2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数Ⅰ第2节函数的单调性与最值学案含解析新人教A版20230519115.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节基本不等式学案含解析新人教A版20230519113第二节函数的单调性与最值一、教材概念·结论·性质重现1单调递增、单调递减一般的，设函数f (x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递增(2)如果x1，x2D，当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递减2增函数、减函数(1)当函数f (x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数；(2)当函数f (x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2增、减函数定义的等价形式对于x1，x2D，都有(x1x2)·f (x1)f (x2)>0(<0)或>0(<0)，则函数f (x)在D上单调递增(减)3单调区间如果函数yf (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf (x)的单调区间有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示(2)有多个单调区间时，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接4函数的最值一般的，设函数yf (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有f (x)M(或f (x)M)(2)x0I，使得f (x0)M.那么，我们称M是函数yf (x)的最大值(或最小值)函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)函数y的单调递减区间是(， 0)(0, )(×)(2)若函数f (x)在1，)上单调递增，则函数f (x)的单调递增区间是1，)(×)(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数(×)(4)所有的单调函数都有最值(×)2函数yx25x6在区间2,4上()A递减B递增C先递减再递增D先递增再递减C解析：作出函数yx25x6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x，所以函数在区间2,4上先减后增故选C3下列函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3Cyln xDy|x|B解析：由所给选项知只有yx3的定义域是R且为增函数故选B4函数y在2,3上的最小值为()A2 B C DB解析：因为y在2,3上单调递减，所以ymin.故选B5若函数f (x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_6解析：由图象(图略)易知函数f (x)|2xa|的单调递增区间是.令3，得a6.考点1函数的单调性(单调区间)基础性1函数f (x)|x23x2|的单调递增区间是()AB和2，)C(，1和 D和2，)B解析：y|x23x2|如图所示，函数的单调递增区间是和2，)2函数f (x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)D解析：函数yx22x8(x1)29图象的对称轴为直线x1.由x22x8>0，解得x>4或x<2，所以(4，)为函数yx22x8的一个单调递增区间根据复合函数的单调性可知，函数f (x)ln(x22x8)的单调递增区间为(4，)3(多选题)下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)·f (x1)f (x2)>0”的是()Af (x)2xBf (x)|x1|Cf (x)xDf (x)ln(x1)AD解析：由(x1x2)·f (x1)f (x2)>0可知，f (x)在(0，)上是增函数，A，D选项中，f (x)为增函数；B中，f (x)|x1|在(0，)上不单调；对于f (x)x，因为y与yx在(0，)上单调递减，因此f (x)在(0，)上是减函数故选AD4试讨论函数f (x)(a0)在(1,1)上的单调性解：(方法一：定义法)设1<x1<x2<1，f (x)aa，则f (x1)f (x2)aa.因为1<x1<x2<1，所以x2x1>0，x11<0，x21<0.故当a>0时，f (x1)f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a<0时，f (x1)f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(1,1)上单调递增(方法二：导数法)f (x).当a>0时，f (x)<0，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a<0时，f (x)>0，函数f (x)在(1，1)上单调递增判断函数的单调性和求单调区间的方法定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论图象法若f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增减增，减减减，减增减”进行判断复合法对于复合函数，先将函数f (g(x)分解成f (t)和tg(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断考点2函数的最值(值域)综合性(1)函数y|x1|x2|的最小值为_3解析：(方法一)函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的最小值为3.(方法二)利用绝对值不等式的性质y|x1|x2|x1|2x|x12x|3.故函数的最小值为3.(2)函数f (x)log2(x2)在区间1,1上的最大值为_3解析：由于y在1,1上单调递减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f (x)在1,1上单调递减，故f (x)在1,1上的最大值为f (1)3.(3)函数f (x)的最大值为_4解析：当x0时，f (x)x24x(x2)24，而2(，0，此时f (x)在x2处取得最大值，且f (2)4；当x>0时，f (x)sin x，此时f (x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f (x)的最大值为4.求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)分离常数法：求形如y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值1函数y的值域为_1,1)解析：由y，可得x2.由x20，知0，解得1y<1.故所求函数的值域为1,1)2函数yx的最大值为_解析：由1x20，可得1x1.令xcos ，0，则ycos sin sin，0，所以1y，故原函数的最大值为.3当3x1时，函数y的最小值为_解析：由y，可得y.因为3x1，所以，所以y3.所以所求函数的最小值为.考点3函数单调性的应用应用性考向1比较函数值的大小设偶函数f (x)的定义域为R，当x0，)时，f (x)单调递增，则f (2)，f ()，f (3)的大小关系是()Af ()>f (3)>f (2)Bf ()>f (2)>f (3)Cf ()<f (3)<f (2)Df ()<f (2)<f (3)A解析：因为f (x)是偶函数，所以f (3)f (3)，f (2)f (2)又因为函数f (x)在0，)单调递增所以f ()>f (3)>f (2)，即f ()>f (3)>f (2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解考向2解不等式已知函数f (x)ln x2x，若f (x24)<2，则实数x的取值范围是_(， 2)(2, )解析：因为函数f (x)ln x2x在(0，)上单调递增，且f (1)ln 122.由f (x24)<2得f (x24)<f (1)所以0<x24<1，解得<x<2或2<x<.求解含“f ”的不等式的思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x)>f (h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)考向3利用函数的单调性求参数(范围)函数f (x)满足对任意的实数x1x2都有>0成立，则实数a的取值范围为_4,8)解析：由题意，函数f (x)在(，1和(1，)上分别单调递增，且f (x)在(，1上的最高点不高于其在(1，)上的最低点，即解得4a<8.利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小1定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)f (x2)，且在1,0上单调递减设af ()，bf (2)，cf (3)，则a，b，c的大小关系是()Ab<c<a Ba<b<c Cb<a<c Da<c<bC解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2，则af ()f (2)，bf (2)f (0)，cf (3)f (1)因为1<2<0，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以b<a<c.故选C2定义在2,2上的函数f (x)满足(x1x2)·f (x1)f (x2)>0，x1x2，且f (a2a)>f (2a2)，则实数a的取值范围为_0,1)解析：因为函数f (x)满足(x1x2)f (x1)f (x2)>0，x1x2，所以函数f (x)在2,2上单调递增，所以22a2<a2a2，解得0a<1.3设函数f (x)若函数f (x)在区间(a, a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_(，14，)解析：作出函数f (x)的图象如图所示由图象可知，若f (x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.第三节函数的奇偶性与周期性一、教材概念·结论·性质重现1函数的奇偶性奇偶性定义图象偶函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f (x)f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f (x)f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数关于坐标原点对称1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件2若f (x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (x)f (x)f (x)f (x)01f (x)为偶函数；(2)f (x)f (x)f (x)f (x)01f (x)为奇函数3函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x)是奇函数且在x0处有定义，那么一定有f (0)0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)f (|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f (xT)f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数非零常数T就叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f (xT)f (x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次3函数周期性的常用结论对f (x)定义域内任一自变量x，(1)若f (xa)f (x)，则T2a(a>0)(2)若f (xa)，则T2a(a>0)(3)若f (xa)，则T2a(a>0)4函数图象的对称性(1)若函数yf (xa)是偶函数，即f (ax)f (ax)，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f (2ax)f (x)或f (x)f (2ax)，则yf (x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf (xb)是奇函数，即f (xb)f (xb)0，则函数yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称()(2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)0(×)(3)若函数yf (xa)是偶函数，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf (xb)是奇函数，则函数yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称()2下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xB解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数故选B3已知f (x)满足f (x2)f (x)当x0,1时，f (x)2x，则f 等于()A B C D1B解析：由f (x2)f (x)，知函数f (x)的周期T2，所以f f 2.4已知f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B C DB解析：因为f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a. 又f (x)f (x)，所以b0，所以ab.5已知定义在R上的函数f (x)满足f (x2)，当x(0,2时，f (x)2x1，则f (9)_.1解析：因为f (x2)，所以f (x4)f (x2)2f (x)，得T4，f (9)f (1)1.考点1函数奇偶性的判断基础性1(多选题)设函数f (x)，则下列结论正确的是()A|f (x)|是偶函数 Bf (x)是奇函数Cf (x)|f (x)|是奇函数 Df (|x|)f (x)是偶函数ABC解析：因为f (x)，所以f (x)f (x)所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，f (x)是奇函数因为f (|x|)f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)·f (x)是奇函数故选ABC2已知函数f (x)则该函数的奇偶性是_奇函数解析：当x>0时，x<0，所以f (x)x2x(x2x)f (x)；当x<0时，x>0，f (x)x2x(x2x)f (x)，所以f (x)是奇函数判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断(2)图象法，即利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断考点2函数奇偶性的简单应用基础性1若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)log2(x2)1，则f (6)()A2 B4 C2 D4C解析：根据题意得f (6)f (6)1log2(62)132.2(2019·全国卷)设f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)ex1，则当x<0时，f (x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1D解析：当x<0时，x>0.因为当x0时，f (x)ex1，所以 f (x)ex1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)f (x)ex1.3若函数f (x)xln(x)为偶函数，则a_.1解析：令g(x)ln(x)，若f (x)x·g(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)ln0，所以a1.经验证，a1满足题意应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x)±f (x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值考点3函数的周期性综合性(1)设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x4)f (x)当x0,2时，f (x)2xx2，则f (2 023)_.1解析：因为f (x4)f (x)，所以函数f (x)的周期T4. 又f (1)1，所以f (2 023)f (14×506)f (1)f (1)1.(2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数若对于x0，都有f (x2)，且当x0,2)时，f (x)log2(x1)，则f (2 019)f (2 021)的值为_0解析：当x0时，f (x2)，所以f (x4)f (x)，即4是f (x)(x0)的一个周期所以f (2 019)f (2 019)f (3)1，f (2 021)f (1)log221，所以f (2 019)f (2 021)0.1若本例(1)中的条件不变，则f (x)(x2,4)的解析式是_f (x)x26x8解析：当x2,0时，x0,2由已知得f (x)2(x)(x)22xx2.又f (x)是奇函数，所以f (x)f (x)2xx2. 所以f (x)x22x.又当x2,4时，x42,0，所以f (x4)(x4)22(x4)又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (x)f (x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f (x)x26x8.2若将本例(2)中“f (x2)”变为“f (x2)f (x)”，则f (2 019)f (2 021)_.0解析：由f (x2)f (x)可知T4，所以f (2 019)1，f (2 021)1，所以f (2 019)f (2 021)0.函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性1已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)2，则f (2 021)()A2 B0 C2 D4C解析：因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (2 021)f (505×41)f (1)f (1)2.故选C2设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：f (x)f (x)0；f (x)f (x2)；当0x<1时，f (x)2x1.则f f (1)f f (2)f _.1解析：依题意知函数f (x)为奇函数且周期为2，则f (1)f (1)0，f (1)f (1)，即f (1)0.所以f f (1)f f (2)f f 0f f (0)f f f f (0)f f f (0)212011.考点4函数性质的综合应用应用性考向1函数的奇偶性与单调性综合已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)xf (x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<cBc<b<aCb<a<cDb<c<aC解析：易知g(x)xf (x)在R上为偶函数，因为奇函数f (x)在R上单调递增，且f (0)0.所以g(x)在(0，)上单调递增又3>log25.1>2>20.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.考向2函数奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x3)f (x)若f (2)>1，f (7)a，则实数a的取值范围为()A(，3)B(3，)C(，1)D(1，)D解析：因为f (x3)f (x)，所以f (x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f (7)f (79)f (2)又因为函数f (x)是偶函数，所以f (2)f (2)，所以f (7)f (2)>1，所以a>1，即a(1，)故选D考向3函数单调性、奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且在1,0上单调递减设af (2.8)，bf (1.6)，cf (0.5)，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>cBc>a>bCb>c>aDa>c>bD解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以af (2.8)f (0.8)，bf (1.6)f (0.4)f (0.4)，c f (0.5)f (0.5)因为0.8<0.5<0.4，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以a>c>b.故选D解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解1设f (x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f (x)2x(1x)，则f _.解析：由题意可知，f f f 2××.2已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)ln(1x)，函数f (x)若f (6x2)>f (x)，则实数x的取值范围是_(3,2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)g(x)ln(1x)易知f (x)在R上是增函数，由f (6x2)>f (x)，可得6x2>x，即x2x6<0，所以3<x<2.