2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线学案含解析新人教A版20230519171.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线学案含解析新人教A版20230519171第七节抛物线一、教材概念·结论·性质重现1抛物线的概念我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程(3)由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可(4)抛物线y22px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线(×)(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x(×)(3)抛物线方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离(×)(4)AB为抛物线y22px(p>0)的过焦点F的弦若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a>0)的通径长为2a()2已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为()A5 B3或5 C2或6 D6B解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，所以m3或5.3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12B解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B4顶点在原点，且过点P(2,3)的抛物线的标准方程是_y2x或 x2y解析：设抛物线的标准方程为y2kx或 x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y.5抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_2解析：设P(x1，y1)，则|PF|x125，得x13，y1±2.故满足条件的点的个数为2.考点1抛物线的标准方程基础性1过点F(0,3)且与直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212x Cx212y Dx212yD解析：由题意，得动圆的圆心到直线y3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，其方程为x212y.2如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2x By29x Cy2x Dy23xD解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D设|BF|a，则|BC|2a，|BD|a，故BCD30°.在直角三角形ACE中，因为|AF|3，|AC|33a，所以2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1.因为BDFG，所以，解得p，因此抛物线方程为y23x.故选D3已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上若抛物线的准线与双曲线5x2y220的两条渐近线围成的三角形的面积等于4，则抛物线的方程为_y28x解析：设抛物线的方程为y22px(p>0)，则抛物线的准线方程为x，双曲线的渐近线方程为y±x.由围成的三角形面积为4，可得××p4，解得p4.所以抛物线的方程为y28x.抛物线标准方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方程(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式若焦点在x轴上，设为y2px(p0)；若焦点在y轴上，设为x2py(p0)考点2抛物线的定义及应用综合性(1)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点若|AB|8，则线段AB的中点M到直线x10的距离为()A2 B4 C8 D16B解析：如图，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，即x10.过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有|AB|AF|BF|AC|BD|8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|(|AC|BD|)4，即点M到准线x1的距离为4.(2)(2020·山东滨州期末)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率为，则PAF的面积为()A2 B4 C8 D8B解析：由题意得，抛物线y24x的焦点F(1,0)，设抛物线y24x的准线与x轴的交点为D，则|DF|2.又直线AF的斜率为，所以AFD60°，因此|AF|2|DF|4，FAP60°.由抛物线的定义可得|PA|PF|，所以PAF是边长为4的等边三角形，所以PAF的面积为×4×4×sin 60°4.故选B将本例(2)中点A的坐标改为(3,4)，则|PA|PF|的最小值为_2解析：因为点A(3,4)在抛物线的外部，所以当P，A，F共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|AF|2.抛物线定义的应用技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关1(2020·全国卷)已知点A为抛物线C：y22px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9C解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|x0.因为点A到y轴的距离为9，所以x09，所以912，所以p6.故选C2(2020·山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y上一动点P(x，y)，则y|PQ|的最小值是_2解析：抛物线y，即x24y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示结合抛物线的定义，有y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312，即y|PQ|的最小值是2.考点3抛物线的几何性质综合性考向1范围问题设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)C解析：由抛物线C：x28y知p4，所以焦点F(0,2)，准线方程y2.由抛物线的定义，|MF|y02.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y2的距离为4.所以4y02，从而y02.考向2弦长问题已知抛物线C：x22py(p>0)和定点M(0,1)设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：(1)设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0.显然方程有两个不等实根，则x1x22pk，x1x22p.由x22py，得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，解得p2.(2)设切线AN的方程为yxb，又切点A在抛物线y上，所以y1，所以b，则切线AN的方程为yANx.同理切线BN的方程为yBNx.又因为N在yAN和yBN上，所以解得N，所以N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN·|AB|·d2，所以24，所以p2，故抛物线C的方程为x24y.1有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法(2020·合肥模拟)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10A解析：抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，故l1：yk(x1)，l2：y(x1)由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，所以|AB|DE|84k28216，当且仅当k2，即k±1时取等号故|AB|DE|的最小值为16.过抛物线x22y的焦点F作直线交抛物线于A，B两点若|AB|，且|AF|<|BF|，则|AF|_.四字程序读想算思直线AB与焦点为F的抛物线x22y交于A，B两点1.直线过抛物线的焦点要应用抛物线的什么性质？2.如何用点A的坐标表示AF的长？1.应用三角形相似； 2.设出直线的方程，联立直线和抛物线，用抛物线的焦半径公式表示线段|AB|，|AF|，|BF|转化与化归，数形结合求|AF|的长1.当直线过抛物线的焦点时，要想到应用抛物线的定义，即抛物线上任意一点到焦点的距离和准线的距离相等2.对于焦点在y轴上的抛物线来说，设点A的坐标为(x1，y1)，则|AF|y1|AF|y1，|BF|y2，|AB|y1y2p1.把线段的长度问题转化为抛物线的定义问题；2.把线段的长度问题转化为三角形相似问题思路参考：利用抛物线定义及三角形相似关系求解解析：如图，过A，B分别作准线的垂线设|AF|m，|BF|n，则mn(m<n)由抛物线的定义得|AF|AD|m，|BF|BC|n，|FH|1.在BEC中，因为，所以，解得|EA|，|EB|EA|mn，|EF|EA|m.因为，所以，解得mn.联立解得故|AF|.思路参考：设直线方程，利用y1y2关系求解解析：设lAB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x22kx10，则x1x21，y1y2.设|AF|m，|BF|n，则mn.由抛物线的定义知y1y2，得mn.联立解得故|AF|，思路参考：利用弦长公式及焦半径公式求解解析：设lAB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)得x22kx10，所以x1x22k，x1x21.所以|AB|x1x2|·2(1k2)，得k2，解得k±.当k时，因为x1k，x2k，所以|AF|y1kx11k21，将k2代入得|AF|.1本题考查抛物线的定义及焦半径公式的应用，三种解法都是较为基础的解法，需要学生全部掌握2基于课程标准，抛物线的定义是最基本的内容，需要熟练掌握，平面几何知识的应用是解析几何中简化运算的重要手段，体现了直观想象的核心素养3基于高考数学评价体系，解答本题的思路较为开阔，实现了图形和代数式的相互转化，体现了基础性和综合性的特点已知过抛物线y22px(p>0)的焦点F，且倾斜角为120°的直线与抛物线在第一、第四象限的交点分别为A，B，则的值等于_解析：(方法一：特殊值法)令p2，则抛物线的方程为y24x，焦点F(1,0)因为直线的倾斜角为120°，所以直线方程为y(x1)联立消去y可得3x210x30，解得x1，x23，所以.(方法二：常规法)抛物线的焦点为F，因为直线的倾斜角为120°，所以直线方程为y.联立消去y得3x25px0，解得x1，x2.所以.第八节直线与圆锥曲线的位置关系第1课时直线与圆锥曲线的位置关系一、教材概念·结论·性质重现1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C的交点个数a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)0b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)1a00两个不相等的解20两个相等的解10无实数解0(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律：“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”()(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”(×)(3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”(×)(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式>0(×)2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条C解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的两条直线3抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则()Ax3x1x2Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30Dx1x2x2x3x3x10B解析：由消去y得ax2kxb0，可知x1x2，x1x2.令kxb0得x3，所以x1x2x1x3x2x3.4直线l与双曲线C：1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A3 B2 C DD解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得两式相减得0.又所以.所以kOMkl1，所以e212.又e>1，所以e.5已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.16解析：直线l的方程为yx1.由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，所以|AB|y1y2p14216.考点1直线和圆锥曲线的位置关系基础性1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D0B解析：由题意知2，即2，所以点P(m，n)在椭圆1的内部故所求交点个数是2.2若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A BC DD解析：由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得<k<1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解考点2弦长问题综合性(2020·钟祥市高三三模)如图，已知椭圆C：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，Q是y轴的正半轴上一点，QF2交椭圆于P，且PF1PF2，PQF1的内切圆M的半径为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线AB：y2xm和圆M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值解：(1)如图，设PQF1的内切圆M切PF1，QF1，PQ于点E，F，G，|EF1|FF1|x，|QF|QG|y(x>0，y>0)由PF1PF2，且|PE|PG|1，有|GF2|FF1|x，则|PF2|x1，|PF1|x1.由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得(x1)2(x1)2(2)2(x>0)，解得x3.故2a|PF1|PF2|2x6，即a3，b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知tanPF1F2，所以直线PF1的方程为y(x)设点M(0，t)，其到直线PF1的距离为1，有1，解得t或t0(舍)即M(0，)，故圆M的方程为x2(y)21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得40x236mx9m2360，则x1x2，x1x2.所以|x1x2|×.所以|AB|×|x1x2|×.因为y2xm与x2(y)21相切，所以1，解得m0或m2.故|AB|3或3.直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系已知点N(1,0)，点P是圆M：(x1)2y216上的动点，A为线段PN的中点，G为线段PM上一点，且·0.设动点G的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)直线PN与曲线C相交于E，F两点，与圆M相交于另一点Q，且点P，E位于点N的同侧，当PMN面积最大时，求|PE|FQ|的值解：(1)由题可知圆M的圆心M(1，0)，半径r4.又A为线段PN的中点，G在PM上，且·0，所以GA为PN的中垂线，所以|GN|GP|.又|GN|GM|GP|GM|r4>|MN|2，所以点G的轨迹为椭圆设曲线C的方程为1(a>0，b>0)，则2a4,2c2，所以a2，c1.b2a2c23，所以曲线C的方程为1.(2)如图假设点P在x轴上方设点E(x1，y1)，F(x2，y2)当PMN面积最大时，PMx轴，所以点P(1,4)，则直线PN方程为y2(x1)，即2xy20.所以点M到直线PN的距离为d.所以|PQ|2.联立得19x232x40，所以x1x2，x1x2，所以|EF|·，所以|PE|FQ|PQ|EF|.考点3中点弦问题综合性考向1由中点弦确定直线方程(2020·哈尔滨三中高三期末)已知椭圆1，则与椭圆相交且以点A(1,1)为弦中点的直线所在方程为()A3x4y70 B2x5y70C3x4y10 D3x4y70D解析：设以点A(1,1)为弦中点的直线与椭圆交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)依题意所求直线的斜率存在，将点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标代入椭圆方程得，1，1，两式相减得0，因为x1x22，y1y22，所以，即所求直线的斜率为，所求的直线方程为3x4y70.考向2由中点弦确定曲线方程或参数的值(1)(2020·西宁市高三二模)已知倾斜角为的直线与双曲线C：1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(4,2)是弦AB的中点，则双曲线的离心率为()A B C DD解析：因为倾斜角为的直线与双曲线C：1(a>0，b>0)相交于A，B两点，所以直线的斜率ktan 1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.由得，则k·.因为M(4,2)是弦AB的中点，所以x1x28，y1y24.因为直线的斜率为1，所以1×，即.所以e21，即e.故选D(2)(2020·遂宁市高三模拟)若中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3xy20截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为()A1 B1C1 D1C解析：设椭圆方程为1(ab0)，则a2b250.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为(x0，y0)因为x0，所以y02.由可得，所以直线AB的斜率k··3.因为1，所以a23b2.联立，可得a275，b225，所以椭圆的方程为1.处理中点弦问题的常用方法(1)点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接将中点和直线的斜率联系起来，借用中点公式即可求得斜率用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交(2)根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点若线段MN中点的横坐标为，求此双曲线的方程解：设双曲线的方程为1(a>0，b>0)由题意可得a2b27.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点为.由1，1，得，即，所以.联立a2b27，解得a22，b25，故所求双曲线的方程为1.