海南省海口市2024届高三上学期摸底考试（一模）数学含答案.pdf
机密启用前机密启用前海口市海口市 2024 届高三摸底考试届高三摸底考试数数 学学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合23,21xAxxBx，则AB（）A.2x x B.20 xxC.03xx D.20 xx2.已知复数z满足1 i2iz，则z（）A.1 i B.1 iC.1 i D.1 i 3.已知向量2,1,2amb，若2abb，则a（）A.2 5 B.2 10 C.4 5 D.404.一个近似圆台形状的水缸，若它的上下底面圆的半径分别为25cm和15cm，深度为18cm，则该水缸灌满水时的蓄水量为（）A.31225cm B.34900cm C.37350cm D.322050cm5.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的概率为（）A.19 B.49 C.13 D.8276.已知函数 f x的定义域为1,2fxR为偶函数，1120,32fxf xf，则163f（）A.12 B.13 C.0 D.127.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流i（单位：安培）与时间t（单位：秒）满足函数关系式：m0cosiIt（其中mI为供电的最大电流，单位：安培；为角速度，单位：弧度/秒；0为初始相位），该三相交流电的频率f（单位：赫兹）与周期T（单位：秒）满足关系式1fT.某实验室使用 10 赫兹的三相交流电，经仪器测得在0.025t 秒与0.5t 秒的瞬时电流之比为3，且在0.8t 秒时的瞬时电流恰好为 1.5 安培.若0,02，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为（）A.1 安培 B.3安培 C.2 安培 D.3 安培8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F P为C上一点，满足12PFPF，以C的短轴为直径作圆O，截直线1PF的弦长为3b，则C的离心率为（）A.53 B.52 C.23 D.33二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是（）A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第 45 百分位数是 4B.若数据123,nx xxx的标准差为s，则数据1232,2,2,2nxxxx的标准差为2sC.随机变量X服从正态分布1,2N，若3(0)4P X，则1(02)2PXD.随机变量X服从二项分布4,Bp，若方差34V X，则272128P X 10.已知首项为正数的等差数列 na的前n项和为nS，若151115120SSSS，则（）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A.13140aaB.111512SSSC.当14n 时，nS取最大值D.当0nS 时，n的最小值为 2711.已知22:(4)4,CxyA B是C上的两个动点，且2 3AB.设11,A x y，22,B xy，线段AB的中点为M，则（）A.3ACBB.点M的轨迹方程为22(4)1xyC.1212x xy y的最小值为 6D.112211xyxy的最大值为10212.设函数 ln1ln 1f xx xxx，则（）A.1f xfxB.函数 f x有最大值ln2C.若121xx，则 1221ln2x f xx f xD.若121xx，且2112x，则 21f xf x三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，第分，第 16 题第一问题第一问 2 分，第二问分，第二问 3 分，共分，共 20 分分.13.在62()xyxy的展开式中25x y的系数为_.14.已知直线eyxa 是曲线lnyx的一条切线，则a _.15.已知5cos2,tantan46，写出符合条件的一个角的值为_.16.已知直线10axy 过抛物线2:2(0)C xpy p的焦点，且与C交于,A B两点.过,A B两点分别作C的切线，设两条切线交于M点，线段AB的中点为N.若1a，则MN _；ABM面积的最小值为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君已知函数 yx称为高斯函数，x表示不超过x的最大整数，如0.80,1.51.若数列 na满足12a，且123nnaan，记lgnnba.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 nb的前 2024 项和.18.（12 分）一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为23，且每次跳高相互独立.（1）记甲在这次比赛中跳的次数为X，求X的概率分布和数学期望；（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.19.（12 分）已知四棱锥PABCD的底面为矩形，22ADAB，过CD作平面，分别交侧棱,PA PB于,M N两点，且MNPA（1）求证：CDPD；（2）若PAD是等边三角形，求直线PC与平面所成角的正弦值的取值范围.20.（12 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知5,6AD是边BC上的一点，且sinsin32BADCADbca.（1）求证：13ADa；（2）若2CDBD，求cosADC.21.（12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 2.直线l过点,0(02)P tt，且垂直于x轴，过P的直线l交C的两支于,G H两点，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君直线,AG AH分别交l于,M N两点.（1）求C的方程；（2）设直线,AN OM的斜率分别为12,k k，若1212k k，求点P的坐标.22.（12 分）已知函数 1elnxf xx xm.（1）若 f x的最小值为 1，求m；（2）设,a b为两个不相等的正数，且11lnlneeeebaabab，证明：222ab.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君机密启用前机密启用前海口市海口市 2024 届高三摸底考试数学试题届高三摸底考试数学试题参考答案参考答案一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.题号12345678答案CDBCBADA二二选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.题号9101112答案BCDABDBCACD三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.24 14.2 15.22,33（答案不唯一）16.4，4四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.（10 分）【解】（1）因为123nnaan，所以1225nnaan，所以22nnaa，所以数列 na的奇数项，偶数项分别构成公差为 2 的等差数列.当n为奇数时，设21nk，则2122121nkaakkn，当n为偶数时，设2nk，则2221211nkaaakkn，所以1nan.（2）设 nb的前n项和为nT，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当18n时，lg10nbn，当998n时，lg11nbn，当99998n时，lg12nbn，当9992024n时，lg13nbn，所以 20241232024lglglglg90 1 900 2 1026 34968Taaaa .18.（12 分）【解】记“第i跳过该高度”分别为事件,1,2,3iA i.（1）X的可能取值为1,2,3，且1213P XP A；1222221339P XP A A；212213139P XP A A.所以X的概率分布为X123P232919所以，221131233999E X .（2）“甲同学挑战成功”为事件 B，则3123226()111327P BP A A A 212122221,339P A BP A AP A P A所以 22313P A BP ABP B.答：甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率313.19.（12 分）【解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又AB 平面,PAB CD 平面PAB，所以CD平面PAB.因为CD，平面PABMN，所以CDMN.因为MNPA，所以CDPA.因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，又,PA AD 平面,PAD且PAADA，所以CD 平面PAD.因为PD平面PAD，所以CDPD.（2）设,AD BC中点分别为,O E，因为PAD是等边三角形，所以POAD.因为四边形ABCD是矩形，点,O E分别为,AD BC的中点，所以OEOD，且OECD.由（1）可知，CD 平面PAD，又PO 平面PAD，所以CDPO，所以OEPO.以O为原点，,OE OD OP 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,0,3,1,1,0PB，1,1,0,0,1,0CD.设(01)PMPB ，则,3PM，所以,33M.设平面的一个法向量为,nx y z，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又1,0,0,1,1,33,1,1,3CDCMPC ，由0,0,CD nCM n 得0,11330,xxy 解得0,133,xyz不妨取1z，可得平面的一个法向量为0,33,1n.设直线PC与平面所成的角为，则22 3sin|cos,|2 51PC nPC nPCn .设 21f，则 22222111111131124f.因为01，所以11，所以 01f，所以150sin5，所以直线PC与平面所成角的正弦值的取值范围为150,5.20.（12 分）【解】（1）在ABD中，由正弦定理，得sinsinBADBBDAD，所以sinsinBDBADBAD，同理sinsinCDCADCAD.代入sinsin32BADCADbca，得sinsin32B BDC CDbADcADa，在ABC中，由正弦定理，得sinsinsinBCAbca，所以sinsin32A BDA CDaADaADa，即sin32ABDCDAD.因为5,6AD是边BC上的一点，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以1322aAD，即13ADa.（2）因为2CDBD，所以2,33aCDa BD，在ABD中，由余弦定理，得22229cos29acADBa，同理，22259cos49abADCa.因为coscosADBADC，所以22222225992499acabaa，化简，得2222abc.在ABC中，由余弦定理，得2223cos22bcaBACbc，所以3,7cb ab，所以2222225571399cos4414799abbbADCab.21.（12 分）【解】（1）不妨设双曲线C的焦点坐标为,0c，渐近线方程为byxa.由题意可得：222222,2,cabcabcab解得2ab，所以双曲线C的方程为22144xy.（2）由题意直线GH的斜率不为 0.设直线GH方程为xmyt，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君由22144xyxmyt，消去x得：2221240mymtyt，由22210401mtm，得：22140mt.设1122,G x yH xy，则212122224,11mttyyy ymm.由题意可知2,0A，则直线11:22yAG yxx.令xt，得1122yytx，所以M坐标为112,2y ttx，同理，N坐标为222,2yttx，所以1212212,22y tykkxt x.因为1212k k，所以122121222y tyxt x，整理得：12122222xxtty y.又12122222xxmytmyt 2212122(2)m y ym tyyt222222242(2)2(2)111tmttmm ttmmm，所以2221222122(2)222(2)122 42 41txxttmty yttm.因为02t，所以42tt，即43t，所以点P的坐标为4,03.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君22.（12 分）【解】（1）函数 f x的定义域为 10,e1 lnxfxx ，令 1e1 lnxg xfxx，则 11e0 xgxx，所以函数 fx在0,上单调增.又 10f，所以当0,1x时 0fx，当1,x时 0fx，所以函数 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 min()111f xfm，所以0m.（2）由11lnlneeeebaabab，得11eelnlnbaa ab b，即11elneln,bab ba a即 f bf a.由（1）知 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，不妨设01ab.令 2,0,1F xf xfxx，则 11222eeln2xxFxfxfxxx.当0,1x时，111122ee22 ee0,ln20 xxxxxx，所以当0,1x函数 F x单调递减，所以 210F af afaF，即 2f afa，又 f bf a，所以 2f bfa.因为1,21ba，当1,x时函数 f x单调递增，所以2ba，所以2ab，因为01ab，所以222122abab，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
