2024届陕西省渭南市高三一模数学（理）试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司渭南市渭南市 2024 届高三教学质量检测（届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）数学试题（理科）注意事项：注意事项：1.本试题满分本试题满分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.若复数z满足(1 2i)2iz=+，则|z=（）A.25B.1C.415D.412.已知集合0,1,2,3A=，()40Bx x x=，则AB=（）A.1,2,3B.04xxC.0,1,2,3,4D.04xxCypx p和()22:20Cypx p=构造了一个类似“米”字型图案，如图所示，若抛物线1C，2C的焦点分别为1F，2F，点P在拋物线1C上，过点P作x轴的平行线交抛物线2C于点Q，若124=PFPQ，则p=（）的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.2 B.3 C.4 D.6 5.执行如图所示的程序框图，如果输入的1a=，则输出的S=A 2 B.3 C.4 D.5 6.设定义在R上的偶函数()f x满足()()f xf x+=，当0,)2x时，()sinf xx=，则11()6f=（）A.12 B.32 C.12 D.32 7.甲乙两位同学从 5 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1种相同的选法共有（）A.30 种 B.60 种 C.90 种 D.120种 8.已知圆O的方程为229xy+=，直线l过点()1,2P且与圆O交于,M N两点，当弦长MN最短时，OM MN=（）A.4 B.8 C.4 D.8 9.如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面11A ADD为梯形，113ADAD=，侧棱长8AB=.当侧面ABCD 水平放置时，液面与棱1AA交点恰为1AA的中点.当底面11A ADD水平放置时，液面高为（）.的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.3 B.4 C.5 D.6 10.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y，()22,B xy，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB 夹角的余弦值，记作cos(,)A B，余弦距离为1 cos(,)A B.已知(cos,sin)P，(cos,sin)Q，(cos,sin)R，若 P，Q 的余弦距离为13，1tantan4=，则 Q，R的余弦距离为（）A.35 B.25 C.14 D.34 11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0 xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，A为双曲线右支上一点，连接1AF交y轴于点B若2ABF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A.2 3 B.32 C.3 D.3 32 12.已知函数()sin(0)4f xx=+在区间0,上有且仅有 4个极值点，给出下列四个结论：()f x在区间()0,上有且仅有 3个不同的零点；()f x的最小正周期可能是2；的取值范围是13 17,44；()f x在区间,23 19上单调递增.其中正期结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知一组数据点()(),1,2,7iix yi=，用最小二乘法得到其线性回归方程为24yx=+，若717iix=，第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 则71iiy=_ 14.在ABC中，120BAC=，1AB=，3BC=，则ABC的面积为_.15.已知函数()f x满足x，0y，()()()f xyyf xxf y=+，则满足条件的函数可以是()f x=_.16.已知函数3,1()eln3,1xxf xxxxa x=+，方程2()5()60f xf x+=有 7个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.已知等差数列 na满足：25a=，3726aa+=，其前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）若数列nnba是首项为 1，公比为 3的等比数列，求数列 nb的前n项和nT.18.如图，在等腰梯形 ABCD 中，/AB CD，222ABCDAD=，将ADC沿着 AC折到APC位置，使APBC.（1）求证：平面APC 平面 ABC；（2）求二面角APBC的正弦值.19.杭州第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 2023 年 10 月 8 日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取 7 局 4胜制，每局为 11分制，每赢一球得一分（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球 2次，然后乙连续发球 2 次，甲发球时甲得分的概率为 0.4乙发球时乙得分的概率为 0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望 20.已知函数2()e(2)exxf xaax=+.(R)a（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0a，求证：211()f xaa.21.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的离心率为12，长轴长为 4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的上、下焦点分别为2F、1F，过点1F作斜率为()110kk 的直线l交椭圆于 A，B 两点，直线2AF，2BF分别交椭圆C于 M，N两点，设直线 MN的斜率为2k.求证：21kk为定值.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为cossincossinxy=+（为参数），以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为cos36+=（1）求曲线 C普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）P为 l上一点，过 P作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，若3APB，求点 P 横坐标的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数()1f xxax=+，aR（1）当2a=时，求不等式()4f x 的解；（2）对任意()0,3m关于 x 的不等式()12f xmm+总有解，求实数 a 的取值范围 的 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 渭南市渭南市 2024 届高三教学质量检测（届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）数学试题（理科）命题人：王建龙命题人：王建龙 韩黎波韩黎波 蔡雯伟蔡雯伟 注意事项：注意事项：1.本试题满分本试题满分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.若复数z满足(1 2i)2iz=+，则|z=（）A.25 B.1 C.415 D.41【答案】B【解析】【分析】由复数乘除法运算求复数 z，即可求模.【详解】由题设22i(2i)(12i)2i4i2ii1 2i(1 2i)(12i)5z+=+，故i1z=.故选：B 2.已知集合0,1,2,3A=，()40Bx x x=，则AB=（）A.1,2,3 B.04xx C.0,1,2,3,4 D.04xx【答案】D【解析】分析】根据二次不等式求解集合B，再求并集即可.【详解】()4004Bx x xxx=，04ABxx=Cypx p和()22:20Cypx p=构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C，2C的焦点分别为1F，2F，点P在拋物线1C上，过点P作x轴的平行线交抛物线2C于点Q，若124=PFPQ，则p=（）第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出 P点横坐标，再由抛物线定义求出p即可.【详解】因为24PQ=，即2PQ=，由抛物线的对称性知1px=，由抛物线定义可知，1|2PpPFx=，即4(1)2p=，解得6p，故选：D 5.执行如图所示的程序框图，如果输入的1a=，则输出的S=A 2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0akS=.循环结果执行如下：第一次：0 11,1,2Sak=；.第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 第二次：121,1,3Sak=+=；第三次：1 32,1,4Sak=；第四次：242,1,5Sak=+=；第五次：253,1,6Sak=；第六次：363,1,7Sak=+=，结束循环，输出3S=.故选 B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.6.设定义在R上的偶函数()f x满足()()f xf x+=，当0,)2x时，()sinf xx=，则11()6f=（）A.12 B.32 C.12 D.32【答案】A【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性质可求出1166ff=，代入即可得出答案.【详解】由()()f xf x+=得1166ff=.又()f x为偶函数，所以1sin6662ff=.故选：A.7.甲乙两位同学从 5 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1种相同的选法共有（）A 30 种 B.60 种 C.90 种 D.120种【答案】B【解析】【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果.第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意可知，首先选取 1 种相同课外读物的选法有15C种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有1143C C种，所以这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有111543C C C60=种；故选：B 8.已知圆O的方程为229xy+=，直线l过点()1,2P且与圆O交于,M N两点，当弦长MN最短时，OM MN=（）A.4 B.8 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件可知，当MN最短时，直线lOP，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN最短时，直线lOP，22125OP=+=，()222 354MN=，()cos 82MNOM MNOMMNOMNMN=.故选：B.9.如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面11A ADD为梯形，113ADAD=，侧棱长8AB=.当侧面ABCD 水平放置时，液面与棱1AA的交点恰为1AA的中点.当底面11A ADD水平放置时，液面高为（）A.3 B.4 C.5 D.6 第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分析】根据梯形11A ADD各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的58，由等体积法可知当底面11A ADD水平放置时，液面高为 5.【详解】取底面梯形11A ADD两腰的中点为,E F，如下图所示：由113ADAD=可得112EFAD=，所以四边形11AD FE与四边形ADFE的面积之比为123235+=+，即可知容器中水的体积占整个容器体积的55538=+；当底面11A ADD水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的58,即可得液面高为558AB=.故选：C 10.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y，()22,B xy，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB 夹角的余弦值，记作cos(,)A B，余弦距离为1 cos(,)A B.已知(cos,sin)P，(cos,sin)Q，(cos,sin)R，若 P，Q 的余弦距离为13，1tantan4=，则 Q，R的余弦距离为（）A.35 B.25 C.14 D.34【答案】A【解析】第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，代入计算即可求得结果.【详解】由题意可得()cos,sinOP=，(cos,sin)OQ=，(cos,sin)OR=，则()3co2coscosssinsi,nOQOQOPP QOP=+=，又4sins1tantincososanc=，所以coscos4sinsin=，可得82coscos,sinsin1515=；所以 Q，R的余弦距离()coscossinsin31 151 cos,1Q R=.故选：A 11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0 xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，A为双曲线右支上一点，连接1AF交y轴于点B若2ABF为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A.2 3 B.32 C.3 D.3 32【答案】C【解析】【分析】由长度关系可得2112BFAF=，知212AFFF，在12RtFF A中，利用12tan3F AF=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AFm=，2ABF为等边三角形，2ABBFm=，123F AF=，又12BFBFm=，第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 2112BFAF=，212AFFF，22bAFa=，1212222tan3FFcF AFbAFa=，2222333acbca=，23230ee=，解得：33e=（舍）或3e=，双曲线C的离心率为3.故选：C.12.已知函数()sin(0)4f xx=+在区间0,上有且仅有 4个极值点，给出下列四个结论：()f x在区间()0,上有且仅有 3个不同的零点；()f x的最小正周期可能是2；的取值范围是13 17,44；()f x在区间,23 19上单调递增.其中正期结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】令24xk+=+，Zk，则44kx+=,Zk，结合条件可得4 04k+有 4个整数k符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数()sin(0)4f xx=+，令24xk+=+，Zk可得44kx+=，Zk，因为()f x在区间0,上有且仅有 4个极值点，即可得4 04k+有且仅有 4个整数k符合题意，解得14014k+，即0144k+，可得0,1,2,3k=，第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 即14 34144+，()()()f xyyf xxf y=+，则满足条件的函数可以是()f x=_.【答案】()0f x=（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数性质判断即可.【详解】结合常数函数的性质，()0f x=即满足,0 x y，()()()f xyyf xxf y=+，故答案为：()0f x=（答案不唯一）.16.已知函数3,1()eln3,1xxf xxxxa x=+，方程2()5()60f xf x+=有 7个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【答案】45a讨论，它们一个有 3 个根，一个有 4个根，由此可得参数范围【详解】因为2()5()60f xf x+=，令(f xt=），得到2560tt+=，解得2t=或3t=，又当1x 时，()elnxf xx=，则221elnee(ln1)()(eln)(eln)xxxxfxxx=，当(1,e)x时，()0fx，即()elnxf xx=在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,)+上单调递增，又1x 时，()f x +，ex=时，()1f x=，x +时，()f x +，其图像如图，所以，当1x 时，()2f x=有 2 上解，()3f x=有 2 个解，又因为方程2()5()60f xf x+=有 7 个不同的实数解，所以当1x 时，()f x有 3个实数解，又1x 时，3()3f xxxa=+，则2()333(1)(1)fxxxx=+，所以(,1)x 时，()0fx，(1,1)x 时，()0fx或2223aa+=，解得45a或1a=，第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：45a或1a=.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.已知等差数列 na满足：25a=，3726aa+=，其前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）若数列nnba是首项为 1，公比为 3的等比数列，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）813nna=，243nSnn=+（2）2341232nnTnn=+【解析】【分析】（1）由等比中项求出5a，进而求出等差数列 na的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前 n项和.（2）先求等比数列nnba的前 n项和nQ，数列 nb的前 n项和即为nnnTQS=+.【小问 1 详解】na是等差数列，()375132aaa+=，第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 数列 na的公差52833aad=，首项1273aad=，()18113nnaand=+=，()214123ndSnan nnn=+=+.813nna=，243nSnn=+为所求.【小问 2 详解】令nnncba=，由题意有13nnc=；数列 nc是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 其前 n 项和()113112nnnaqQq=，nnnbca=+，数列 nb的前 n项和2341232nnnnTQSnn=+=+故2341232nnTnn=+为所求.18.如图，在等腰梯形 ABCD 中，/AB CD，222ABCDAD=，将ADC沿着 AC折到APC的位置，使APBC.（1）求证：平面APC 平面 ABC；（2）求二面角APBC的正弦值.【答案】18.证明见解析 19.427【解析】【分析】（1）过 C 做CEAB，交 AB 于 E，连接 AC，根据余弦定理求得 AC，可证ACBC，又APBC，根据线面垂直的判定定理，可证BC平面 APC，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求得平面APB，BPC的法向量1n，2n，利用向量的夹角公式，即可求得二 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 面角的正弦值，即可得答案.【小问 1 详解】由等腰梯形 ABCD中，222ABCDAD=，过 C 做CEAB，交 AB 于 E，连接 AC，如图所示，根据对称性可得，12BE=，所以1cos2BEABCBC=，可得60ABC=，又由2ABBC=，所以2222cos3ACBCABBC ABABC=+=，即3AC=，所以222ACBCAB+=，即ACBC，又因APBC，且ACAPA=，所以BC平面 APC，又由BC平面 ABC，所以平面APC 平面 ABC.【小问 2 详解】取 AC的中点 E，AB的中点 F，以 E为坐标原点，EA为 x轴，EF 为 y 轴，EP为 z 轴正方向建立空间坐标系，则3(,0,0)2A，3(,1,0)2B，3,()0,02C，10,0),(2P，所以31,0,2()2AP=，32)11,2(,PB=，32)10,2(,CP=，设平面APB的法向量为()1111,nx y z=，平面BPC的法向量为()2222,nxyz=，为 第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则111113102231022xyzxz+=+=，得一个法向量()11,3,3n=，222223102231022xyzxz+=+=，得一个法向量2(1,0,3)n=，所以12121227cos,71 332n nn nnn=+，设二面角APBC的平面角为，27421()7s n7i=，所以二面角APBC的平面角的正弦值为427.19.杭州第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 2023 年 10 月 8 日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取 7 局 4胜制，每局为 11分制，每赢一球得一分（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球 2次，然后乙连续发球 2 次，甲发球时甲得分的概率为 0.4乙发球时乙得分的概率为 0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望【答案】（1）425；（2）分布列见解析，数学期望为23681.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得.（2）求出 X的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得.【小问 1 详解】在比分为8 8:后甲先发球的情况下，甲以11:9获胜的情况分三种：第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为123113552250P=，第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为232113552250P=，第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为322111552225P=，所以所求事件的概率为：123331450502525PPP+=+=【小问 2 详解】随机变量 X的可能取值为 2，3，4，5，224(2)339P X=，121228(3)C33327P X=，1243212113(4)C()()333381P X=+=，1333442121218(5)C()C()33333381P X=+=，所以 X的分布列为 X 2 3 4 5 P 49 827 1381 881 数学期望48138236()2345927818181E X=+=.20.已知函数2()e(2)exxf xaax=+.(R)a（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若0a，求证：211()f xaa.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得到()(e1)(2e1)xxfxa=+，分0a 和0a 进行讨论，再利用函数的单调性与导数间的关系即可求出结果；（2）根据（1）中的单调性，得到()f x的最小值为ln11aa+，从而将问题转化成20l11naa+，构造函数2)1()ln1(0gxxxx=+，对()g x求导，利用函数的单调性与导数间的关系，求出()g x的最小值，即可证明结果.【小问 1 详解】因为2()e(2)exxf xaax=+，所以2()2 e(2)e1(e1)(2e1)xxxxfxaaa=+=+,第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 易知，2e10 x+恒成立，当0a 时，()0fx时，由()0fx=，得到lnxa=，当(,ln)xa 时，()0fx，所以0a 时，函数()f x在区间(,ln)a 上单调递减，在区间(ln,)a+上单调递增，综上，当0a 时，()f x在R上单调递减，当0a 时，函数()f x减区间为(,ln)a，增区间为(ln,)a+.【小问 2 详解】由（1）知，当0a 时，函数()f x的最小值为2lnln121(ln)e(2)elnlnln1aaafaaaaaaaaa=+=+=+，所以要证211()f xaa，即证明2ln1111aaaa+在区间()0,+上恒成立，整理得20l11naa+，令2)1()ln1(0gxxxx=+，则233322)1(2)(2)xxxgxxxxx+=，所以当(0,2)x时，()0g x，则函数()g x在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,)+上单调递增，故()g x的最小值为31(2)ln21ln202122g=+=+，即0a 时，20l11naa+恒成立，所以0a 时，211()f xaa.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x；（3）利用导数研究()h x的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 21.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的离心率为12，长轴长为 4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的上、下焦点分别为2F、1F，过点1F作斜率为()110kk 的直线l交椭圆于 A，B 两点，直线2AF，2BF分别交椭圆C于 M，N两点，设直线 MN的斜率为2k.求证：21kk为定值.【答案】（1）22143yx+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,a b c的方程，求得,a b的值，即可求解；（2）设直线l的方程为11yk x=，1122(,),(,)A x yB xy，求得2AF为1111yyxx=+，联立方程组，求得11325Mxxy=，得到1111358(,)25 25xyMyy,同理2222358(,)25 25xyNyy，利用斜率公式，化简得到2121219()321()7yykkxx=，即可得证.【小问 1 详解】解：由椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的离心率为12，长轴长为 4.可得2222412acaabc=+，解得2,3ab=，所以椭圆C标准方程为22143yx+=.【小问 2 详解】解：由（1）知22143yx+=，可得12(0,1),(0,1)FF，设直线l的方程为11yk x=，设1122(,),(,)A x yB xy，则21121yykxx=，的 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 由2111AFykx=，所以直线2AF的方程为1111yyxx=+，联立方程组112211143yyxxyx=+=，整理得22221111143(1)6(1)90 xyxx yxx+=，则0 且2112211943(1)Mxx xxy=+，所以2111221111199343(1)15625Mxxxxxyxyy=+，可得111111135812525Myxyyxyy=+=，即1111358(,)25 25xyMyy,同理可得2222358(,)25 25xyNyy，所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)333(25)3(25)2525NMNMyyyyyyyyyykxxxxxyxyyy=21211221211221219()9()6()15()6(1)(1)15()yyyyx yx yxxx kxx kxxx=+211219()321()7yykxx=，即2137kk=，所以21kk为定值.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 明该定点与变量无关.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为cossincossinxy=+（为参数），以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为cos36+=（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（2）P为 l上一点，过 P作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，若3APB，求点 P 横坐标的取值范围【答案】（1）222xy+=；32 30 xy=（2）35 35,22+【解析】【分析】（1）把曲线 C 的方程两边平方相加可求曲线 C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线 l 的直角坐标方程;（2）设(,32 3)P xx，由题意可得|2|OPOA，计算可求点 P横坐标的取值范围.【小问 1 详解】由曲线C的参数方程为cossincossinxy=+（为参数），可得222222cos2sincossincos2sincossin2xy+=+=由cos36+=,得coscossinsin3,66=31322xy=,即32 30 xy=,曲线C的普通方程为222xy+=,直线l的直角坐标方程为32 30 xy=【小问 2 详解】设(,32 3)P xx,连接,OA OB，易得,OAAP OBBP，第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 若3APB,则6APO，1sin,2APO在RtOAP中，|1|2OAOP，|2|2 2OPOA=,22(32 3)2 2xx+,两边平方得241240 xx+,解得353522x+,点P横坐标的取值范围为35 35,22+选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数()1f xxax=+，aR（1）当2a=时，求不等式()4f x 的解；（2）对任意()0,3m关于 x 的不等式()12f xmm+总有解，求实数 a 的取值范围【答案】（1）5 3,2 2；（2）()5,3【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知()minmin12f xmm+，结合112224mmmm+=与()()()11f xxaxa+=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x 即为214xx+，第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则()()2,214,xxx+或()21,214,xxx+解得522x 或21x 或312x，故不等式的解集为5 3,2 2（2）对任意()0,3m，关于 x 的不等式()12f xmm+总有解()minmin12f xmm+而112224ymmmm=+=，当且仅当1=mm，即1m=时取最小值，又()()()11f xxaxa+=+（当且仅当()()10 xax+时取等号）故只需14a+，得53a，即实数 a 的取值范围为()5,3【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.