2024届高考数学专项分布列概率的三大最值问题含答案.pdf
1分布列概率的三大最值问题题型解密题型解密题型一：二项分布的转化为数列问题求最值题型一：二项分布的转化为数列问题求最值当p给定时，可得到函数 f(k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，这个是数列的最值问题.pkpk1=Cnkpk(1p)nkCk1npk1(1p)nk+1=(nk+1)pk(1p)=k(1p)+(n+1)pkk(1p)=1+(n+1)pkk(1p).分析分析：当kpk1，pk随k值的增加而增加；当k(n+1)p时，pk pk1，pk随k值的增加而减少.如果(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时，pk=pk1，此时这两项概率均为最大值.如果(n+1)p为非整数，而k取(n+1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.注：注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.【精选例题】【精选例题】1 1 某人在11次射击中击中目标的次数为X，若XB 11,0.8，若P X=k最大，则k=()A.7B.8C.9D.102 2(多选题)下列选项中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布B 10,12，则D 2X=5B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望E X=75C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为=1,2,3,4,5,6，令事件A=2,3,4，事件B=1,2，则事件A与事件B相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次3 3 高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间(x小时/周)00 x0.50.51人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；2024届高考数学专项分布列概率的三大最值问题含答案2(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P X=k表示这10名学生中恰有k kN N,0k10名学生数学阅读时间在 0,0.5小时的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值【题型专练】【题型专练】1(多选题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，下列选项中正确的是()A.XB 12,0.8B.E X=9.6C.D 2X=3.84D.该同学投篮最有可能命中9次2若随机变量X服从二项分布B 15,14，则使P X=k取得最大值时，k=3已知随机变量XB 6,0.8，若P X=k最大，则D kX+1=4一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种则当n=时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为35小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在3,6(单位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3,6(单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.4题型二：二项分布的转化为导数问题求最值题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k给定时，可得到函数 f(p)=Cknpk(1p)nk,p(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：分析：f(p)=Cknkpk1(1p)nkpk(nk)(1p)nk1=Cknpk1(1p)nk1k(1p)(nk)p=Cknpk1(1p)nk1(knp).当k=1,2,n1时，由于当 p0，f(p)单调递增，当 pkn时，f(p)0，f(p)单调递减，故当 p=kn时，f(p)取得最大值，f(p)max=fkn.又当 p0,f(p)1，当 p0时，f(p)0，从而 f(p)无最小值.【精选例题】【精选例题】1 1(2018年全国1卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p0，yk0，k=1,2,n,nk=1xk=nk=1yk=1指标D(XY)可用来刻画 X和Y的相似程度，其定义为D(XY)=nk=1xklnxkyk设XB(n,p),0p1(1)若YB(n,q),0q1，求D(XY)；(2)若n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3，求D(XY)的最小值；(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(XY)0，并指出取等号的充要条件6【跟踪训练】【跟踪训练】1某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品顾客每次抽奖是否中奖相互独立(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p记中奖2次的概率为f(p)，求 f(p)取得最大值时，p的值p0(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为p0，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由72某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0p kN 时，1；当 an kN 时，1，即当 N ank时，hk(N)是关于 N 的减函数.所以当N=ank时，hk(N)达到最大值.【精选例题】【精选例题】1 1设随机变量 X H(10,M,1000)(2 M 992 且 M N N)，H(2;10,M,1000)最大时，E(X)=()A.1.98B.1.99C.2.00D.2.012 2(2023届四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出 500 尾鱼，X 表示捞出的 500 尾鱼中有标识的鱼的数目(1)若N=5000，求X的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)9【跟踪训练】【跟踪训练】12023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有N(N30)名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).(1)若甲是这N名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925，求N;(2)求使P(X=30)取得最大值时的整数N.10考点过关练考点过关练1随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率；(2)证明：数列 Pn-35 为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数X，用P X=k表示这100名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值.112某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量Xii=1,2,5表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi的观测值xii=1,2,5绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p p 0,1，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记Ai为事件“Xi=xii=1,2,5”.(1)写出P A1(用p表示，组合数不必计算)；(2)研究团队发现概率p与参数(01)之间的关系为p=122-56+1945.在统计学中，若参数=0时的p值使得概率P A1A2A3A4A5最大，称0是的最大似然估计，求0.123N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率达到95%以上某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率服从正态分布N 0.97,9.02510-5(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率为936%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据(2)该厂将对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率达到951%以上的N95型口罩定义为“优质品”()求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；()该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记X为这1000只口罩中“优质品”的件数，当X为多少时可能性最大(即概率最大)？134汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码x x=t-201612345销量y/万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车若w=95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人)；设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 f p，求当w为何值时，f p最大附：y=bx+a为回归方程，b=ni=1xiyi-nxyni=1x2i-nx2，a=y-bx145学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，13李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 f p求p为何值时，f p取得最大值156某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)第一阶梯不超过228的部分3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式；(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P k，求P k取最大值时的值167某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若将频率视为概率，求至少有两户购买量在 3,4(单位：kg)的概率是多少？若抽取的5户中购买量在 3,6(单位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在 3,6(单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.178某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是p(0p1)，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立(1)记10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是 f(p)，求当概率p取何值时，f(p)有最大值？(2)若以(1)中确定的p值作为感染H型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是g(k)，求当k为何值时，g(k)有最大值？1分布列概率的三大最值问题题型解密题型解密题型一：二项分布的转化为数列问题求最值题型一：二项分布的转化为数列问题求最值当p给定时，可得到函数 f(k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,n，这个是数列的最值问题.pkpk1=Cnkpk(1p)nkCk1npk1(1p)nk+1=(nk+1)pk(1p)=k(1p)+(n+1)pkk(1p)=1+(n+1)pkk(1p).分析分析：当kpk1，pk随k值的增加而增加；当k(n+1)p时，pk pk1，pk随k值的增加而减少.如果(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时，pk=pk1，此时这两项概率均为最大值.如果(n+1)p为非整数，而k取(n+1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.注：注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.【精选例题】【精选例题】1 1某人在11次射击中击中目标的次数为X，若XB 11,0.8，若P X=k最大，则k=()A.7B.8C.9D.10【答案】C【详解】因为P X=k=Cknpk1-pn-k，若P X=k最大，则P X=kPX=k+1P X=kPX=k-1，化简得：np+p-1knp+p，kN.代入已知数值得：8.6k9.6，所以k=9 时P X=k最大.故选：C.2 2(多选题)下列选项中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布B 10,12，则D 2X=5B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望E X=75C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为=1,2,3,4,5,6，令事件A=2,3,4，事件B=1,2，则事件A与事件B相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC【详解】A选项，XB 10,12，D X=1012 1-12=52，D 2X=4D X=10，A错误；B选项，X服从超几何分布，N=10，M=7，n=2，E X=np=nMN=2710=75；C选项，P A=12，P B=13，AB=2，P AB=16=P AP B，A，B相互独立；D选项，设9次射击击中k次概率P X=k=Ck90.8k0.29-k最大，则Ck90.8k0.29-kCk-190.8k-10.210-kCk90.8k0.29-kCk+190.8k+10.28-k，解得27k8，P(X=7)=P(X=8)同时最大，故k=7或8，D错误故选：BC3 3高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间(x小时/周)00 x0.50.51人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P X=k表示这10名学生中恰有k kN N,0k10名学生数学阅读时间在 0,0.5小时的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值【答案】(1)815；(2)4【分析】(1)抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为C14C16C210=815(2)周阅读时间在 0,0.5小时的频率为25，故概率为25，则kB 10,25，所以P(k)=Ck1025k3510-k，由P(k)P(k+1)P(k)P(k-1)得：Ck1025k3510-kCk+11025k+1359-kCk1025k3510-kCk-11025k-13511-k，化简得Ck1035Ck+11025Ck1025Ck-11035；解得175k225，又kZ，故k=4，【题型专练】【题型专练】1(多选题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，下列选项中正确的是()A.XB 12,0.8B.E X=9.6C.D 2X=3.84D.该同学投篮最有可能命中9次【答案】AB【详解】由二项分布的定义可知，XB 12，0.8，E X=120.8=9.6，D 2X=22D X=4120.8 1-0.8=7.68，故AB正确，C错误；设该同学投篮最有可能命中m次，则P(X=m)P(X=m+1)P(X=m)P(X=m-1)Cm120.8m0.212-mCm+1120.8m+10.211-mCm120.8m0.212-mCm-1120.8m-10.213-m，即475m525，因为m为正整数，所以m=10，故D错误；故选：AB32若随机变量X服从二项分布B 15,14，则使P X=k取得最大值时，k=【答案】3或4【详解】依题意0k15,kN，依题意P X=k=Ck1514k 1-1415-k=Ck1514k315-k415-k=1415Ck15315-k，P X=0=1415C015315=3415,P X=1=1415C115314=53415，P X=15=1415，P X=15P X=0C37127=35128.所以，当n=5或n=6时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516故答案为：5或6，516.5小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.4(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在3,6(单位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3,6(单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.【答案】(1)答案见解析；(2)k=3.【详解】(1)随机变量所有可能的取值为0，1，2.则P=0=C33C35=110，P=1=C23C12C35=35，P=2=C13C22C35=310，012P 11035310所以E=135+2310=65.(2)根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.10+2.50.30+3.50.25+4.50.20+5.50.15=3.5(kg)，则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为 4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p=0.20+0.15=0.35.若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则XB 10,0.35，若k户的可能性最大，则P X=k=Ck10pk1-p10-k，k=0,1,10，P X=kPX=k-1P X=kPX=k+1，得Ck100.35k0.6510-kCk-1100.35k-10.6511-kCk100.35k0.6510-kCk+1100.35k+10.659-k，即7 11-k13k13 k+17 10-k，解得2.85k3.85，由于kN N，故k=3.题型二：二项分布的转化为导数问题求最值题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k给定时，可得到函数 f(p)=Cknpk(1p)nk,p(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：分析：f(p)=Cknkpk1(1p)nkpk(nk)(1p)nk15=Cknpk1(1p)nk1k(1p)(nk)p=Cknpk1(1p)nk1(knp).当k=1,2,n1时，由于当 p0，f(p)单调递增，当 pkn时，f(p)0，f(p)单调递减，故当 p=kn时，f(p)取得最大值，f(p)max=fkn.又当 p0,f(p)1，当 p0时，f(p)0，从而 f(p)无最小值.【精选例题】【精选例题】1 1(2018年全国1卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p0；当p 0.1,1时，fp400，故应该对余下的产品作检验.2 2设离散型随机变量 X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为 P X=ak=xk，P Y=ak=yk，xk0，yk0，k=1,2,n,nk=1xk=nk=1yk=1指标D(XY)可用来刻画 X和Y的相似程度，其定义为D(XY)=nk=1xklnxkyk设XB(n,p),0p1(1)若YB(n,q),0q0，令 p=1p+11-p-2ln2，则p=2p-1p21-p2，当0p12时，p0，p单调递减；当12p0，p单调递增；所以 p12=4-2ln20，则g(p)单调递增，而g12=0，所以 f(p)在 0,12为负数，在12,1为正数，则 f(p)在 0,12单调递减，在12,1单调递增，所以D(XY)的最小值为ln3-32ln2.(3)令h x=lnx-x+1，则hx=1x-1=1-xx，当0 x0，h x单调递增；当x1时，hx0时，lnxx-1，所以ln1x1x-1，即lnx1-1x，故D(XY)=nk=1xklnxkyknk=1xk1-ykxk=nk=1xk-yk=nk=1xk-nk=1yk=0，当且仅当对所有的k,xk=yk时等号成立.【跟踪训练】【跟踪训练】1某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品顾客每次抽奖是否中奖相互独立(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p记中奖2次的概率为f(p)，求 f(p)取得最大值时，p的值p0(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为p0，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由【答案】(1)p0=23；(2)选择规则二更有利，理由见解析【详解】(1)由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率 f p=C23p21-p=-3p3+3p2(0p0，则 f(p)单调递增，当p23,1时，f(p)30，所以该顾客选择规则二更有利2某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0p1)，12，且各局比赛互不影响.(1)若p=23，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为 f p，试问当p为何值时，f p取得最大值.【答案】(1)分布列见解析，E(X)=236；(2)p=35【详解】(1)由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.因为p=23，所以P(X=2)=1312=16，P(X=3)=1312=16，P(X=4)=2312=13，P(X=5)=2312=13.故X的分布列为X2345P16161313E(X)=216+316+413+513=236.(2)设一天得分不低于4分为事件A，则P(A)=p2+p2=p，则 f(p)=C35p3(1-p)2=10p3(1-p)2,0p1，则 f(p)=30p2(1-p)2-20p3(1-p)=10p2(1-p)(3-5p).当0p0；当35p1时，f(p)kN 时，1；当 an 8kN 时，1，即当 N ank时，hk(N)是关于 N 的减函数.所以当N=ank时，hk(N)达到最大值.【精选例题】【精选例题】1 1设随机变量 X H(10,M,1000)(2 M 992 且 M N N)，H(2;10,M,1000)最大时，E(X)=()A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01【答案】C【详解】随机变量XH(10,M,1000)，则H 2;10,M,1000=P X=2=C2MC81000-MC101000，因H(2;10,M,1000)最大，则有H(2;10,M,1000)H(2;10,M+1,1000)H(2;10,M,1000)H(2;10,M-1,1000)，即C2MC81000-MC101000C2M+1C8999-MC101000C2MC81000-MC101000C2M-1C81001-MC101000，M(M-1)2(1000-M)!8!(992-M)!M(M+1)2(999-M)!8!(991-M)!M(M-1)2(1000-M)!8!(992-M)!(M-1)(M-2)2(1001-M)!8!(993-M)!，整理得(M-1)(1000-M)(M+1)(992-M)M(993-M)(M-2)(1001-M)，解得199.2M200.2，而MN N，则M=200，所以E(X)=10M1000=102001000=2.00.故选：C2 2(2023届四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出 500 尾鱼，X 表示捞出的 500 尾鱼中有标识的鱼的数目(1)若N=5000，求X的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)解析：(1)依题意X服从超几何分布，且N=5000,M=200,n=500，故E(X)=NMn=5002005000=20(2)当NN2-683N-684，当且仅当Na(N)；当N6666时，a(N+1)930)名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).(1)若甲是这N名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925，求N;(2)求使P(X=30)取得最大值时的整数N.解析：(1)记A=“甲被抽中”,Ai=“第i次被抽中”(i=1,2),则P(A)=P A1A2=C20N-1C20NC20N-1C20N=N-20NN-20N=1625,解得：N=100(2)由于P(X=30)=C20NC10N-20C1020C20NC20N=C10N-20C1020C20N，记 f(N)=C10N-20C20N,即求 f(N)在何时取到最大值，下面讨论 f(N)的单调性：f(N+1)f(N)=C10N-19C20NC20N+1C10N-20=(N-19)!10!(N-29)!N!20!(N-20)!(N+1)!20!(N-19)!10!(N-30)!=(N-19)(N-19)(N+1)(N-29)1解得N39，所以，当N=39或40时,P(X=30)取到最大值.考点过关练考点过关练1随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率；(2)证明：数列 Pn-35 为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数X，用P X=k表示这100名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率，求P X=k取最大值时对应的k的值.【答案】(1)23；(2)证明见解析；(3)3310【分析】(1)根据题意结合全概率公式运算求解；(2)根据题意结合全概率公式可得Pn+1=-14Pn+34，结合等比数列的定义分析证明；(3)根据题意分析可得XB 100,13，结合二项分布的概率公式列式求解.【详解】(1)设B1=“第1天选择B套餐”，B2=“第2天选择B套餐”，则B1=“第1天不选择B套餐”.根据题意可知：P B1=23,P B1=13,P B2B1=12,P B2B1=34.由全概率公式可得P B2=P B1P B2B1+P B1P B2B1=1312+2334=23.(2)设Bn=“第n天选择B套餐”，则Pn=P Bn,P Bn=1-Pn，根据题意P Bn+1Bn=12,P Bn+1Bn=34.由全概率公式可得Pn+1=P Bn+1=P BnP Bn+1Bn+P BnP Bn+1Bn=12Pn+341-Pn=-14Pn+34，整理得Pn+1-35=-14Pn-35，且P1-35=-4150，所以 Pn-35 是以-415为首项，-14为公比的等比数列.(3)第二天选择A类套餐的概率PA=2314+1312=13由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为13，则不选择A类套餐的概率为23，所以XB 100,13，则P X=k=Ck10013k23100-k,k=0,1,2,100，当P X=k取最大值时，则P X=kPX=k+1P X=kPX=k-1，即Ck10013k23100-kCk+110013k+12399-kCk10013k23100-kCk-110013k-123101-k，解得32.6k33.6，且kN，所以k=33.2某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量Xii=1,2,5表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi的观测值xii=1,2,5绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p p 0,1，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记Ai为事件“Xi=xii=1,2,5”.11(1)写出P A1(用p表示，组合数不必计算)；(2)研究团队发现概率p与参数(01)之间的关系为p=122-56+1945.在统计学中，若参数=0时的p值使得概率P A1A2A3A4A5最大，称0是的最大似然估计，求0.【答案】(1)P A1=C210p2(1-p)8；(2)13【分析】(1)由题知随机变量X1B 10,p，然后利用二项分布的概率公式求解；(2)设事件A=A1A2A3A4A5，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出P(A)，令g p=lnP A，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的p，代入p=122-56+1945中可求得0.【详解】(1)由题知随机变量X1B 10,p，所以P A1=C210p2(1-p)8.(2)设事件A=A1A2A3A4A5，由题图可知x1=2,x2=1,x3=1,x4=3,x5=3，则P A=C210p2(1-p)8 C110p(1-p)92 C310p3(1-p)72，即P A=C1102C210C3102p10(1-p)40.设g p=lnP A=lnC1102C210C3102+10lnp+40ln 1-p,p 0,1，则gp=10p-401-p=10-50pp 1-p，所以当0p0，所以g p在 0,15上单调递增；当15p1时，gp0，所以g p在15,1上单调递减；所以当p=15时，g p取得最大值，即P A取得最大值，所以1220-560+1945=15，即920-150+4=0，解得0=13或0=43，因为001，所以0=13.【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第(2)问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出P A1A2A3A4A5，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.3N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效12率达到95%以上某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率服从正态分布N 0.97,9.02510-5(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率为936%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据(2)该厂将对空气动力学直径0.3m的颗粒的过滤效率达到951%以上的N95型口罩定义为“优质品”()求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；()该企业生产了1000只这种N
