湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第六次月考数学试含答案.pdf

2024 届高三第 6 次月考数学试卷 第 1 页 共 2 页 常德市一中常德市一中 2022024 4 届届高高三三第第六六次次月月水平水平检测检测 数数 学学 （时量：120 分钟 满分：150 分 命题人)一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）1.全集 U=R 集合 A82,2xxx=则 UA=()A.B.2.已知复数z满足()()221,ziaiaR=若z为纯虚数，则=a（）A.0 B.-1C.1D.23.直角梯形中，角 为直角，若，则A.12 B.109C.1D.24.记nS为等差数列na前n项和，已知139124S=，则59cos()aa+=（）A264+B264 C624 D624+5.九章算术卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 1 丈现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（）A5 立方丈 B20 立方丈 C40 立方丈 D80 立方丈 6.毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（）A66 种 B60 种 C36 种 D24 种 7已知函数()sin(0)6f xx=+，对任意的xR，都有(1)()f xfx+=，且()f x在区间,4 12上单调，则的值为（）A6B3C56D 238.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线。人教A版必修第一册第 92 页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1yxx=+的图象与性质”，经探究它的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现对勾函数,(0,0)yaxabbx=+的图象是以直线,0yax x=为渐近线的双曲线.现将函数12yxx=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是（）A102 52B552C104 5D104 5二、选择题二、选择题（本（本大大题题共共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共2020 分分.在在每小题每小题给出的给出的选项选项中，有多项符合中，有多项符合题题目要求。全部选对的给目要求。全部选对的给5 5分，部分选对的得分，部分选对的得2 2 分，有选错的得分，有选错的得0 0分分）9.下列命题是真命题的有（）A.若,10 a则.2ln1ln+aaB.若),(22*Nbaba则1ab B.若0abc+=且abc，则c ba bD.若函数2232xyx+=+，y.10 已知圆锥1AO的底面圆1O的半径与球2O的半径相等，且圆锥1AO的表面积与球2O的表面积相等，则下列结论成立的有（）A圆锥1AO的母线与底面所成角的余弦值为13 B圆锥1AO的高与母线长之比为23C 圆锥1AO的侧面积与底面积之比为 3 D 球2O的体积与圆锥1AO的体积之比为211设A是抛物线2:4C xy=上一点，F是C的焦点，A在C的准线l上的射影为M，M关于点A的对称点为N，曲线C在A处的切线与准线l交于点P，直线NF交直线l于点Q，则（）AFMFN B APNQ CFPQ是等腰三角形 D|MQ的最小值为 2 12已知函数()f x的定义域为()1,1，且满足()()1xyf xfyfxy=，当()1,0 x 时，()0f x，则（）A.()f x是奇函数 B.()f x是增函数 C.112343fff+D.111342fff+三、填空题三、填空题（本（本大大题题共共4 4 小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共2020 分分）13.nxx13的展开式中所有项的二项式系数之和为 64，则()nbaa+2的展开式中ba5的系数为2024 届高三第 6 次月考数学试卷 第 2 页 共 2 页 14.某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25)。为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段67，n)内抽取学生，且 P(67Xn)0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到 20 名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93则该班抽取学生分数在分数段67，n)内的人数为 _ 人(附：P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973)15.定义：各项均不为零的数列 na中，所有满足10iia a+的正整数i的个数称为这个数列 na的变号数.已知数列 nb的前n项和262nSnna=（nN，52a ），令41nnab=（nN），若数列 na的变号数为 2，则实数a的取值范围是_.16已知函数()f x和()g x的定义域分别为1D和2D，若对任意的01xD都恰有n个不同的实数1232,nx x xxD，使得0()()ig xf x=（其中1,2,3,in n+=N），则称()g x为()f x的“n重覆盖函数”(1)若函数()cos(04)g xxx=是()21,0421xxf xx=+（）的“n重覆盖函数”,则n=；(2)若22(23)1,1()log,1axaxxg xx x+=为1221()log21xxf x=+的“2 重覆盖函数”，记实数a的最大值为M，则sin(1)M+=四解答题四解答题（本大题共（本大题共6 6个小题，共个小题，共7070分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题 10 分）在四棱锥 ABCDE 中，AC，BC，CD 两两垂直，1ACBCBE=，2CD=，BECD.(1)求证：DE平面 ACE；(2)求直线 BD 与平面 ACE 所成角的余弦值.18（本题 12 分）在ABC中，,A B C所对的边分别为,a b c，已知2()bc ac=+.(1)若4B=，求sinsinCA的值；(2)若ABC是锐角三角形，求23sin2cosBC+的取值范围 19.（本题 12 分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉。某市火车站为了解每年火车的正点率%x对每年顾客投诉次数y（单位：次）的影响，对近 8 年（2015 年2022 年）每年火车正点率%x和每年顾客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.81iix=81iiy=81iiix y=()821iixx=60059243837.293.8(1)求y关于x的经验回归方程；若预计 2024 年火车的正点率为84%，试估算 2024 年顾客对火车站投诉的次数；(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这 8 年中有 6 年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这 8 年中随机抽取 3 年，记其中评价“良好”的年数为X，求X的分布列和数学期望.附：经验回归直线 ybxa=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()121,niiiniix ynxybaybxxx=20（本题 12 分）已知数列 na满足111,23nnnaaa+=+.(1)令2nnnab=，求证：1nnbb+是等比数列；(2)令1nnca=，nc的前 n 项和为nT，求证：77601nT.21（本题 12 分）已知椭圆22:184xyE+=的上顶点为P，圆()()222:10Cxyrr+=在椭圆E内(1)求r的取值范围；(2)过点P作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T求ST的最大值，并计算出此时圆C的半径r22（本题 12 分）已知函数sinyx=在()000 xxx=处的切线方程为yaxb=+，且对任意0 x，都有sin xaxb+恒成立。（1）求函数在点4x=处的切线与坐标轴围成的三角形面积；（2）求证：00,2x；（3）若10abm，求正整数m的最小值.13.14.15.16.、1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、座号和准考证号填写清楚。2.考生作答时，请将答案写在答题卡上,并按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。3.使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4.做选考题时，考生按照题目要求作答，并在答题卡上填涂所选题目的类型选项。5.保持卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。注意事项09 A B C D10 A B C D01 A B C D02 A B C D03 A B C D04 A B C D姓 名 班 级 班 号 解答题解答题（用黑色签字笔书写）18.（12 分）19.(12 分)05 A B C D06 A B C D07 A B C D08 A B C D常德市一中 2024 届高三第六次月水平检测 数学 答题卡 贴条形码区域贴条形码区域 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并用 2B 铅笔填涂右面的缺考标记 17.（10 分）选择题选择题（用 2B 铅笔填涂）填空填空题题（用黑色签字笔书写）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！09 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D20.（12 分）21.（12 分）22.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024 届高三第 6 次月考数学参考答案 第 1 页 共 4 页 常德市一中常德市一中 2022024 4 届届高高三三第第六六次次月月水平水平检测检测 数数 学学 （参考参考答案）答案）1.B.2.A3.B4.B.13775977713,22412Sa aaaa=+=5926cos()cos()coscossinsin4343434aa+=+=5.A【解析】如图所示：刍甍的体积为直三棱柱的体积减去两个相同的三棱锥的体积，即()11111 3 421 3426 152322V=.故选：A 6.C【解析】先排甲、乙外的 3 人，有33A种排法，再插入甲、乙两人，有24A种方法，共有33A24A种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12，故所求不同和站法有1233A24A=36(种）.故选：C.7 D【解析】因为(1)()f xfx+=，所以函数()f x的对称轴为12x=，所以1sin1,26+=即1,262kkZ+=+，解得22,3kkZ=+，0,0,kkZ,（1）若()f x在区间,4 12上单调递增，则22,262kxkkZ+0，12122,33kxkkZ+，1224312,123kk+，即1122431112123kk+，解得88,3k kZ，所以808,3k kZ，且22,3kkZ=+，所以当0k=时，23=满足题意；（2）若()f x在区间,4 12上单调递减，则322,262kxkkZ+0，11422,33kxkkZ+，1243142,123kk+，即1112431142123kk+，解得48,3k kZ，所以408,3k kZ，且22,3kkZ=+，此时无解，综上可得23=.8.D【解析】1020,0,xxxx+时，时，则12yxx=+的两条渐近线分别为2,0yx x=，所以该函数对应的双曲线焦点在2,0yx x=夹角（锐角）的角平分线l上，设:l ykx=且2k，若,分别是ykx=，2yx=的倾斜角，故tan,tan2k=，故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由1tan()tan()2tan=，即tantan21tan()1tantan12kkk=+，整理得2410kk=，可得25k=+（负值舍去），（或者用二倍角公式求）所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C一条渐近线斜率为15225ba=+，故2211(94 5)104 5bea=+=+=.故选：D 9.AB10 ACD【解析】设圆锥1AO的底面圆1O的半径为R，高为h，母线长为l，由圆锥1AO与球2O的表面积相等，得224RlRR+=，解得3lR=，因此圆锥1AO的母线与底面所成角的余弦值为13Rl=，A 正确；222 2hlRR=，因此圆锥1AO的高与母线长之比为2 23hl=，B 错误；圆锥1AO的侧面积与底面积之比23RllRR=，C 正确；球2O的体积与圆锥1AO的体积之比为3243212 23RRR=，D 正确.故选：ACD 11 ABC【解析】对于 A，因为C：24xy=的准线为l：1y=，焦点为()0,1F，设()00,A xy，则()0,1M x，()00,21N xy+，所以()()200000,2,240FM FNxxyyx=+=，所以90MFN=，（或由抛物线定义知AMANAF=，所以90MFN=，）故选项 A 正确；对于 C，因为2xy=，所以A处的切线斜率，02APxk=，而20000012242NFxyxkxx=，所以APNFkk=，2024 届高三第 6 次月考数学参考答案 第 2 页 共 4 页 从而APNF，即APNQ，所以 B 正确.又A是线段MN中点，所以P是线段MQ的中点，又90MFN=，所以PQPF=，所以 C 正确.对于 D，因为02NFxk=，所以直线FN的方程为012xyx=，令1y=，得04,1Qx，所以0000442 44MQxxxx=+=，当且仅当02x=时，最小值为 4，故选项 D 错误.故选：ABC 12 ABD【解析】：先证明()f x为奇函数。令xy=，则()00f=；令0 x=，则()()fyfy=，()f x为奇函数。再证明()f x是增函数。不妨设10 xy，则()()()1,0,1xyf xfyxy，()f x在()1,0为增函数，又()f x是奇函数，()f x在()1,1为增函数。令11,3 14xyyxy=，则71132x=，117134132ffff+=13.60 14.11【解析】：P(67X77)0.682 7，P(62X82)0.954 5，P(67Xn)0.818 60.954 50.954 50.682 72，n82，即 P(67X82)0.818 6，由已知，该班在67,82)内抽取了 11 人，他们的分数为 68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81。15.95,22+【解析】：当1n=时，1125bSa=，11424151baa=+，当2n 时，()()22162161227nnnnnannabSSn=44211112727nnnannb=，()2n 273a=，35a=，43a=，513a=，615a=，且6n 时，0na，340aa，560aa要使数列 na的变号数为2，则125410aa=+，解得9522aa 或16(1)4；(2)32【解析】（1）因为20 x，所以21221112211xxx+，又因为1212()1221211xxxf x=+=+，又因为2121xx+，所以21()211xxf x=+，所以21(211)1xxf x+=，又因为()cos(04)g xxx=，所以()1,1g x ，又因2()121xf x=+，可得()f x为奇函数且单调递增，作出两函数的()0,4内的大致图像，如图所示：(4)cos41g=，而函数()f x在()0,4上单调递增，且21(211)1xxf x+=，所以1(4)f，由此可知()()f xg x=在()0,4内有 4 个解所以()g x是()f x在()0,4的“4 重覆盖函数”；故n=4（本小问（本小问 2 2 分）分）（2）可得1122212()loglog(1)2121xxxf x=+的定义域为()0,+，即对任意0 x R，都有 2 个不同的实数)12,2,x x +，使得0()()ig xf x=（其中1,2,3,in n+=N），21x，1122102121212xxx+，所以201121x+，所以()1221()log0,21xxf x+=+，即()00122()()log(1)0,21ixg xf x=+，即对任意0k，()g xk=有 2个实根，当1x 时，2()logg xxk=已有一个根，故只需1x 时，()g xk=仅有 1 个根，当0a=时，()31g xx=+，符合题意，当0a 时，则需满足(1)223 10ga=+，解得203a，当0a 时，抛物线开口向下，()g x有最大值，不能满足对任意0k，()g xk=仅有 1 个根，故不成立 综上，实数 a 的取值范围是203，a 的最大值为23M=，则53sin(1)sin32M+=（本小问（本小问 3 3 分）分）17【解】（1）证明：因为 AC，BC，CD 两两垂直，BCCDC=，BC面 BCDE，CD 面 BCDE，所以 AC平面 BCDE.因为DE平面 BCDE，所以 ACDE.-1 1 分分 在直角梯形 BCDE 中，连结 CE.由2BCDCBE=且1BCBE=，2CD=，可得2CEDE=，222CEDECD+=，所以 DECE.因为ACCEC=，AC面 ACE，CE 面 ACE，所以 DE平面 ACE.-4 4 分分 （2）因为 AC，BC，CD 两两垂直，以点 C 为原点，直线 CA，CB，CD 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，#QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=#公众号：高中试卷君2024 届高三第 6 次月考数学参考答案 第 3 页 共 4 页 则()0,0,0C，()1,0,0A，()0,1,0B，()0,0,2D，()0,1,1E，所以()1,0,0CA=，()0,1,1CE=，()0,1,2BD=，设平面 ACE 的法向量为(),nx y z=，则有00n CAn CE=，得00 xyz=+=，取1z=，得()0,1,1n=，设直线 BD 与平面 ACE 所成角为，-6 6 分分 则()()()()2222220 0111 23 10sincos,10011012n BDn BDn BD+=+，-9 9 分分 故10cos10=，所以直线 BD 与平面 ACE 所成角的余弦值为1010.-1010 分分 18【解】（1）在ABC中，4B=，据余弦定理可得222222cos2bacacB acac=+=+-又2()bc ac=+，故22aaac=，由于0a，故()21ac=+，-4 4 分分 得21ca=,故sin21sinCA=；-5 5 分分（2）在ABC中，据余弦定理可得2222cosbacacB=+，又2()bc ac=+，故22cosaacBac=，又0a，故2 cosacBc=，故sin2sin cossinACBC=，sin2 is n cos)si(nBCCBC=+，sin coscos sin2sin cossinBCBCCBC+=，sinsi(n)BCC=,-7 7 分分 因为,(0,)A B C，所以),(BC，则BCC=或BCC+=，即2BC=或B=（舍），所以2BC=，-8 8 分分 23sin2cos3sin2cos212sin(2)16BCCCC+=+=+,)3(ABCC+=,因为ABC是锐角三角形，所以03202202CCC，得C64，-1010 分分 22C263+,故3sin(2),162C+,()2sin(2)131,36C+，故()23sin2cos31,3BC+-1212 分分 -19.【解】：（1）60059275,7488xy=，则()12143837.28 75 74693.8niiiniix ynxybxx=-3 3 分分 所以746 75524aybx=+=，所以4652yx=+；-4 4 分分 当84x=时，代入4652yx=+，得到20y=，所以 2024 年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次 -6 6 分分 （2）X服从超几何分布，可取 0，1，2 -7 7 分分 0326385014C CPC=（X）;12263815128C CPC=（X）;2126383228C CPC=（X）-9 9 分分 分布列略 所以515330121428284=+=E（X)-1212 分分 20【解】（1）123nnnaa+=+，故1113222nnnnnnaa+=+，且2nnnab=，故11322nnnbb+=+，1132nnnnbb+=，-3 3 分分 121232nnnnbb+=，则()211312nnnnbbnbb+=，故1nnbb+是公比为32的等比数列；-5 5 分分（2）由(1)可知1133134222nnnnbb+=，()()()()11232211nnnnnbbbbbbbbbb=+1221133331222222nn=+1331221131322212nn=+=，-7 7 分分 313222nnnnnnaa=，132nnnc=，1032nnnc=，故11nTT=当3n时，13 113131391222228nnn=，故132nn，1322 3nnnna=，故当3n时，111322 3nnnnc=，-9 9 分分 故123111115182 3nnnTcccc=+2211118316111115512313nn=+=+，故1177151260nT +=-1212 分分 2024 届高三第 6 次月考数学参考答案 第 4 页 共 4 页 21【解】（1）不妨设椭圆上任意一点()000,2 2Q xyx，且2200184xy+=，此时半径minrCQ，又()()()22222200000111423322xCQxyxx=+=+=+，当x0=2 时取等号.-3 3 分分 所以min3rCQ=，所以r的取值范围为()0,3；-5 5 分分 （2）过点()0,2P作圆C的两条切线，当两条切线均存在斜率时，设()()()()12112234,0,0,PAPBkk kkN x yM xySyTy=，经过点P的直线l的方程为2ykx=+，则2|2|1krk+=+，整理得()2221440rkkr+=，所以有212122244,11rkkk krr+=又以PC为直径的圆的方程为()22211451224xy+=则直线AB的方程为()()22222521114xxyyr+=+，整理得2210 xyr+=，令0 x=得2312ry=，即220,1Sr，-7 7 分分 联立222184ykxxy=+=，消去y得()221280kxkx+=，所以1212221288,1212kkxxkk=+，即22221122221212824824,12121212kkkkNMkkkk+，不妨设直线MN的方程为ytxm=+，则2112211222222224812122481212kktmkkkktmkk=+=+，整理得()()2112222482024820mktkmmktkm+=+=，所以12,k k为方程()224820mktkm+=的两个根，-9 9则1 2224mk km=+，又212241rk kr=，所以2224241rmmr=+，解得226187rmr=，此时222234221161814818722727rrrSTyymrrr=+1|182 48|94 32=，当且仅当224877rr=，即23r=时取等号，当两条切线中一条斜率不存在时，1r=，此时,PA即y轴，此时()()0,20,0,ST，294 3ST=，-1111 分分 综上ST的最大值为94 3，此时23r=.-1212 分分 22【解】：（1）由sinyx=得cosyx=，切线得斜率为2cos42=，切点242（，），切线方程为：22(224yx=)，令222 40,(24224xy=得)+；令40,144yx=+=得，故切线与坐标轴围成的三角形面积为212 442(4)()224464S=;-3 3 分分（2）先证明0,0ab。由0 x=满足sin xaxb+知0b；令*2,xkkN=，则20,2bakbak+对kN+恒成立，0a。故0,0ab。再证明00,2x。由sinyx=在()000 xxx=处的切线方程为()00000000000cossincos,cos0,sincoscostan0yxxxxxaxbxxxxxx=+=，00tan0 xx，构造函数()tan,(0,)2f xxx x=，则22222sincossin1 cos(),()10coscoscosxxxxf xx fxxxx+=，()tan(0,)2f xxxx=在上单调递增，()(0)0,f xf=tan0 xx，0(0,)2x，当00,2x=也合。综上，00,2x。-7 7 分分（3）20000sincoscosabxxxx=。令()21sin2cos,0,22f xxxx x=，则()()sin cos2tanfxxxxx=。令()2tan,0,2g xxx x=，则()221cos22coscosxgxxx=，当0,4x时，()()0,gxg x单调递增，当,4 2x 时，()()0,gxg x单调递减，又()00g=，若tan2,(0,),arctan22=则记，()5arctan20,012gg，所以存在唯一()()5arctan2,0,012sg sfs=，-9 9 分分 当()0,xs时，()()()0,0,g xfxf x单调递增，当,2xs时，()()()0,0,g xfxf x单调递减；()()2max11111 1sin2cossin2sin cossin2,22248 5f xf ssssssss=510,24ab，故正整数m的最小值为 2.-1 12 2 分分