2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第3节全称量词命题与存在量词命题学案含解析新人教A版20230519111.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第3节全称量词命题与存在量词命题学案含解析新人教A版20230519111第三节全称量词命题与存在量词命题一、教材概念·结论·性质重现1全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等2.全称量词命题和存在量词命题及其否定名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记xM，p(x)xM，p(x)否定xM，p(x)xM，p(x)二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)“xR，x20”的否定是“xR，x20”()(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题(×)(3)xR，x210(×)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词()(5)xM，p(x)与xM，p(x)的真假性相反()2(2020·烟台期末考试)命题“xR，x2x10”的否定是()AxR，x2x10BxR，x2x10CxR，x2x10DxR，x2x10C解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以本题命题的否定为“xR，x2x10”故选C.3若命题“xR，x2mx20”为真命题，则m的取值范围是()A(2，)B(2，2)C2，2D(，22，)C解析：xR，x2mx20为真命题，等价于f (x)x2mx2的图象与x轴有一个交点或没有交点，故m280，解得2m2.考点1全称量词命题、存在量词命题的否定基础性1(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“x(0，)，ln xx1”的否定是()Ax(0，)，ln xx1Bx(0，)，ln xx1Cx(0，)，ln xx1Dx(0，)，ln xx1C解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“x(0，)，ln xx1”2命题“x0，0”的否定是()Ax0，0Bx0，0x1Cx0，0Dx0，0x1B解析：因为0，所以x0或x1，所以0的否定是0x1，所以命题的否定是x0，0x1.故选B3命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2D解析：“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2)否定结论：对原命题的结论进行否定考点2全称量词命题、存在量词命题的真假判断 基础性1下列四个命题中的真命题是()AnR，n2nBnR，mR，m·nmCnR，mR，m2<n DnR，n2<nB解析：对于选项A，令n，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n1加以验证，均不正确故选B2下列四个命题中的假命题是()AxR，x20BxR，2x10CxR，lg x1DxR，sin xcos x2D解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x10恒成立，所以B正确；当0x10时，lg x1，所以C正确；因为sin xcos xsin，所以sin xcos x，所以D错误故选D全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真考点3全称量词命题、存在量词命题的应用应用性(1)已知命题“xR，ax24x1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A(4，)B(0,4C(，4D0,4)C解析：当原命题为真命题时，a>0且164a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a4.故选C.(2)已知f (x)x2，g(x)m.若对x10,3，x21,2，使得f (x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_解析：当x0,3时，f (x)minf (0)0；当x1,2时，g(x)ming(2)m由f (x)ming(x)min，得0m，所以m.本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_解析：当x1,2时，g(x)maxg(1)m.由f (x)ming(x)max，得0m，所以m.根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路此类问题的本质是恒成立问题或有解问题一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围1已知函数f (x)2axa3.若x0(1,1)，使得f (x0)0，则实数a的取值范围是()A(，3)(1，)B(，3)C(3,1)D(1，)A解析：依题意可得f (1)·f (1)0，即(2aa3)·(2aa3)0，解得a3或a1.故选A2已知函数f (x)x22x3，g(x)m，对任意的x1，x21,4有f (x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_(，0)解析：f (x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f (x)minf (1)2，g(x)maxg(4)2m，则f (x)min>g(x)max，即2>2m，解得m<0.故实数m的取值范围是(，0)第四节不等式的性质与一元二次不等式一、教材概念·结论·性质重现1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b.(2)作商法>1(aR，b>0)a>b(aR，b>0)；1(aR，b0)ab(aR，b0)；<1(aR，b>0)a<b(aR，b>0)2不等式的性质(1)对称性：abba.(2)传递性：ab，bcac.(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd.(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)(6)可开方：ab0(nN，n2)1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0；(2)a0b；(3)ab0，0cd；(4)0axb或axb0.2两个重要不等式若ab0，m0，则：(1)；(bm0)；(2)；(bm0)3一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式4三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx25.(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等式的解集不等式解集a<baba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>bx|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a(1)解不等式ax2bxc>0(<0)时不要忘记a0时的情形(2)不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定不等式ax2bxc>0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc<0对任意实数x恒成立或二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小(×)(3)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R(×)2设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有()AMNBMN CMNDMNA解析：因为MN2a(a2)(a1)(a3)a22a3(a1)220，所以MN.故选A3已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1B1,2) C1,1D1,2)A解析：Ax|x1或x3，故AB2，1故选A4在所给的四个条件：b>0>a，0>a>b，a>0>b，a>b>0中，能推出<的有()A1个 B2个 C3个 D4个C解析：<成立，即<0成立，逐个验证可得，满足题意5若13，42，则|的取值范围是_(3,3)解析：因为42，所以0|4，所以4|0，所以3|3.考点1比较大小与不等式的性质基础性1(2021·山东实验中学高三期中)若a，b是任意实数，且a>b，则()Aa2b2B1Clg(ab)0 DD解析：a，b是任意实数，且ab，如果a0，b2，显然A项不正确；如果a0，b2，显然B项无意义，不正确；如果a0，b，显然lg 0，C项不正确；因为指数函数y在定义域上单调递减，且ab，所以，D项正确故选D2设a，bR，则“(ab)·a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若(ab)·a20，则必有ab0，即ab；而当ab时，不能推出(ab)·a20，例如a0，b1.所以“(ab)·a20”是“ab”的充分不必要条件3若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.4已知实数b>a>0，m<0，则mb_ma，_(填“>”或“<”)解析：因为b>a>0，m<0，所以ba>0，因为mbmam(ba)<0，所以mb<ma.因为<0，所以<.比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论考点2一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)(2019·江苏卷)函数y的定义域是_1,7解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa<0.解：原不等式可化为(xa)(x1)<0.当a>1时，原不等式的解集为x|1<x<a；当a1时，原不等式的解集为；当a<1时，原不等式的解集为x|a<x<1将本例中的不等式改为ax2(a1)x1<0(a>0)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)<0.因为a>0，所以a(x1)<0.所以，当a>1时，解得<x<1；当a1时，解集为；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a>1时，不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集1(2019·天津卷)设xR，使不等式3x2x2<0成立的x的取值范围为_解析：3x2x2<0变形为(x1)·(3x2)<0，解得1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.2已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集为_(2,3)解析：由题意知，是方程ax2bx10的两根所以，由根与系数的关系得解得所以不等式x2bxa0，即为x25x60，易得解集为(2,3)3已知常数aR，解关于x的不等式12x2ax>a2.解：因为12x2ax>a2，所以12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a>0时，<，不等式的解集为；当a0时，x2>0，不等式的解集为x|x0；当a<0时，>，不等式的解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a<0时，不等式的解集为.考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x4<0对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为4<0，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2<a<2.综上，实数a的取值范围是(2,2一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是考向2在给定区间上的恒成立问题若对任意的x1,2，都有x22xa0(a为常数)，则a的取值范围是()A(，3B(，0C1，)D(，1A解析：(方法一)令f (x)x22xa.则由题意，得解得a3.故选A(方法二)当x1,2时，不等式x22xa0恒成立等价于ax22x恒成立令f (x)x22x(x1,2)而f (x)x22x(x1)21，当x1时，f (x)min3，所以a3.故选A给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x)的值域为m，n，则f (x)a恒成立f (x)mina，即ma；f (x)a恒成立f (x)maxa，即na.函数f (x)x2ax3.(1)当xR时，f (x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f (x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f (x)0恒成立，即x2ax3a0对任意x2,2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a<6.综上可知，实数a的取值范围为7,2.若a，b，c，则()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<c四字程序读想算思比较大小比较大小的方法1.对数运算法则；2.函数单调性；3.数形结合转化与化归三数都是商的形式1.作商；2.构造函数；3.转化为斜率形式1.作商，与1比较；2.构造并判断函数单调性；3.画出图象，由图比较1.对数换底公式；2判定函数单调性的方法；3比较斜率大小的方法思路参考：直接利用作差法比较B解析：ab0，bc0，所以abc.思路参考：a，b，c均为整数，可考虑用作商法比较大小B解析：易知a，b，c都是正数，log81641，所以ab；log6251 0241，所以bc.即cba.思路参考：根据三个数的结构特征可考虑构造函数，根据函数的单调性比较大小B解析：对于函数yf (x)，y.易知当xe时，函数f (x)单调递减因为e345，所以f (3)f (4)f (5)，即cba.思路参考：数形结合，画出函数yln x的图象，通过比较斜率大小得到结果B解析：如图，画出函数yln x的图象，即a，b，c分别表示点M(3，ln 3)，N(4，ln 4)，P(5，ln 5)与原点连线的斜率由图易知cba.1比较大小问题的主要方法：一是利用不等式的性质；二是利用特殊值排除法；三是求差或求商比较大小；四是构造函数，利用函数单调性比较大小2基于新课程标准，比较大小问题一般需要熟练掌握推理论证能力，抽象概括能力，体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()Aa>bB>Ca>b D>A解析：不妨取a2，b1，排除B和D另外，函数f (x)x在(0，)上单调递增，函数g(x)x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增所以，当a>b>0时，f (a)>f (b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立因此a>ba>b.故选A