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的分，有选错的得得 0 分分9已知双曲线 C：2241xy，则双曲线的（）A焦点坐标为5,0，5,0B离心率为5C渐近线方程为20 xy和20 xyD虚轴长为 110已知随机事件 A，B 满足 12P A，13P B，则（）A若事件 A，B 互斥，则56P ABB若56P AB，则事件 A，B 互斥C若事件 A，B 相互独立，则16P AB D若16P AB，则事件 A，B 相互独立11如图，已知 AD，BE，CF 分别是ABC 的三条中线，G 为ABC 的重心，设 P 为ABC所在平面上任意一点，则（）A0GAGBGC BPAPBPCPG CPAPBPCPDPEPF D0BC ADCA BEAB CF 12如图，已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面是边长为 4 的正方形，13AA，E，F，G 分别为1AA，AB，1CC的中点，H 为正方形1111ABC D（包括边界）上的动点，则（）A存在点 H，使得 E，F，G，H 四点共面B存在点 H，使得HG 面 HEFC若EGFH，则 H 的轨迹长度为2 2D四面体 EFGH 的体积为定值三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知为第二象限角，5sin23，则tana的值为_14从编号为 15 号的球中随机抽取一个球，记编号为 i，再从剩下的球中取出一个球，记编号为 j，在ij的条件下，2ji 的概率为_15已知 O 为坐标原点，直线1l：20 xmy与2l：20mxym交于点 P，则OP的值为_16已知函数 2lnf xaxxxx存在两个极值点1x，2x，且1212xxx，则 a 的取值范围是_四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程证明过程及演算步骤及演算步骤17（本小题满分 10 分）设 2211mnf xxx（*mN，*nN）（1）当4m，3n 时，记 f x的展开式中ix的系数为ia（0i，1，2，3，4，5，6，8），求34aa的值；（2）若 f x的展开式中2x的系数为 20，求mn的最小值18（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，AP 平面 ABCD，Q 为线段 PD 上的点，2DQPQ，1ABBCPA，2AD（1）证明：BP平面 ACQ；（2）求直线 PC 与平面 ACQ 所成角的正弦值19（本小题满分 12 分）已知正项数列 na的前 n 项和为nS，且21441nnnSaa，*Nn，2n，11a（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：123111153nSSSS20（本小题满分 12 分）已知 F 为抛物线220ypx p的焦点，O 为坐标原点，过点4,0的直线与抛物线交于A，B 两点，且满足OAOB（1）求 p 的值；（2）若120AFB，求直线 AB 的方程21（本小题满分 12 分）目前，我国近视患者人数多达 6 亿，青少年近视率居世界第一，从宏观出发，为了民族的未来，从微现出发，为了青少年的健康，青少年的近视问题已经提升到国家战略层面根据卫健委要求，某中学抽查了 60 名学生的视力情况，按4.0,4,2，4,2,4.4，4,4,4,6，4,6,4,8，4,8,5,0，5.0,5.2分组，制作成如图所示的频率分布直方图（1）为了作进一步的调查，从视力在4,0,4,4内的学生中随机抽取 6 人，若已知其中有两人的视力落在4,0,4.2内，求另外四人视力均落在4.2,4.4内的概率；（2）用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取两名学生，记视力落在区间4,8,5.2内的人数为 X，落在区间4.6,5.0内的人数为 Y，试求 E XE YE XY的值22（本小题满分 12 分）已知函数 e1xf x，ln1g xx（1）若 f xkg x在0,上恒成立，求 k 的取值范围；（2）设111,0A x yx 为 yf x图象上一点，222,0B xyx 为 yg x 图象上一点，O 为坐标原点，若AOB 为锐角，证明：221xx2023 年上学期高二期中联考年上学期高二期中联考数学数学参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则1【答案】D【详解】全集为 U，集合2,1,1,2A ，1,0,1,2,3B ，图中阴影部分表示的集合是2,0,3故选 D2【答案】B【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为3i，故选 B3【答案】C【详解】将 A，B，C，D，E 五个字母排成一排，且 A，E 均不排在两端，首先将 A，E 排在中间 3 个位置，有23A种排法，再将剩下的 3 个人全排列有33A种排法，所以一共有2333A A36种排法故选 C4【答案】C【详解】因为方程22119xykk表示椭圆，所以有10,90,19,kkkk 解得15k或59k5【答案】A【详解】当01a时，21log2log4aaa，即214a，即102a，又1124a，即2 222a，故221a，即102a，当1a 时，由11124a，无解，综上，实数 a 的取值范围是10,2故选 A6【答案】C【详解】从 A 点到 B 点需要向右走 3 段，向上走 3 段，共有36C20种，从 B 点到 C 点，向下走 1 段，向右走 2 段，共33C3种，从 C 点到 D 点，向右走 2 段，向上走 2 段，共24C6种，因此，从 A 点到 D 点的最短路径的走法有20 3 6360 种故选 C7【答案】D【详解】因为 G 为重心，故13AGABAP ，从而1133CGCAAGABAPAC ，2222112221 1 1641499933CGABAPACAB APAB ACAP AC 即14CG 11333AP CGAP ABAP APAP AC ，则314cos,143 14AP CGAP CGAPCG 注意到平面 ABC 的法向量即AP，因此 CG 与平面 ABC 所成角的正弦值即为1414 故选 D8【答案】A【详解】甲盒抽到黄球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为1131134312p，甲盒抽到黄球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为2112134318p，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为321113239p，甲盒抽到红球，乙盒抽到黄球，丙盒抽到红球的概率为321113239p，甲盒抽到红球，乙盒抽到红球，丙盒抽到红球的概率为421223239p，因此丙盒中抽到的红球的概率为123411121712189936pppp故选 A9【答案】CD【详解】由1a，12b，52c 10【答案】ACD【详解】对于 A 选项，115236P ABP AP B，故 A 正确；对于 B 选项，P ABP AP B，并不一定有 A，B 互斥；B 错误对于 C 选项，因为事件 A，B 相互独立，故 111236P ABP A P B，故 C 正确；对于 D 选项，因为 111623P ABP A P B，故事件 A，B 相互独立，故 D 正确11【答案】ACD【详 解】对 于 A 选 项，注 意 到2AGGD，因 此2AGGDGBGC，从 而0GAGBGC ，故 A 正确；对 于 B 选 项，由0GAGBGC 可 得0PAPGPBPGPCPG ，即3PAPBPCPG ，故 B 错误；对 于 C 选 项，2PAPBPF ，2PBPCPD ，2PCPAPE ，相 加 即 得PAPBPCPDPEPF ，故 C 正确；对于D选项，2BC ADBCABACAB BCBC AC ，同理2CA BECA BCCA BA ，2AB CFAB CBAB CA ，三 式 相 加 即 得0BC ADCA BEAB CF ，故 D 正确12【答案】AC【详解】对于 A 选项，当 H 为11C D时，E，F，G，H 共面，故 A 正确；对于 B 选项，HG 在面11ABB A上的投影不可能与 EF 垂直，因此 HG 不垂直于 EF，从而 B错误；对于 C 选项，取11AD，11AB的中点 M，N，当 H 在 MN 上时，FH 在面1111ABC D上的投影为 NH，而11NHAC，且11ACEG，因此FHEG，即 H 的轨迹即为 MN，且其长度为2 2MN，故 C 正确；对于 D 选项，由于面 EFG 与面1111ABC D不平行，因此体积不为定值故 D 错误13【答案】4 5【详解】由为第二象限角可知2在第一、三象限，而5sin023，则2在第一象限，故5tan22，因此2252tan22tan4 551tan124 14【答案】25【详解】设事件 A：ij，事件 B：2ji，则事件 AB：2iji，则 25Cn A，4n AB，从而25442C105P B A 15【答案】2【详解】直线1l过定点2,0A，2l过定点2,0B，当0m 时，两直线的斜率分别为11km，2km，1 21k k ，故APBP，从而122OPAB；当0m 时，易求得2,0P，此时2OP，综上可知，2OP 16【答案】ln21,42e【详解】依题意 2lnfxaxx有两个零点，即方程ln2xax有两个解1x，2x，且满足1212xxx，设 ln xg xx，则直线2ya和函数 ln xg xx的图象有两个不同的交点，且满足1212xxx，因为 21ln0 xgxxx，因此函数 g x在0,e上单调递增，在e,上单调递减，所以函数 g x在ex 处取得最大值，最大值为 1eeg，故12ea，所以作直线ya和函数 ln xg xx的图象如下：由图象知：121exx，因此当1e12x时，122exx，不符合题意；当1e2x 时，要21e2xx，而函数 g x在e,上单调递减，则 1212gxg xg x，即1111ln 2ln2xxxx，解得1lnln2x，所以12ex综合得12ex又因为函数 g x在2,e上单调递增，ln222g，1eeg，所以 a 的取值范围是ln21,42e17【详解】（1）由题意 46211f xxx421x的展开式的通项为214CrrrTx，61x的展开式的通项为16CkkkTx，2 分故336C20a ，24446CC9a ，因此3429aa；5 分（2）122221CC202mnnnm，即2220mnn，6 分则22021021mnnnnnn，7 分由函数 10g xxx在0,10上单调递减，在10,上单调递增注意到 n 取值为整数，因此 10g nnn的最小值为 19min3,43gg9 分因此mn的最小值为3835133，10 分18【详解】（1）证明：如图，连接 BD 与 AC 相交于点 M，连接 MQ，BCAD，2ADBC，2MDBM，2 分2DQPQ，MQBP4 分MQBP，BP 平面 ACQ，MQ 平面 ACQ，BP平面 ACQ；6 分（2）由 AB，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：0,0,0A，1,1,0C，0,0,1P，2 20,3 3Q8 分设平面 ACQ 的法向量为,mx y z，由1,1,0AC，2 20,3 3AQ，有0,220,33AC mxyAQ myz令1x，1y ，1z，可得1,1,1m，10 分由1,1,1CP ，有1CP m，3CPm，11sin,333CP m 故直线 PC 与平面 ACQ 所成角的正弦值为1312 分19【详解】依题意，当2n 时，由21441nnnSaa，可得21141nnSa，2 分则24S1nna，两式相减可得221411nnnaaa，即22111nnaa，即1120nnnnaaaa，因为 na为正项数列，因此12nnaa，5 分则 na是以11a 为首项，2 为公差的等差数列，则21nan；6 分（2）由221nnSann，而2221144411244121 212121nSnnnnnnn，9 分222123111111111115211223352121321nSSSSnnnn ，即123111153nSSSS12 分20【详解】（1）设11,A x y，22,B xy，直线 AB：4xmy，联立抛物线方程得2280ypmyp，得122yypm，128y yp，3 分则212122164y yx xp由OAOB可得1 2120 x xy y，可得1680p，得2p，5 分（2）由（1）可知拋物线方程为24yx，1,0F，此时 AB；4xmy，124yym，1216y y 22121212121155525425FA FBxxmymym y ym yym ，7 分121212121133FA FBxxy ymymyy y 22121213947my ym yym 9 分由221471cos24252FA FBmAFBmFAFB ，解得112m ，11 分因此直线 AB 的方程为1142xy，即21180 xy12 分21【详解】（1）视力落在4,0,4.2内的人数为 3，视力落在4,2,4.4内的人数为 6设事件 A：抽取的 6 人中有两人的视力落在4,0,4.2内，事件 B：剩下的四人视力落在4.2,4.4内则 2433363669C CC CCP A，243669C CCP AB，2 分从而 243624333636C C3 159C CC C3 152013P ABP B AP A；4 分（2）视力落在区间4.8,5.2内的概率为10.21 1.52，故12,2XB视力落在区间4.6,5.0内的概率为90.21.25 120，故92,20YB 19192222010E XE Y，6 分令ZXY，则 Z 的可能取值为 0，1，2，3，4，若抽取的学生视力落在4.6,4.8，5.0,5.2内，则 Z 的值1，若落在4.8,5.0内，则 Z的值2，视力落在4.6,4.85.0,5.2内的概率为131141020，落在4.8,5.0内的概率为15，则222110C416P Z；12111111C42040P Z；2122211111612CC4520400P Z；12111113C20550P Z；222114C525P Z 11116111119012341640400502510E Z ，11 分故 191011910E XE YE XY12 分22【详解】（1）先证明 f xx，构造函数 e1xF xf xxx，则 e10 xFx，故 F x单调递增，从而 00F xF，即e1xx，因此ln1xx，2 分当1k 时，ln1ln1e1xkxxx，符合题意；3 分当1k 时，构造函数 e1ln1xG xf xkg xkx，则 e1xkG xx，G x单调递增，且 010Gk，ln01lnkGkkk，故存在00,lnxk，使得00Gx，且00,xx时，0Gx，即 G x单调递减，则当00,xx时，00G xG，与题意矛盾综上所述，1k；5 分（2）依题意可知，cos0AOB，则0OA OB ，即1 2120 x xy y，即1122e1 ln1xx xx6 分因为1x，20 x，则不等式为1212ln1e1xxxx，设11e1xx，则不等式为1212ln1ln1xxxx，7 分设 ln1xh xx，则 2ln11xxxh xx，设 ln11xH xxx，则 22110111xHxxxx，因此 00H xH，即 0h x，即 h x单调递减，因此12h xh x，可得12xx，即12e1xx9 分首先证明：2e10 xxx，设 2e1xt xx，则 e2xtxx，由（1）可知e1xx，1exx，从而ee2xxx，故 0tx，t x单调递增，因此 00t xt，从而2e1xx，因而12211e1xxx，故221xx12 分