广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷含答案.pdf

第 1 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线1过(2,2 3)，(4,0)两点，且1 2，则直线2的倾斜角为()A.6 B.3 C.23 D.56 2.已知双曲线：2222=1(0,0)的离心率为 5，则的渐近线方程为()A.=2 B.=2 C.=12 D.=3.“=3”是“直线+2+3=0和直线3+(1)+7=0平行”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.是双曲线24212=1上一点，点1，2分别是双曲线左右焦点，若|1|=5，则|2|=()A.9或1 B.1 C.9 D.9或2 5.已知圆：2+2=1，直线：=2+相交，那么实数的取值范围是()A.(3,1)B.(,5)C.(5,+)D.(5,5)6.已知1、2是椭圆的两个焦点，满足1 2的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,12)B.(0,22)C.(12,22)D.(22,1)7.已知椭圆方程为22+22=1(0,0)，其右焦点为(4,0)，过点的直线交椭圆与，两点若的中点坐标为(1,1)，则椭圆的方程为()A.245+236=1 B.212+24=1 C.224+28=1 D.218+29=1 8.已知直线：(1)+(+1)3+1=0与圆：2+2=30交于，两点，当|最小时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则|=()A.8 5 B.9 5 C.10 5 D.11 5 二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知方程24+21=1表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是()A.当1 4或 1时，曲线是双曲线 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则1 4 10.下列说法正确的是()A.直线+3+2=0的倾斜角的范围是0,6 56,)B.直线(3+)+4 3+3=0()恒过定点(3,3)C.曲线1：2+2+2=0与曲线2：2+2 4 8+=0恰有三条公切线，则=4 D.方程(+4)2+2 (4)2+2=6表示的曲线是双曲线的右支 11.已知双曲线：29216=1的焦点分别为1，2，则下列结论正确的是()A.渐近线方程为3 4=0 B.双曲线与椭圆225+29=1的离心率互为倒数 C.若双曲线上一点满足|1|=2|2|，则 12的周长为28 D.若从双曲线的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 12.已知椭圆：22+22=1(0)的左、右焦点分别为1(3,0)，2(3,0)，过点2且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且|=1，点在该椭圆上，则下列说法正确的是()A.存在点，使得12=90 B.若12=60，则12=33 C.满足 12为等腰三角形的点只有2个 D.|1|2|的取值范围为2 3,2 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.与椭圆212+23=1有公共焦点，且离心率为32的双曲线方程为_ 14.求圆2+2 4+3=0上的动点到直线3 4 2=0距离的最大值_ 15.已知双曲线22=1(0,0)和椭圆25+24=1有相同的焦点，则1+4的最小值为_ 16.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点(0,2)射出的两条光线与：2+2=1分别相切于点，称两射线，上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点(,2)为圆心，为半径的圆处于 的“背面”，则的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 3 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题10分)已知菱形中，(4,7)，(2,3)，边所在直线过点(5,9).求：(1)边所在直线的方程；(2)对角线所在直线的方程 18.(本小题12分)已知圆：2+2+2 4 4=0(1)从圆外一点(2,1)向圆引切线，求切线方程；(2)若圆2：2+2=4与圆相交于、两点，求线段的长 19.(本小题12分)如图，在三棱柱 111中，平面11，已知1=3，=1，=1=2，点是棱1的中点(1)求证：1 平面；(2)求平面1与平面11夹角的余弦值；20.(本小题12分)已知圆1：(+3)2+2=9，2：(3)2+2=1，动圆与圆1，2均外切，记圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)斜率为4的直线过点2，且与曲线交于，两点，求 1的面积 21.(本小题12分)已知椭圆：22+22=1(0)的离心率为12，左、右焦点分别为1，2，为坐标原点，且|12|=4(1)求椭圆的方程；(2)已知过点(2,0)的直线与椭圆交于，两点，点(8,0)，求证：+=0 22.(本小题12分)已知椭圆：22+22=1(0)的左焦点为(2,0)，点(2,63)在上(1)求椭圆的方程；(2)过的两条互相垂直的直线分别交于，两点和，两点，若，的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标 第 4 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】【解析】解：因为直线1过(2,2 3)，(4,0)两点，可得1=02 342=3，又因为1 2，所以1 2=3 2=1，可得2=33，设直线2的倾斜角为，则=33，因为 (0,)，所以=6，所以直线2的倾斜角为6 故选：先利用斜率公式求得直线1的斜率，结合1 2，求得2=33，得到=33，即可求解 本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题 2.【答案】【解析】解：由题意，=5，则22=2+22=5，即2=42，解得22=4，=2，的渐近线方程为=2 故选：由已知结合双曲线的几何性质求得，则答案可求 本题考查双曲线的几何性质，是基础题 3.【答案】【解析】解：当=3时，两直线分别为：3+2+9=0，3+2+7=0，两直线斜率相等，则平行且不重合 若两直线平行且不重合，则3=2137 =3或=2，综上所述，=3是两直线平行的充分不必要条件 故选：分别当=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围 本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题 第 5 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 4.【答案】【解析】解：是双曲线24212=1上一点，点1，2分别是双曲线左右焦点，|1|=5，所以=2=4，由双曲线定义可知|1|2|=2=4，所以|2|=1或者9，又|2|=2，所以|2|=9 故选：根据双曲线的定义即可求解结论 本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题 5.【答案】【解析】解：圆：2+2=1的圆心为(0,0)，半径为1，直线：=2+，由于圆与直线相交，所以|5 1，解得 5 5 故选：求出圆的圆心与半径，结合已知条件列出不等式，求解即可 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，是基础题 6.【答案】【解析】解：因为1 2，故在12为直径的圆上，即2+2=2，圆在椭圆内部，故 ，2=22=22+222+2=12，故 (0,22)故选：在12为直径的圆上，即2+2=2，根据 0 1 04 1，解得1 52或52 4，故 A 错误；当曲线是双曲线时，(4 )(1)4或 0 1 04 1，解得1 0 1 0 1 4 ，解得52 0，即 20，且两圆的位置关系为外切，曲线1：(+1)2+2=1，圆心1(1,0)，半径1=1，曲线2：(2)2+(4)2=20 ，圆心2(2,4)，半径2=20 ，故圆心距=|12|=(2+1)2+42=5=20 +1，解得：=4，故 C正确；对于，设(,)，(4,0)，(4,0)，则方程等价为|=6 0,0)的两个焦点，因此+=1，最后使用基本不等式中“1”的代换，于是就有1+4=(1+4)(+)=+4+5 2 4+5=9(当且仅当=2时取等号)，因此1+4的最小值为9 故答案为：9 先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到+=1，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将1+4化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值 本题考查椭圆和双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题 16.【答案】11 4 6 【解析】解：如图，设过点的切线方程为=2，所以|2|1+2=1，解得=3，所以直线的方程为=3 2，即 3 2=0，令=2，解得=4 33，直线的方程为=3 2，即 3+2=0，令=2，解得=4 33，因为圆：()2+(2)2=2处于圆的“背面”，所以 (4 33,4 33)当圆与圆外切且圆与(或)相切时，取最大值，第 11 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 由圆与圆外切得 2+4=+1，圆与相切时|34|2=又 (4 33,4 33)，所以4 32=，所以=42 3，即2 22+25=0，解得=11+4 6或=11 4 6，结合 (4 33,4 33)，所以=11 4 6，所以的最大值为11 4 6，同理圆与相切时的最大值为11 4 6，综上可得的最大值为11 4 6 故答案为：11 4 6 设过点的切线方程为=2，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得到直线、的方程，从而求出的取值范围，当圆与圆外切且圆与(或)相切时，取最大值，从而求出的最大值，即可得解 本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题 17.【答案】解：(1)因为边所在直线过点(5,9)，所以直线的方程为：+3=9(3)52(2)，即4 11=0，在菱形中可知/，所以设直线的方程为4 +=0，将点(4,7)代入4 (4)7+=0，所以=23，所以直线的方程为：4 +23=0；(2)由题意可得线段的中点(4+22,3+72)，即(1,2)，=7(3)42=53，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的斜率为35，所以所在的直线方程为 2=35(+1)，即3 5+13=0 【解析】(1)由直线过点，求出直线的斜率，由点斜式求出直线的方程；因为菱形的对边平行，所以可设直线的方程，将点代入可得参数的值，进而求出直线的方程；(2)求出线段的中点及直线的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线的方程 本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题 18.【答案】解：(1)圆1：2+2+2 4 4=0，圆心1(1,2)，半径为3，当切线的斜率不存在时，切线方程为=2，第 12 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 当切线的斜率存在时，设切线方程为 1=(2)，即 2+1=0 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得|22+1|1+2=3，解得=43 切线方程为4 3 5=0 综上所述，切线方程为=2或4 3 5=0；(2)联立2+2+2 4 4=02+2=4，得、所在直线方程为 2=0 圆2+2=4的圆心2(0,0)，在直线 2=0上，则线段的长为圆2的直径，等于4 【解析】(1)设切线方程为 1=(2)，即 2+1=0，由圆心到直线的距离等于半径求解，则切线方程可求；(2)联立两圆方程，可得所在直线方程，通过垂径定理，转化求解即可 本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题 19.【答案】解：(1)证明：底面11中，已知1=3，=1，1=2，由余弦定理得12=2+12 2 1 cos3=5 2 1=3=12 2，所以1 ，又 平面11，1 平面11，所以 1，又 =，、平面，所以1 平面(2)由(1)可知、1三直线两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,2)、1(1,3,2)、(12,32,0)、1(1,3,0)，所以1=(32,32,0),1=(1,3,2),11=(0,0,2)，第 13 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 设平面1与平面11的法向量分别为 =(,)，则有 1=0 1=0 32 32=0 3+2=0，取=1，则=3，=1，所以=(,)=(1,3,1)，设平面11的法向量分别为 =(,)，则有 1=0 11=0 2=032 32=0，取=1，则=3，=0，所以 =(1,3,0)，设平面1与平面11的夹角为，则=|=42 5=2 55 【解析】(1)由余弦定理得12=12 2，则1 ，又 平面11，由线面垂直的性质定理可得 1，由线面垂直的判定定理，即可得出答案(2)以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1与平面11的法向量 =(,)，=(,)，进而可得答案 本题考查直线与平面所成的角，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题 20.【答案】解：(1)易知圆1的圆心1(3,0)，半径1=3；圆2的圆心2(3,0)，半径2=3，因为动圆与圆1，2均外切，所以|1|3=|2|1，即|1|2|=2 0，由韦达定理得1+2=12，12=19，所以|=1+2|1 2|=1+2 (1+2)2 412 =1+16 122 4 19=34，而点1(3,0)到直线的距离=|4(3)012|16+1=24 17，故1=12|=12 34 24 17=24 7 【解析】(1)由题意，根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；(2)设出直线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可 本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题 21.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为12，|12|=4，所以2=4=122=2 2，解得2=162=12=2，第 15 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 则椭圆的方程为216+212=1；(2)证明：由(1)知2(2,0)，若直线的斜率为0，此时直线的方程为=0，显然+=0成立；若直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为=+2，(1,1)，(2,2)，联立216+212=1=+2，消去并整理得(32+4)2+12 36=0，此时 0，由韦达定理得1+2=1232+4，12=3632+4，易知=118，=228，所以+=118+228 =116+226=1(26)+2(16)(16)(26)=2126(1+2)2126(1+2)+36=23632+461232+42126(1+2)+36=0 故+=0 【解析】(1)由题意，结合题目所给信息以及，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否为零进行讨论，当直线斜率存在且不为零时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和斜率公式再进行求证即可 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题 22.【答案】解：(1)因为椭圆的左焦点为(2,0)，所以=2，此时右焦点为1(2,0)，因为点(2,63)在椭圆上，将=代入椭圆的方程中，得到=2，第 16 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 即2=63，又2 2=4，解得2=6，2=2(舍去负值)，则椭圆方程为26+22=1；(2)证明：当两条直线斜率存在时，不妨设的直线方程为=2，(1,1)，(2,2)，联立=226+22=1，消去并整理得(2+3)2 4 2=0，此时=162+8(2+3)=242+24 0，易知1+22=22+3，1+22=22+3 2=62+3，即(62+3,22+3)，同理可得(6232+1,232+1)，所以=22+3+232+16232+162+3=43(21)，则直线的方程为=43(21)(+62+3)+22+3，令=32，解得=43(21)(32+62+3)+22+3=221+8(2+3)(21)+22+3 =236+8+232(2+3)(21)=0，则直线过定点(32,0)；当直线斜率不存在时，为轴，恒过点(32,0)综上，直线必过定点(32,0)第 17 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)由题意，确定焦点得到2=63，解得2=6，2=2，得到椭圆方程(2)考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线的方程，取=32代入计算得到答案 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题