(1.2.1)--ch1-第一讲离散数学离散数学.pdf
Discrete Mathematics 离散数学离散数学 离散数学概述离散数学概述 离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的一门新兴的工具性学科起来的一门新兴的工具性学科,形成于二十世纪形成于二十世纪七十年代七十年代,是现代数学的一个重要分支是现代数学的一个重要分支.研究的对象是研究的对象是各种各样的各种各样的离散量的结构及其相离散量的结构及其相互关系并且互关系并且一般为一般为有限个或可数个元素。有限个或可数个元素。充分充分的描述了计算机科学离散性的特点的描述了计算机科学离散性的特点.离散数学由多门数学分支组成离散数学由多门数学分支组成 主要研究分支包括：主要研究分支包括：数理逻辑、集合论、代数系统、图论、算法、数理逻辑、集合论、代数系统、图论、算法、组合数学、形式语言与自动机等等组合数学、形式语言与自动机等等.每个分支基本上可以看成是一门独立的学科每个分支基本上可以看成是一门独立的学科.研究内容研究内容 (1)知识点多知识点多,概念和定理多概念和定理多:离散数学是建立在大量概念之离散数学是建立在大量概念之上的逻辑推理学科上的逻辑推理学科,概念的理解是我们学习这门学科的核心概念的理解是我们学习这门学科的核心.掌掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键.要特别要特别 注意概念之间的联系注意概念之间的联系,而描述这些联系的则是定理和性质而描述这些联系的则是定理和性质.(2)方法性强方法性强:离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高.证明题多证明题多,不同的题型会需要不同的证明方法不同的题型会需要不同的证明方法(如直接证明法、如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法反证法、归纳法、构造性证明法),同一个题也可能有几种方法同一个题也可能有几种方法.因此在平时学习中因此在平时学习中,要勤于思考要勤于思考,对于同一问题对于同一问题,尽可能多探讨几尽可能多探讨几种证明方法种证明方法,从而学会熟练运用这些证明方法从而学会熟练运用这些证明方法.同时要善于总结同时要善于总结.离散数学课程特点离散数学课程特点 教学内容教学内容 四个相对独立的部分：四个相对独立的部分：数理逻辑数理逻辑 集合论集合论 代数系统代数系统 图论图论 数理逻辑数理逻辑(mathematical logic)是用数学的方法来研究是用数学的方法来研究 人类推理过程的一门数学学科人类推理过程的一门数学学科.主要研究内容主要研究内容是是推理推理,特别着重于特别着重于推理过程是否正确推理过程是否正确;其显著特征是其显著特征是符号化和形式化符号化和形式化,即把逻辑所涉及的即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示“概念、判断、推理”用符号来表示,用公理体系来刻划用公理体系来刻划,并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律.数理逻辑数理逻辑又称又称符号逻辑符号逻辑.第一篇第一篇 数理逻辑数理逻辑 第一篇第一篇 数理逻辑数理逻辑 数理逻辑数理逻辑 第第1章章 命题逻辑命题逻辑 第第2章章 谓词逻辑谓词逻辑 命题逻辑基本概念命题逻辑基本概念 命题公式命题公式 命题公式标准型命题公式标准型(范式范式)命题公式间的关系命题公式间的关系 命题推理理论命题推理理论 逻辑等价逻辑等价 逻辑蕴含逻辑蕴含 谓词逻辑基本概念谓词逻辑基本概念 谓词公式谓词公式 谓词公式标准型谓词公式标准型(前束范式前束范式)谓词公式间的关系谓词公式间的关系 谓词推理理论谓词推理理论 逻辑等价逻辑等价 逻辑蕴含逻辑蕴含 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 命题逻辑也称命题逻辑也称命题演算命题演算或或语句逻辑语句逻辑.它研究它研究 以“以“命题命题”为基本单位构成的前提和结论之间”为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系的可推导关系,研究什么是命题研究什么是命题?如何表示命如何表示命题题?如何由一组前提推导一些结论如何由一组前提推导一些结论.1、命题的基本概念、命题的基本概念 命题命题:能够判断真假能够判断真假的陈述句的陈述句.命题的真值命题的真值:命题的判断结果命题的判断结果.真值只取两个值真值只取两个值:真真(用用T或或1表示表示)、假假(用用F 或或0表示表示).真值为真的命题称为真值为真的命题称为真命题真命题.真值为假的命题称为真值为假的命题称为假命题假命题.判断命题的两个基本条件判断命题的两个基本条件：(1)是否为陈述句是否为陈述句；(2)是否有确定的、唯一的真值是否有确定的、唯一的真值 1-1命题及其表示命题及其表示 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例1.下列句子中哪些是命题下列句子中哪些是命题？并判断真值并判断真值 (1)清华大学是一所全国重点大学清华大学是一所全国重点大学.(2)2+5 8.(3)你有铅笔吗你有铅笔吗？(4)这只兔子跑得真快呀这只兔子跑得真快呀！(5)请不要讲话请不要讲话！(6)3既是质数也是奇数既是质数也是奇数.真命题真命题 假命题假命题 疑问句疑问句 感叹句感叹句 祈使句祈使句 真命题真命题 1、命题的基本概念、命题的基本概念 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例2.判断下列语句是否是命题判断下列语句是否是命题(1)明年我将去欧洲明年我将去欧洲.(2)下个月十五号是晴天下个月十五号是晴天.(3)xy2.是命题是命题 不是命题不是命题 不确定真值不确定真值 不知道真值不知道真值 1、命题的基本概念、命题的基本概念 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例3.“我正在说谎”“我正在说谎”,这句话是命题吗？这句话是命题吗？如果这句话如果这句话是“真”的是“真”的 如果这句话如果这句话是“假”的是“假”的 根据这句话的意义推得根据这句话的意义推得这句话是“假”的这句话是“假”的 这句话是“真”的这句话是“真”的 该陈述句为该陈述句为悖论悖论 该陈述句不是命题该陈述句不是命题 1、命题的基本概念、命题的基本概念 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题.判断结果不唯一确定的陈述句不是命题判断结果不唯一确定的陈述句不是命题.陈述句中的悖论不是命题陈述句中的悖论不是命题.一个句子本身是否能分辨真假与我们是否知道它一个句子本身是否能分辨真假与我们是否知道它的真假是两回事的真假是两回事.说明说明 1、命题的基本概念、命题的基本概念 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 定义定义1.一个命题不能再分解为更简单的命题一个命题不能再分解为更简单的命题,则称该则称该 命题为命题为原子命题原子命题或或简单命题简单命题.定义定义2.由简单命题与联结词按一定规则复合而成的由简单命题与联结词按一定规则复合而成的 命题称为命题称为复合命题复合命题.如如:李明既是三好学生又是足球队员李明既是三好学生又是足球队员.如如:雪是白的雪是白的.2、命题的分类、命题的分类 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 3、命题的标识符、命题的标识符.用大写字母或带下标的大写字母用大写字母或带下标的大写字母,如如P,Q,R,或或 Pi,Qi,Ri,等表示等表示.表示命题的符号表示命题的符号,称为称为命题标识符命题标识符,简称简称命题符命题符.例题中的例题中的“P”和和 12均为命题标均为命题标识识符符.可以用以下两种形式来表示命题可以用以下两种形式来表示命题.用数字用数字 例如例如,P:今天下雨今天下雨.例如例如,12:今天下雨今天下雨.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 3、命题的标识符、命题的标识符 命题常量命题常量 表示确定命题的命题标识符称为命题常量表示确定命题的命题标识符称为命题常量.命题变元命题变元 若命题标识符只表示任意命题的位置标志若命题标识符只表示任意命题的位置标志,就称为就称为 命题变元命题变元.原子变元原子变元 当命题变元表示原子命题时当命题变元表示原子命题时,该变元称为该变元称为原子变元原子变元.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 注意：注意：(1)一个符号一个符号(如如P),它表示的是命题常量还是命题变元它表示的是命题常量还是命题变元,一般由上下文来确定一般由上下文来确定.(2)命题变元可以表示任意命题命题变元可以表示任意命题,它不能确定真值它不能确定真值,故命故命 题变元不是命题题变元不是命题.这与这与“变数变数 x不是数不是数”是一样的道理是一样的道理.3、命题的标识符、命题的标识符 当命题变元用一个特定命题取代时当命题变元用一个特定命题取代时,该命题变元才能有该命题变元才能有 确定的真值确定的真值,这时称作对命题变元的这时称作对命题变元的指派指派.指派指派 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 命题命题 命题的概念命题的概念 命题的分类命题的分类 命题的表示命题的表示:字母、带下标的字母、数字字母、带下标的字母、数字 1-2 命题联结词命题联结词 命题通常可以通过一些联结词复合而构成新的命题命题通常可以通过一些联结词复合而构成新的命题,这些联结词被称为逻辑联结词这些联结词被称为逻辑联结词.用数学方法研究命题之间用数学方法研究命题之间 的逻辑关系时的逻辑关系时(也就是在命题演算中也就是在命题演算中),这些联结词可以看这些联结词可以看 作是运算符作是运算符,因此也叫作因此也叫作逻辑运算符逻辑运算符.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 1、否定联结词否定联结词(Negation),定义定义1.设设 P 为一命题为一命题,P 的否定是一个新命题的否定是一个新命题,记作记作“P”.读作读作“非非P”.符号符号 称作否定联结词称作否定联结词.P P 0 1 1 0 见假为真见假为真,见真为假见真为假.规定规定:若若 P 为为 T,P 为为 F;若若 P 为为F,P 为为T.说明说明:属于一元运算符属于一元运算符.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例如：例如：P:上海是一个城市上海是一个城市.P:上海不是一个城市上海不是一个城市.P:雪是白色的雪是白色的.P:雪不是白色的雪不是白色的.P:雪是黑色的雪是黑色的.1、否定联结词否定联结词(Negation),第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 2、合取联结词合取联结词(Conjunction)，定义定义2.设设P、Q 为两命题为两命题,复合命题复合命题 “P 并且并且 Q”称为称为P与与Q的合取式的合取式,记作记作PQ,读作读作“P 与与 Q”.符号符号称为合取联结词称为合取联结词.规定规定:PQ 取值取值“T”,当且仅当当且仅当 P 与与 Q 都取真值都取真值“T”.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 2、合取联结词合取联结词(Conjunction)，P Q PQ 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 见假为假见假为假,全真为真全真为真.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例1.将下列命题符号化将下列命题符号化.(1)王晓王晓既既用功用功又又聪明聪明.(2)王晓王晓不仅不仅聪明聪明，而且而且用功用功.(3)王晓王晓虽然虽然聪明聪明，但不但不用功用功.(4)张辉张辉与与王丽都是三好生王丽都是三好生.(5)张辉张辉与与王丽是同学王丽是同学.简单命题简单命题 PQ PQ PQ RS 2、合取联结词合取联结词(Conjunction)，令令 P：王晓用功；：王晓用功；Q：王晓聪明；：王晓聪明；R:张辉是三好学生张辉是三好学生;S:王丽是三好学生王丽是三好学生 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 说明：说明：1)属于二元运算符属于二元运算符.2)的灵活性的灵活性,自然语言中的自然语言中的“虽然虽然但是但是”,“既既又又”,“不但不但而且而且”,“一面一面一面一面”等联结词等联结词都可以符号化为都可以符号化为.3)不要见到“与”或“和”就使用联结词不要见到“与”或“和”就使用联结词.2、合取联结词合取联结词(Conjunction)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 3、析取联结词析取联结词(Disjunction)，定义定义3.设设P,Q 为两命题为两命题,复合命题复合命题“P 或或 Q”称为称为 P 与与Q 的析取式的析取式,记作记作PQ,读作读作“P 或或 Q”或或“P 析取析取 Q”.符号符号称为析取联结词称为析取联结词.规定：规定：PQ 取值取值“F”,当且仅当当且仅当 P 与与 Q 都取真值都取真值“F”.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 3、析取联结词析取联结词(Disjunction)，P Q P Q 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 见真为真见真为真,全假为假全假为假.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 说明：说明：1)属于二元属于二元(binary)运算符运算符 2)由定义可以看出由定义可以看出,“”与自然语言中的联结词与自然语言中的联结词“或或”意义相近意义相近,但又不完全相同但又不完全相同.自然语言中的自然语言中的“或或”既可表示既可表示排斥或排斥或,也可表示可兼或也可表示可兼或，而而“”表示可兼或表示可兼或.例例2.(1)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏今天晚上我在家看电视或去剧场看戏.(2)他可能是他可能是100米或米或400米赛跑的冠军米赛跑的冠军.排斥或排斥或 可兼或可兼或 3、析取联结词析取联结词(Disjunction)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 4、条件联结词条件联结词(Implication)，规定规定:PQ 真值为假真值为假,当且仅当当且仅当 P 真而真而Q 假假.定义定义4.设设 P,Q 为两命题为两命题,复合式命题复合式命题“如果如果 P,则则Q”称为称为 P与与Q 的条件式的条件式,记作记作 PQ,读作读作“若若 P 则则 Q”.并称并称 P为条件式前件为条件式前件,Q为条件式后件为条件式后件.称条件联结词称条件联结词.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 P Q PQ 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 前真后假为假前真后假为假,其他为真其他为真.4、条件联结词条件联结词(Implication)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 说明：说明：PQ的逻辑关系表示的逻辑关系表示 Q 是是 P 的必要条件的必要条件.Q是是 P 的必要条件有许多不同的叙述方式的必要条件有许多不同的叙述方式 只要只要P,就就Q 因为因为P,所以所以Q P 仅当仅当Q 只有只有Q才才P 除非除非Q才才P 除非除非Q,否则非否则非P 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例3.设设 P：天冷天冷；Q：小王穿羽绒服小王穿羽绒服；将下列命题符号化将下列命题符号化 (1)只要天冷只要天冷，小王就穿羽绒服小王就穿羽绒服.(2)只有天冷只有天冷，小王才穿羽绒服小王才穿羽绒服.(3)除非小王穿羽绒服除非小王穿羽绒服，否则天不冷否则天不冷.(4)如果天不冷如果天不冷,则小王不穿羽绒服则小王不穿羽绒服.(5)小王穿羽绒服仅当天冷的时候小王穿羽绒服仅当天冷的时候.PQ QP PQ P Q 4、条件联结词条件联结词(Implication)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 QP 注意：注意：(1)在自然语言中在自然语言中“如果如果P,则则 Q”中的中的P与与Q 往往有某种往往有某种(2)在自然科学中在自然科学中,“若若 P 则则 Q”往往表示前件往往表示前件P为真为真,内在联系内在联系,否则无意义否则无意义.而在数理逻辑中而在数理逻辑中P与与Q不一定有什么不一定有什么 内在联系内在联系,只要只要 P,Q 能够分别确定真值能够分别确定真值,PQ即成为命题即成为命题.则后件则后件Q为真的推理关系为真的推理关系.但数理逻辑中但数理逻辑中,当前件当前件P为假时为假时,P Q 的真值为真的真值为真,称为称为“善意推定善意推定”.4、条件联结词条件联结词(Implication)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 5、双条件联结词双条件联结词(Bicondition)，定义定义5.设设 P,Q 为两命题为两命题,复合命题复合命题“P 当且仅当当且仅当 Q”称为称为P与与Q的的双条件式双条件式,记作记作P Q,读作读作“P 当且仅当当且仅当 Q”.称作双条件联结词称作双条件联结词.规定规定:PQ 取取真真,当且仅当当且仅当 P 与与 Q 取取相同的真值相同的真值.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 P Q PQ 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 相同为真相同为真,相异为假相异为假.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 5、双条件联结词双条件联结词(Bicondition)，注意以下几点：注意以下几点：PQ 的逻辑关系为的逻辑关系为 P 与与 Q 互为充要条件互为充要条件;PQ为真当且仅当为真当且仅当P 与与 Q同真或同假同真或同假;为二元运算符为二元运算符 5、双条件联结词双条件联结词(Bicondition)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例4.求下列复合命题的真值求下列复合命题的真值(1)2+2 4 当且仅当当且仅当 3+3 6.(2)2+2 4 当且仅当当且仅当 3 是偶数是偶数.(3)2+2 4 当且仅当当且仅当 太阳从东方升起太阳从东方升起.(4)2+2 4 当且仅当当且仅当 美国位于非洲美国位于非洲.1 0 1 0 5、双条件联结词双条件联结词(Bicondition)，第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 对于上述五种联结词对于上述五种联结词,应注意以下几点：应注意以下几点：(2)联结词联结词“”、“”、“”具有对称性具有对称性,而联结词而联结词“”、“”没有没有.(1)联结词联结词连接的连接的是两个是两个命题命题真值之间的联结真值之间的联结,而非而非 命题内容之间命题内容之间的联结的联结,因此复合命题的真值只取决于构因此复合命题的真值只取决于构 成它的各原子命题的真值成它的各原子命题的真值,与它们的内容含义无关与它们的内容含义无关.(3)“”、“”、“”与计算机的与计算机的“与与”门、门、“或或”门门 和和“非非”门电路是相对应的门电路是相对应的,从而命题逻辑是计算机硬件电路从而命题逻辑是计算机硬件电路表示、分析和设计的重要工具表示、分析和设计的重要工具.第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例5.用复合命题表示如下图所示的开关电路用复合命题表示如下图所示的开关电路.PQPPQ设设:A:开关开关 P 闭合闭合;B:开关开关 Q 闭合闭合.AB AB A 命题联结词的应用命题联结词的应用 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 小小 结结 命题、命题的真值、原子命题、复合命题、命题标识符、命题、命题的真值、原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、命题变元和原子变元命题常量、命题变元和原子变元.1.基本概念基本概念 2.五个命题联结词真值表五个命题联结词真值表 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 一、命题公式一、命题公式 将命题变元用联结词和圆括号按一定的逻辑关系将命题变元用联结词和圆括号按一定的逻辑关系 联结起来的符号串称为联结起来的符号串称为合式公式合式公式或或命题公式命题公式.1.命题公式的一般化定义命题公式的一般化定义 例例.(P Q)R)(R S)P，P Q，P Q，P Q，PQ 1-3 命题公式与翻译命题公式与翻译 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 一、命题公式一、命题公式 2、合式公式的递归定义、合式公式的递归定义(1)单个命题变元本身是一个合式公式单个命题变元本身是一个合式公式;(2)如果如果A是合式公式是合式公式,则则 A是合式公式是合式公式;(3)若若A和和B是合式公式是合式公式,则则(AB),(AB),(AB),(A B)(4)有限次利用有限次利用(1)(2)(3)所得到的包含命题变元、联结词所得到的包含命题变元、联结词 也是合式公式也是合式公式;和括号的符号串是和括号的符号串是合式公式合式公式.合式公式没有真值合式公式没有真值,只有对其变元进行指派后只有对其变元进行指派后,方有值方有值.界限界限 基础基础 归纳归纳 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例1.下列符号串是否为命题公式下列符号串是否为命题公式 (1)P(QPR)；(2)(PQ)(QR);(3)(P)Q；(4)(P Q)(R)解解.(1)、(4)不是命题公式不是命题公式.(2)、(3)是命题公式是命题公式.一、命题公式一、命题公式 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 1.从语句中分析出各原子命题从语句中分析出各原子命题,将它们符号化将它们符号化;2.选用恰当选用恰当联结词联结词,把原子命题逐个联结起来把原子命题逐个联结起来,组成复合组成复合 命题的符号化表示命题的符号化表示.二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)有了命题演算的合式公式的概念有了命题演算的合式公式的概念,我们可以把自然语我们可以把自然语 言中的有些语句言中的有些语句(复合命题复合命题),翻译成数理逻辑中的符号形翻译成数理逻辑中的符号形 式式.基本步骤如下基本步骤如下:第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例2.我们要做到身体好、学习好、工作好我们要做到身体好、学习好、工作好,为祖国的为祖国的四化建设而奋斗四化建设而奋斗.解解.找出原子命题找出原子命题:A：我们要做到身体好：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好：我们要做到工作好 P：我们要为祖国的四化建设而奋斗：我们要为祖国的四化建设而奋斗 命题的形式化描述：命题的形式化描述：(A B C)P 二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 第第一一章章 命命题题逻逻辑辑 例例3.上海到北京的上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开次列车是下午五点半或六点开.解解 找出原子命题找出原子命题:P:上海到北京的上海到北京的14次列车是下午五点半开次列车是下午五点半开 Q:上海到北京的上海到北京的14次列车是下午六点开次列车是下午六点开 二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)P Q 原命题原命题 PQ (PQ)1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 第第一一章章 命命题题逻逻辑辑 例例3.上海到北京的上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开次列车是下午五点半或六点开.解解 找出原子命题找出原子命题:P:上海到北京的上海到北京的14次列车是下午五点半开次列车是下午五点半开 Q:上海到北京的上海到北京的14次列车是下午六点开次列车是下午六点开 命题的形式化描述命题的形式化描述:(PQ)二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)(P Q)(PQ)令令 P:他聪明他聪明;则命题可表示为则命题可表示为:P Q.Q:他用功他用功.(1)他虽聪明但不用功；他虽聪明但不用功；例例4.将下列命题符号化将下列命题符号化 令令 P:你努力你努力;则命题可表示为则命题可表示为:PQ Q:你失败你失败;(2)除非你努力除非你努力,否则你将失败；否则你将失败；二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 例例5.令令 P：北京比天津人口多北京比天津人口多 解解.求下列复合命题的真值求下列复合命题的真值:(1)(PQ)(P Q)R (2)(QR)(P R)R：乌鸦是白色的乌鸦是白色的.Q：2+24.T T F T F F F 二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)T T T 第一章第一章 命题逻辑命题逻辑 有关联结词优先级如下：有关联结词优先级如下：联结词的优先顺序为：联结词的优先顺序为：,;如果出现的联结词同级如果出现的联结词同级,又无括号时又无括号时,则按从左到右则按从左到右的顺序运算的顺序运算;有括号时有括号时,应该先进行括号中的运算应该先进行括号中的运算.二、命题的符号化二、命题的符号化(翻译翻译)第一章第一章 命题逻辑命题逻辑
