奥数拓展第八讲：数与形-数学2024五年级上册含答案.pdf

奥数拓展第八讲：数与形-数学2024五年级上册 奥数拓展第八讲：数与形-数学2024五年级上册 一、选择题一、选择题 1 第 5 个点阵有（）个点。A16 B18 C21 2在 2022 年元旦联欢会上，五（1）班举行了用火柴棒摆“金鱼”比赛。按照下面的规律摆下去，摆 8 条“金鱼”需要（）根火柴棒。A50 B38 C26 D62 3用黑白两颜色的正六边形地面砖按如右图所示的规律拼成若干个图案：像这样继续摆下去，摆第 n 幅图案共用（）个白色地面砖。A6n B4n1 C14n D24n 4按照下面的规律摆图形，第 n 幅图需要小棒（）根。A4n B43n+C31n+D2n2+5摆一个三角形用 3 根小棒，增加 1 个三角形，多用 2 根小棒。摆 a 个三角形共用（）根小棒。A32a B2a1 C13a 6如下图，淘气用小棒摆图形，他摆一个五边形用了 5 根小棒，摆 2 个五边形用了 9 根小棒，照这样摆下去，摆 n 个五边形需要（）根小棒。A5n B4n C5n1 D4n1 二、填空题二、填空题 7笑笑像这样摆 10 个，需要()根小棒。8如下表所示，用若干个相同的小正方体摆在一起，按照这样的摆法，请完成下表。正方体个数 1 2 3 4 n（n3）图形 露在外面小正方形的个数 5 9 13()()9观察下面每个图中圆的排列规律，再填空。135791113()()()。10先观察下列图形的规律，再填空。第 8 个图形由（）个小三角形组成的。11如下图是用棋子摆成的“上”字，如果照这样的规律摆下去，摆第 5 个“上”字需要()枚棋子，摆 第 20 个“上”需要()枚棋子，126 枚棋子摆的是第()个“上”字。12填一填。(1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。121422 12321933 1234321()()()(2)根据发现的规律，计算 123448495049484321()。13一列分数：12、13、23、14、24、34、15，按规律，78是这列分数中的第()个。14下面是按照一定规律画出的一列“树型”图。经观察可以发现：图（2）比图（1）多出 2 个“树枝”，图（3）比图（2）多出 5 个“树枝”，图（4）比图（3）多出 10 个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出()个“树枝”。三、解答题三、解答题 15如果每个正方形的边长均为 3 厘米，那么如下图搭 6 层后图形的周长是多少？如果搭 20 层，那么周长又是多少呢？16餐桌中的规律。（1）根据摆放规律完成。桌子张数 1 2 3 4 7 可坐人数（）（）（）（）（）（2）按照上面的摆放规律，28 人聚餐，应摆放多少张桌子？17用小棒按照下图中的方式摆图形。（1）摆 1 个八边形需要多少根小棒？摆 2 个呢？摆 3 个呢？（2）照这样摆下去，摆 20 个八边形需要多少根小棒？（3）295 根小棒可以摆多少个八边形？18按下图中的方式摆放三角形积木，如果最下层放 21 块，那么共需放几层？19淘气和笑笑用小棒按下图的顺序摆八边形。（1）根据上图填表。八边形的数量 1 2 3 4 5 n 小棒的数量 8 15 22（）（）（）（2）如果摆成 7 个八边形，需要（）根小棒。（3）当 n20 时，需要多少根小棒？用 85 根小棒能摆多少个八边形？20点阵中的规律。第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 5 个 21 22 23 （）（）（1）请画出后面的图形并填空。（2）想一想，第 12 个图形一共有（）个点。（3）是否存在某个图形有 62 个点，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由。参考答案：参考答案：1B【分析】观察可知，点阵有 3 行，下边 1 行比上边 1 行多 1 个点，第几个点阵就从几开始依次 3 个数相加，据此分析。【详解】56718（个）第 5 个点阵有 18 个点。故答案为：B【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。2A【分析】通过观察，一个“金鱼”用 268（根）火柴棒，两个“金鱼”用 26614（根）火柴棒，三个“金鱼”用 266620（根）火柴棒，以此类推，即可得解。【详解】按照以上规律，摆 n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（26n）；所以摆 8 条“金鱼”需要火柴棒：268 248 50（根）摆 8 条“金鱼”需要 50 根火柴棒。故答案为：A【点睛】认真观察，发现规律是解决此题的关键。3D【分析】由图可知，第一个图案有 6 个白色地砖，第二个图案有 64 个白色地砖，第三个图案有 644个地砖，据此可以推断每次只需要增加 4 个白色地砖，第 n 个图案需要 64（n1）个白色地砖。【详解】64（n1）64n4 4n2（个）摆第 n 幅图案共用（4n2）个白色地砖 故答案为：D【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简。4C 【分析】观察图形，第 1 幅图搭一个小正方形需要 4 根小棒，第 2 幅图搭两个小正方形需要（43）根小棒，第 3 幅图搭三个小正方形需要（432）根小棒，每搭一个正方形，小棒数量比前一个多 3 根，依次类推，求出第 n 幅图搭 n 个这样的小正方形需要43（n1）根小棒。【详解】43（n1）43n31 433n（3n1）根 即第 n 幅图需要小棒（3n1）根。故答案为：C【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。5B【分析】观察图形可知，摆 1 个三角形用 3 根小棒，3112；摆 2 个三角形用 5 根小棒，5122；摆 3 个三角形用 7 根小棒，7132；摆 4 个三角形用 9 根小棒，9142，由此可得：小棒的根数1三角形的个数2，据此解答。【详解】小棒的根数1三角形的个数2，则摆 a 个三角形共用：（12a）或（2a1）根小棒。故答案为：B【点睛】本题考查数形结合问题。通过观察分析，发现小棒的根数和三角形的个数之间的关系是解题的关键。6D【分析】看图，每多摆一个五边形，需要再加 4 根小棒。摆一个五边形需要 1415（根）小棒，摆 2 个五边形需要 1429（根）小棒，摆 3 个五边形需要 14313（根）小棒，那么可以推测，摆 n 个五边形需要（14n）根小棒。【详解】14n4n1 所以，照这样摆下去，摆 n 个五边形需要（4n1）根小棒。故答案为：D【点睛】本题考查了图形的变化规律，有一定观察总结能力是解题的关键。731 【分析】摆需要 134（根）小棒；摆需要 1327（根）小棒；摆需要 13310（根）小棒；由此发现规律：摆 n 个需要（13n）根小棒。所以求摆 10 个需要的小棒根数，列式为 1310。【详解】1310 130 31（根）所以摆 10 个需要 31 根小棒。【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。8 17 4n1【分析】观察可知，1 个小正方体露出 5 个小正方形，2 个小正方体露出（54）个小正方形，3 个小正方体露出（542）个小正方形每增加 1 个小正方体就增加 4 个小正方形，那么 n 个小正方体露出54（n1）个小正方形，最后求出 n4 时式子的值，据此解答。【详解】n 个小正方体露出小正方形的数量：54（n1）54n4 4n54（4n1）个 当 n4 时。4n1 441 161 17（个）正方体个数 1 2 3 4 n（n3）图形 露在外面小正方形的个数 5 9 13 17 4n1 【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小正方体的数量和露出小正方形的数量之间的关系是解答题目的关键。9 49 7 7【分析】第一幅图有 1 个圆，用 111 表示；第二幅图有 4 个圆，由第一幅图加 3 个圆，用 13422表示；第三幅图 9 个圆，由第二幅图加 5 个圆，用 135933 表示。由此可知，第 n 幅图有（nn）个圆。根据加数的个数，135791113 是第 7 幅，有（77）个圆。【详解】通过分析可得：第 n 幅图有（nn）个圆，135791113 是第 7 幅，有（77）个圆。则 1357911134977。【点睛】本题考查数形结合问题。结合图形和算式，发现图形的序数与圆的个数之间的关系是解题的关键。105；5；7；64【分析】观察图形可知，第一个图中有 1 个三角形，可以写成 12；第二个图形有 134 个三角形，可以写成 22；第三个图形有 1359 个三角形，可以写成 32；第四个图形中有 135716 个三角形，可以写成 42第 n 个图形有 n2个三角形，据此解答即可。【详解】由分析可知：第 3 个图形：135；第 4 个图形：1357；第 8 个图形：135791113158264（个）【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。11 22 82 31【分析】第 1 个图形中有 6 枚棋子；第 2 个图形中有 6410 枚棋子；第 3 个图形中有 62414 枚棋子；据此归纳出一般规律，解答即可。【详解】第 1 个图形中有 6 枚棋子；第 2 个图形中有 6410 枚棋子；第 3 个图形中有 62414 枚棋子；第 4 个图形中有 63418 枚棋子；第 5 个图形中有 64422 枚棋子；第 n 个图形中有 6（n1）44n2；第 20 个图形中有 4202 802 82（枚）4n2126 4n124 n31【点睛】考查图形的规律性问题；判断出变化的量及不变的量是解决本题的突破点。12(1)16 4 4(2)2500 【分析】121422；12321933 由此可知，从 1 开始，连续自然数升序排列后再降序排列，它们的和是算式中最大自然数的平方，由此进行解答。【详解】（1）1234321，最大的是 4；12343211644（2）123448495049484321 中，最大的数是 50；1234484950494843212500【点睛】根据图形和算式，找出它们的规律是解答本题的关键。1328【分析】观察数列可知，分母是 2 的分数有 1 个，分母是 3 的分数有 2 个，分母是 4 的分数有 3 个，发现分母是 n 的分数有（n1）个，分子从 1 到 n1 依次排列，据此解答即可。【详解】由分析可知：分母是 2 的分数有 1 个，分母是 3 的分数有 2 个，分母是 4 的分数有 3 个，分母是 5 的分数有 4 个，分母是 6 的分数有 5 个，分母是 7 的分数有 6 个，分母是 8 的分数有 7 个；1234567（127）（46）（35）10108 208 28 则按规律，78是这列分数中的第 28 个。【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。1480【分析】由于图（2）比图（1）多出 2 个“树枝”，图（3）比图（2）多出 5 个“树枝”，5221；图（4）比图（3）多出 10 个“树枝”，102222，即 241233则图（5）比图（4）会多出：22222120个即 251253；由此即可知道图（7）比图（6）多出：271273，据此即可求解。【详解】由分析可知：图（7）比图（6）多出 271273 2624 80（个）所以图（7）比图（6）多出 80 个树枝。【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是找准它的变化规律是解题的关键。1572 厘米；240 厘米【分析】通过平移的方法求周长，根据可知，1 层的周长是由边长为 3 厘米的正方形周长组成，2 层的周长是由边长为（32）厘米的正方形周长组成，3 层的周长是由边长为（33）厘米的正方形周长组成，以此类推，n 层的周长是由边长为（3n）厘米的正方形周长组成。根据正方形的周长公式，用 3n4 即可求出 n 层的周长，据此解答。【详解】3n412n（厘米）根据题意可知，n 层的周长是 12n 厘米。当 n6 时，12672（厘米）当 n20 时，1220240（厘米）答：搭 6 层后图形的周长是 72 厘米；如果搭 20 层，那么周长是 240 厘米。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。16（1）见详解（2）12 张【分析】（1）根据图示，第一张桌子，有 6 个座位，第二张桌子，有 8 个座位，第三张桌子有 10 个座位，之后每增加一张桌子就增加 2 个座位，由此可得规律进行计算即可；（2）将 28 人代入上一问求出的规律，进行计算即可。【详解】由分析可得：（1）第一张桌子座位数：6 个 第二张桌子座位数：6（21）2 612 62 8（个）第三张桌子座位数：6（31）2 622 64 10（个）第四张桌子座位数：6（41）2 632 66 12（个）由此得出规律，桌子数量为：6（n1）2 62n2 2n4 据此填表：桌子张数 1 2 3 4 7 可坐人数 6 8 10 12 2n4（2）28 人聚餐，所以需要 28 个座位，即：2n428 2n44284 2n24 2n2242 n12 答：应摆放 12 张桌子。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现座位个数的变化规律，再根据规律去解决问题。17（1）8 根；15 根；22 根；（2）141 根；（3）42 个【分析】根据图示发现：摆 1 个八边形需要小棒：8 根；摆 2 个八边形需要小棒（87）根；摆 3 个八边形需要小棒（877）根；摆 n 个八边形需要小棒的根数是 87（n1）。据此解答。【详解】（1）8715（根）15722（根）答：摆 1 个八边形需要小棒 8 根；摆 2 个八边形需要小棒 15 根；摆 3 个八边形需要小棒 22 根。（2）根据分析可知，摆 n 个八边形需要小棒：87（n1）87n7（7n1）根 当 n20 时，2071 1401 141（根）答：摆 20 个八边形需要 141 根小棒。（3）7n1295解：7n112951 7n294 7n72947 n42 答：295 根小棒可以摆 42 个八边形。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。1811 层 【分析】观察题意可知，2 层的最下层有（21）个小三角形，3 层的最下层有（32）个三角形；4 层的最下层有（43）个小三角形以此类推，n 层的最下层小三角形个数是 n（n1）。据此解答。【详解】n（n1）nn1（2n1）个 根据分析可知，n 层的最下层是（2n1）个小三角形。2n121 解：2n11211 2n22 2n2222 n11 答：共需放 11 层。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。19（1）见详解（2）50（3）141 根；12 个【分析】（1）根据图分析，摆一个八边形用了 8 根小棒，摆两个八边形就多用了 7 根小棒，摆三个八边形就多了（72）根小棒，由此找到规律，据此填表；（2）7 个八边形，就是 n7，将其代入规律计算即可；（3）当 n20 时，将其代入规律计算即可；把 85 代入计算即可。【详解】由分析可得：（1）1 个八边形小棒数量：8 根 2 个八边形小棒数量：8715（根）3 个八边形小棒数量：872 814 22（根）n 个八边形小棒数量：87（n1）87n7 7n1 4 个八边形，即 n4，代入 7n1：741 281 29（根）5 个八边形，即 n5，代入 7n1：751 351 36（根）填表如下：八边形的数量 1 2 3 4 5 n 小棒的数量 8 15 22 29 36 7n1（2）7 个八边形，就是 n7，代入 7n1 771 491 50（根）如果摆成 7 个八边形，需要 50 根小棒。（3）当 n20 时，代入 7n1 7201 1401 141（根）7n185 7n11851 7n84 7n7847 n12 答：当 n20 时，需要 141 根小棒，用 85 根小棒能摆 12 个八边形。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现图形个数的变化规律，再根据规律去解决问题。20（1）见详解（2）24（3）存在；理由见详解。【分析】（1）第 1 个图需要点数：21 第 2 个图需要点数：22 第 3 个图需要点数：23 由此推出规律画图填空即可；（2）利用上一问的规律，求出第 12 个图形的点数填空即可；（3）将 62 代入求出的规律，计算说明。【详解】（1）第 1 个图需要 2 个点：212（个）第 2 个图需要 4 个点：224（个）第 3 个图需要 6 个点：236（个）第 4 个图需要点数：248（个）第 5 个图需要点数：2510（个）由此可以得出规律第 n 个图点数为：2n2n（个）画图和填空如下：第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 5 个 21 22 23 （24）（25）（2）第 12 个图形，即当 n12 时，代入 2n 12224（个）第 12 个图形一共有 24 个点。（3）某个图形有 62 个点，将其代入 2n，2n62 2n2622 n31 答：存在，是 31 个图形。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现圆圈个数的变化规律，再根据规律去解决问题。