2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第1节集合学案含解析新人教A版2023051919.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第1节集合学案含解析新人教A版2023051919预备知识课程标准命题解读1学会用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象2学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验3会用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理4体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性5学会通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式6会用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式7理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.考查形式：一般为一个选择题或两个选择题考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元二次不等式的解法备考策略：(1)熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法(2)重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的判定(3)注意对利用基本不等式求最值方法的总结和归纳核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第一节集合一、教材概念·结论·性质重现1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB与子集有关的性质(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n1)个，非空真子集有(2n2)个(2)子集的传递性：AB，BCAC.(3)ABABAABBUAUBA(UB).3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合ABx|xA，且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA，或xB补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU，且xA1交集和补集的性质(1)交集的性质：A；AAA(2)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；(UA)(UB)U(AB)；(UA)(UB)U(AB)2用集合运算表示区域二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21(×)(2)若x2,10,1，则x0或1(×)(3)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集(×)(5)若ABAC，则BC(×)(6)若a属于集合A，则可用符号表示为aA(×)2(2020·新高考全国卷)已知集合A2,3,5,7，B1,2,3,5,8，则AB()A1,3,5,7 B2,3C2,3,5 D1,2,3,5,7,8C解析：AB2,3,5,71,2,3,5,82,3,5故选C.3若集合AxN|x，a2，则下面结论中正确的是()AaA BaACaA DaAD解析：因为2不是自然数，所以aA4已知集合Ax|x22x30，Bx|0<x4，则AB()A1,4 B(0,3C(1,0(1,4 D(1,0(1,4A解析：Ax|x22x30x|1x3，所以ABx|1x45若x|ax10x|x210，则实数a的值为_0或1或1解析：x|x2101,1当a0时，x|ax10，满足x|ax10x|x210当a0时，x|ax10.由题意知，1或1，此时a1或1.综上所述，a的值为0或1或1.考点1集合的概念基础性1若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a()AB C0D0或D解析：当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.故选D.2(2020·长沙市长郡中学高三)集合中含有的元素个数为()A4B6 C8D12B解析：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B3设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1B1 C2D2C解析：因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1，所以ba2.故选C.4已知Px|2<x<k，xN若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为_(5,6解析：因为P中恰有3个元素，所以P3,4,5，故k的取值范围为(5,6与集合中的元素有关问题的求解思路(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集(2)看清元素的限制条件(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性考点2集合的基本关系综合性(1)设全集UR，则集合M0,1,2和Nx|x·(x2)·log2x0的关系可表示为()A解析：因为Nx|x·(x2)·log2x01,2，M0,1,2，所以N是M的真子集故选A(2)已知集合Ax|1<x<3，Bx|m<x<m若BA，则m的取值范围为_(，1解析：当m0时，B，显然BA当m>0时，Ax|1<x<3，若BA，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0<m1.综上所述，m的取值范围为(，11若本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为()A2B3C7D8C解析：因为M0,1,2，NM，所以N0，1，2，0,1，0,2，1,2，共7个2若本例(2)中，把条件“BA”变为“AB”，其他条件不变，则m的取值范围为_3，)解析：若AB，由得m3，所以m的取值范围为3，)1判断两集合关系的方法(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系2根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到1设Py|yx21，xR，Qy|y2x，xR，则()APQ BQPCRPQ DQRPC解析：因为Py|yx21，xRy|y1，Qy|y2x，xRy|y>0，所以RPy|y>1，所以RPQ.故选C.2(2020·哈尔滨市高三调研)已知集合A0,1，B0,1,2，则满足ACB的集合C的个数为()A4B3 C2D1A解析：由ACB可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有2，2,0，2,1，2,0,1，共4种情况故选A3已知集合A1,2，Bx|x2mx10，xR若BA，则实数m的取值范围为_2,2)解析：若B，则m240，解得2m2.若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意若2B，则222m10，解得m，此时B，不符合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)考点3集合的运算应用性考向1集合的运算(1)(2020·泰安一模)已知全集UR，集合Mx|3<x<1，Nx|x|1，则阴影部分表示的集合是()A1,1B(3,1C(，3)(1，)D(3，1)D解析：阴影部分表示MUN.由UR，Nx|x|1，可得UNx|x<1或x>1又Mx|3<x<1，所以MUNx|3<x<1故选D.(2)若集合Ax|2x29x0，By|y2，则AB_，(RA)B_.0，)解析：因为Ax，所以RA.又By|y2，所以AB，(RA)B0，)已知全集U1,3,5,7，集合A1,3，B3,5，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A3 B7 C3,7 D1,3,5B解析：由题图可知，阴影区域为U(AB)由并集的概念知，AB1,3,5又U1,3,5,7，于是U(AB)7故选B集合基本运算的方法技巧考向2集合运算的应用(1)(2021·岳阳市高三质量检测)已知集合Ax|x10，Bx|xa若ABR，则实数a的值不可以为()A2 B1 C0 D2A解析：因为Ax|x1，Bx|xa且ABR，所以a1, 所以a的值不可以为2.故选A(2)(2020·南昌适应性测试)已知集合Mx|0<x<5，Nx|m<x<6若MNx|3<x<n，则mn等于()A9 B8 C7 D6B解析：因为MNx|0<x<5x|m<x<6x|3<x<n，所以m3，n5.因此mn8.故选B根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围1设集合AxN|5x0，Bx|x23x20，则AB()A0,3,4B0,3,4,5 C3,4D3,4,5B解析：因为集合AxN|5x0xN|x50,1,2,3,4,5，Bx|x23x201,2，所以AB0,3,4,5故选B2已知集合Ax|1<x<2，Bx|x>1，则AB()A(1,1)B(1,2) C(1，)D(1，)C解析：因为Ax|1<x<2，Bx|x>1，所以AB(1，)故选C.3(2020·全国卷)已知集合A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则AB中元素的个数为()A2 B3 C4D6C解析：由题意，AB中的元素满足且x，yN*.由xy82x，得x4，所以满足xy8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故AB中元素的个数为4.4(多选题)已知全集UR，函数yln(1x)的定义域为M，集合Nx|x2x0，则()AMNNBM(UN) CMNUDMUNAB解析：由题意知Mx|x1，Nx|0x1，所以MNN.又UNx|x0或x1，所以M(UN)x|x0，MNx|x1M，M(UN)故选AB全集Ux|x<10，xN*，AU，BU，(UB)A1,9，AB3，(UA)(UB)4,6,7，则集合A_，B_.四字程序读想算思求集合A，B解有限集问题常用什么方法集合间的运算转化与化归集合A，B为有限集，且与已知全集U及集合间的运算关系有限集问题可利用Venn图法或集合运算含义求解1.利用Venn图表示集合；2.利用集合的运算求解1.Venn图；2.集合的交、并、补运算思路参考：将集合用Venn图表示出来，进行观察，写出集合A，B1,3,92,3,5,8解析：根据题意作出Venn图，如图所示，由图可知A1,3,9，B2,3,5,8思路参考：直接根据集合运算的含义分析求解1,3,92,3,5,8解析：因为(UB)A1,9，(UA)(UB)4,6,7，所以UB1,4,6,7,9又U1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以B2,3,5,8因为(UB)A1,9，AB3，所以A1,3,91有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系问题常用Venn图法处理2涉及有交叉集合的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便3基于新课程标准，对于集合问题的解决，要熟练掌握基本概念，数学阅读技能、推理能力和表达能力，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学素养某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为()A17 B18 C19 D20B解析：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作AUB(如图)，有18人第二节充分条件与必要条件一、教材概念·结论·性质重现1充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件；(2)如果qp，则p是q的必要条件；(3)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件A是B的充分不必要条件是指：AB且BA；A的充分不必要条件是B是指：BA且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误2充要关系与集合的子集之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)，(1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(3)若AB，则p是q的充要条件二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)若已知p：x>1和q：x1，则p是q的充分不必要条件()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()(4)若q不是p的必要条件，则pq()(5)若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则B是A的子集(×)2“(x1)(x2)0”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：若x1，则(x1)(x2)0显然成立，但反之不成立，即若(x1)(x2)0，则x的值也可能为2.故选B3下面四个条件中，使ab成立的充分不必要的条件是()Aa>b1Ba>b1Ca2>b2Da3>b3A解析：选项A中，a>b1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“ab1”为“ab”成立的充分不必要条件4已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_(，2解析：由已知，可得x|2<x<3x|x>a，所以a2.5设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的_条件，r是t的_条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)充分不必要充要解析：由题意知pq，qs，st，又tr，rq，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.考点1充分条件与必要条件的判断基础性1(2020·天津卷)设aR，则“a>1”是“a2>a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：因为a2>aa0或a>1，所以a>1a2>a，反之不成立故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件2(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：当a>0，b>0，ab4时，有2ab4.所以 ab4，此时充分性成立当a>0，b>0，ab4时，令a4，b1，则ab5>4，这与ab4矛盾，因此必要性不成立综上所述，当a>0，b>0时，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选A3设xR，则“x25x<0”是“|x1|<1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：由x25x<0可得0<x<5；由|x1|<1可得0<x<2.因为0<x<50<x<2，但0<x<20<x<5，所以“x25x<0”是“|x1|<1”的必要不充分条件判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题考点2充分条件与必要条件的探究与证明综合性(1)命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa9Ba9 Ca10Da10C解析：x1,3，x2a0x1,3，x2a9a.所以a10是命题“x1,3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件(2)设x，yR，求证：|xy|x|y|成立的充要条件是xy0.证明：设p：xy0，q：|xy|x|y|.充分性(pq)：如果xy0，则有xy0和xy>0两种情况当xy0时，不妨设x0，则|xy|y|，|x|y|y|，所以等式成立当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|xy|xy，|x|y|xy，所以等式成立当x<0，y<0时，|xy|(xy)，|x|y|xy，所以等式成立综上，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性(qp)：若|xy|x|y|且x，yR，则|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|.所以|xy|xy，所以xy0.由可得，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件1区分两种易混说法“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“pq，且qp”，后者是“pq，qp”，这种推导关系极易混淆2充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论1函数yax2bxc(a0)的图象关于y轴对称的充要条件是()Abc0 Bb0且c0Cb0 Db0C解析：函数yax2bxc(a0)的图象关于y轴对称0b0.2设集合Ax|x1，Bx|x|1，则“xA且xB”成立的充要条件是()A1x1 Bx1Cx1 D1x1D解析：由题意可知，xAx1，xB1x1，所以“xA且xB”成立的充要条件是1x1.故选D.3设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.3或4解析：一元二次方程x24xn0有实数根(4)24n0n4.又nN*，则n4时，方程x24x40，有整数根2；n3时，方程x24x30，有整数根1,3；n2时，方程x24x20，无整数根；n1时，方程x24x10，无整数根所以n3或n4.考点3充分条件、必要条件的应用应用性已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_0,3解析：由x28x200，得2x10，所以Px|2x10因为xP是xS的必要条件，所以SP.所以解得0m3.故0m3时，xP是xS的必要条件若本例条件不变，是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？说明理由解：由例题知Px|2x10若xP是xS的充要条件，则PS，所以得这样的m不存在充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验已知p：xAx|x22x30，xR，q：xBx|x22mxm240，xR，mR若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_(，3)(5，)解析：因为Ax|1x3，Bx|m2xm2，所以RBx|x<m2或x>m2因为p是q的充分条件，所以ARB，所以m2>3或m2<1，所以m>5或m<3.已知条件p：x>1或x<3，条件q：5x6>x2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件四字程序读想算思判断充分必要条件1.充分必要条件的概念；2.判断充分、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x6>x21.定义法；2.集合法；3.等价转化法1.一元二次不等式的解法；2.集合间的包含关系充分必要条件与集合包含关系思路参考：解不等式求p，q.A解析：由5x6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.p：3x1；q：x3或x2.显然pq，qp，所以p是q的充分不必要条件故选A思路参考：解不等式判断集合间的包含关系A解析：由5x6>x2，得2<x<3，即q：Ax|x2或x3，p：Bx|3x1显然BA，故p是q的充分不必要条件故选A思路参考：原命题与逆否命题的等价性转化A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件由5x6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件故选A判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的命题的问题(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此法1若集合Ax|xx2>0，Bx|(x1)(mx)>0，则“m>1”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：Ax|0<x<1若m>1，则Bx|1<x<m，此时AB；反之，若AB，则m>0.故选A2若“x>2m23”的充分不必要条件是“1<x<4”，则实数m的取值范围是()A3,3B(，33，)C(，11，)D. 1,1D解析：因为“1<x<4”是“x>2m23”的充分不必要条件，所以(1,4)(2m23，)，所以12m23，解得1m1.故选D.