(6)--2.3拉普拉斯反变换-2.3.1拉普拉斯反变换及其方法.ppt

机械工程控制基础机械工程控制基础2.3拉普拉斯反变换及其方法拉普拉斯反变换及其方法定义：将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：简写为简写为：拉普拉斯反变换的定义方法：拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用分解和部分分式展开法部分分式展开法。1如果把 f(t)的拉氏变换 F(s)分成各个部分之和，即 假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：式中A(s)和B(s)是s的多项式，B(s)的阶次较A(s)阶次要高。对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s)应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s)的拉氏反变换函数。拉普拉斯反变换的方法 当 A(s)的阶次高于 B(s)时，则应首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。2部分分式展开法部分分式展开法 将分母 B(s)进行因子分解，写成：式中，p1，p2，pn称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。拉普拉斯反变换的方法 (1)(1)分母分母B B(s s)无重根无重根 此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,n)是常数，系数 ak 称为极点 s=-pk 处的留数。拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法 ak 的值可以用在在等等式式两两边边乘乘以以 (s s+p pk k)，并并把把 s s=-p pk k代代入入的的方方法法求出。即2部分分式展开法部分分式展开法拉普拉斯反变换的方法 在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余项都消失了，因此留数 ak 可由下式得到 因为 f(t)时间的实函数，如 p1 和 p2 是共轭复数时，则留数 1 和 2也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数1(或2)，而另一个复留数 2(或 1)，自然也知道了。拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法例1 求F(s)的拉氏反变换，已知解由留数的计算公式，得查拉氏变换表，得拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法例2 求L-1F(s)，已知解：分母多项式可以因子分解为进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式由于2与1共轭，故拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法解解：带入1和2得：例例2 求L-1F(s)，已知拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法 (2)(2)分母分母B B(s s)有重根有重根 若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法 (2)分母B(s)有重根 依此类推，当 p1 为 k 重根时，其系数为：拉普拉斯反变换的方法2部分分式展开法部分分式展开法例3 已知F(s)，求L-1F(s)。解由上述公式拉普拉斯反变换的方法部分分式展开法部分分式展开法例3 已知F(s)，求L-1F(s)。解拉普拉斯反变换的方法部分分式展开法部分分式展开法查拉氏变换表，有 利用拉氏变换解微分方程的步骤：(1)对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为 s s 变量的代数方程。(2)对以 s s 为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间 t t 为参变量）微分方程的解。拉普拉斯反变换的方法例题 解方程其中：解：将方程两边取拉氏变换，得将 代入，并整理，得所以所以拉普拉斯反变换的方法