2024版新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及综合应用学案含解析新人教A版20230519147.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及综合应用学案含解析新人教A版20230519147第三节平面向量的数量积及综合应用一、教材概念·结论·性质重现1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角设为a与b的夹角，则的取值范围是00或ab，ab2.平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现(2)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况两个向量a，b的夹角为锐角a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角a·b0且a，b不共线3向量数量积的运算律(1)a·bb·a.(2)(a)·b(a·b)a·(b)(3)(ab)·ca·cb·c.(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·ba·c(a0)，不能得出bc，两边不能约去同一个向量(2)平面向量数量积运算的常用公式(ab)·(ab)a2b2.(ab)2a22a·bb2.(ab)2a22a·bb2.4平面向量数量积的性质已知两个非空向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则a·bx1x2y1y2.性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0(×)(4)(a·b)ca(b·c)(×)(5)两个向量的夹角的范围是(×)2若两个非零向量a，b满足|b|2|a|2，|a2b|3，则a，b的夹角是()A B C DD解析：因为|b|2|a|2，|a2b|3，所以(a2b)2a24a·b4b29，得a·b2.所以cos 1.因为0，所以.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，则k_.12解析：因为2ab(4,2)(1,k)(5,2k)，由a·(2ab)0，得(2,1)·(5,2k)0，所以102k0，解得k12.4已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2,1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为_解析：(2,1)，(5,5)，由定义知，在方向上的投影为.考点1平面向量数量积的运算基础性1(2020·重庆模拟)已知向量a(3，1)，b(1,2)，则a在b上的投影为()ABCDA解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cosa，b.2(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m(4,6)平行，b(5,1)，且a·b14，则a()A(4,6)B(4，6)CDB解析：因为向量a与向量m(4,6)平行，可设a.由a·b14可得5kk14，得k4，所以a(4，6)3(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，设AM与BD交于点G，则·()A1B2C3D4A解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)因为，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.(方法一)显然DGMBGA，且相似比为13.，(1,1)，··(1,1)1.(方法二)直线BD的方程为yx1，直线AM的方程为y3x.联立解得所以点G.所以··(1,1)×1×11.4已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于_12解析：因为a(x,1)，b(2,4)，所以ab(x2,5)又(ab)b，所以(x2)×(2)200，所以x12.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算考点2平面向量数量积的性质应用性(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|b|，且a(a2b)，则a与b的夹角为()AB CDB解析：因为a(a2b)，所以a·(a2b)a22a·b0，所以a·b.又|a|b|，所以cosa，b，且0a，b，所以a与b的夹角为.1将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|ab|a|b|0”，求a与b的夹角解：由|ab|a|b|0，所以(ab)2a2b2，a22a·bb2a2b2.设a与b的夹角为，则|a|22|a|b|·cos |b|2|a|2，化简得12cos 11，解得cos .又0，所以a与b的夹角.2本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|2ab|1”，求|b|.解：因为|2ab|1，所以|2ab|24a24a·bb21，所以44|b|cos 30°b21，整理得|b|22|b|3(|b|)20，解得|b|.(2020·人大附中三模)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i1,2，8)是上底面上其余的八个点，则集合y|y·，i1,2,3，8中的元素个数()A1 B2 C4 D8A解析：由图可知，所以·()2·.因为正方体的棱长为1，ABBPi，所以·0，所以·2·101.故集合y|y·，i1,2，8中的元素个数为1.1求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ，的取值范围为0，(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中3两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：aba·b0|ab|ab|.已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，求向量ab与ab的夹角解：将|ab|ab|两边平方，得a2b22a·ba2b22a·b，所以a·b0.将|ab|a|两边平方，得a2b22a·ba2，所以b2a2.设ab与ab的夹角为，所以cos .又因为0，所以.考点3平面向量数量积的应用综合性考向1平面向量与三角函数已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若|，求角 的值；(2)若·1，求的值解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，所以(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)所以|，|.因为|，所以，即(cos 3)2(sin )2(cos )2(sin 3)2，所以sin cos ，所以tan 1，所以k，kZ.(2)由(1)知，(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，所以·(cos 3)cos sin ·(sin 3)13(sin cos )1.所以sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，所以2sin cos .所以2sin cos .平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等考向2平面向量的最值问题(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24e·b30，则|ab|的最小值是()A1B1C2D2A解析：设e(1,0)，b(x，y)，则b24e·b30x2y24x30(x2)2y21.如图所示，a，b(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，AOx)所以|ab|min|CD|11(其中CDOA)平面向量的最值一般有两种处理方法(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决1. (2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|b|1，a·b，则|axb|(xR)的最小值为()ABC1DB解析：|axb|2a22xa·bx2b2x2x1，所以当x时，|axb|取得最小值.2已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f (x)a·b|ab|，求f (x)的最大值和最小值解：(1)a·bcos cos sin ·sin cos 2x.因为ab，所以|ab|2|cos x|.因为x，所以cos x>0，所以|ab|2cos x.(2)f (x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.因为x，所以cos x1，所以当cos x时，f (x)取得最小值；当cos x1时，f (x)取得最大值1.(2019·天津高考)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，BAD30°，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则·_.四字程度读想算思求·1.数量积的计算方法；2用哪个公式好？用恰当的基底或坐标表示两向量转化与化归四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30°，点E在线段CB的延长线上，AEBE1.基向量法1；2基向量法2；3基向量法3；4坐标法1；5坐标法21.几何法计算线段与夹角；2用基底或坐标表示与；3计算数量积1.向量的线性运算法则；2数量积计算公式思路参考：探究AEB中的边角大小1解析：如图，因为ADBC，且DAB30°，所以ABE30°.又因为AEBE，所以EAB30°.所以E120°.所以在AEB中，AEBE2.所以·()·()2···122×2×cos 30°5×2×cos 30°5×2×cos 180°12615101.思路参考：用，作基向量表示·.1解析：如图，因为AEBE，ADBC，BAD30°，所以在等腰三角形ABE中，BEA120°.又AB2，所以AEBE2，所以.因为，所以.又，所以·()·2·22|·|cos 30°212×2×5××251.思路参考：构造菱形AEBF.1解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.因为ADBC，所以四边形AEBF为平行四边形，因为AEBE，故四边形AEBF为菱形因为BAD30°，AB2，所以AF2，即.因为，所以·()··22×2×5×12101.思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程1解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.因为ADBC，BAD30°，所以ABE30°.因为AEBE，所以BAE30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y(x2)，直线AE的斜率为，其方程为yx.由得x，y1，所以E(，1)所以··(，1)1.思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标1解析：过点B作BF垂直于ADF.因为AB2，A30°，则BF，AF3.又因为ADBC，AEBE，则EBABADEAB30°，则BE2.以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0，)，D(2,0)，E(2，)所以(2，)，(1，)，则·231.1本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解2基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养3本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性已知向量a，b的夹角为60°，|a|2，|b|1，则|a2b|_.2解析：(方法一)|a2b|2.(方法二：数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a2b|.又AOB60°， 所以|a2b|2.第四节数系的扩充与复数的引入一、教材概念·结论·性质重现1复数的有关概念内容意义备注复数的定义设a，bR，形如abi的数叫做复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位abi为实数b0，abi为虚数b0，abi为纯虚数a0且b0复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数zabi，cdiac且bd(a，b，c，dR)复数a(aR)的共轭复数是a复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|z|abi|(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C(2)in(nN*)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：i4n1(nN*)，i4n1i(nN)，i4n21(nN)，i4n3i(nN)i4ni4n1i4n2i4n30.2复数的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是所对应的复数3复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：i(cdi0)4常用结论(1±i)2±2i，i，i，z·|z|2|2，|z1·z2|z1|z2|，|zn|z|n.二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法正误，对的打“”，错的打“×”(1)方程x2x10没有解(×)(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()2若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1D1或1A解析：因为z为纯虚数，所以所以x1.3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48iB82iC24iD4iC解析：因为A(6,5)，B(2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.4若复数z满足iz22i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B解析：由题意，因为z22i，所以22i，则z的共轭复数对应的点在第二象限5设z2i，则|z|_.1解析：因为z2i2i2ii，所以|z|1.考点1复数的有关概念基础性1(2020·新乡一模)若与i的虚部互为相反数，则实数a的值为()A2B2C1D1D解析：因为1i，虚部为1，iaai，虚部为a，所以a10，即a1.2(2020·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位若复数为纯虚数，则|z|()A2BC1DC解析：设zabi(a，bR)，所以复数.因为复数为纯虚数，所以a2b21，a0.所以|z|1.3(2020·青岛二模)若复数z满足(i)z|i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为()A Bi C Di C解析：由(i)z|i|得(i)z2，所以zi，所以i，所以的虚部为.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是不是abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点2复数的几何意义应用性(2020·嘉祥模拟)欧拉公式eixcos xisin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e表示的复数位于复平面中的()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限A解析：根据题意eixcos xisin x，故ecosisini，表示的复数在第一象限1本例若把条件改为“已知复数z满足z(12i)43i(i为虚数单位)”，求复数在复平面内对应的点所在的象限解：因为z(12i)43i，则z2i，故2i，对应的点在第一象限2本例若把条件改为“设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)”，求x，y满足的关系式解：由题意可得：zxyi，zix(y1)i，|zi|1，故x2(y1)21.3本例若把条件改为“ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|”，z对应的点是否为ABC的外心？解：是由复数的几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，故z对应的点是ABC的外心复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量间的相互联系：zabi(a，bR)Z(a，b)(a，b)(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围解：zi，所以所以1<m<1，故m的取值范围为(1,1)考点3复数的运算综合性考向1复数的乘法运算(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z(12i)(1ai)(aR)，若zR，则实数a()ABC2D2D解析：因为z(12i)(1ai)(12a)(a2)i，又因为zR，所以a20，解得a2.(2)(2020·柳州一模)若复数z满足i，其中i为虚数为单位，则z()A1iB1iC1iD1iA解析：因为i，所以i(1i)1i，所以z1i.复数乘法运算的要点复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成1.考向2复数的除法运算(1)(2020·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1i)22i，则z()AiBiCiDiA解析：由z(1i)22i得zi.(2)已知aR，i是虚数单位，若复数zR，则复数z_.解析：因为复数ziR，所以0，即a3.则复数z.求解复数除数问题的注意点除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式考向3复数运算的综合应用(1)(2020·银川三模)若复数z与其共轭复数满足z213i，则|z|()AB C2DA解析：设zabi(a，bR)，则z2abi2a2bia3bi13i，故a1，b1，z1i，|z|.(2)已知复数z1i(i是虚数单位)，则()A1B1 CiDiA解析：因为z1i，所以z2(1i)22i，则z2z1i，所以1.故选A(1)先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关知识解答(2)运用复数的法则进行运算时，要注意运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的要先算括号里面的1等于()AiBiCiDiD解析：i.2已知aR，i是虚数单位若zai，z·4，则a为()A1或1B1C1D不存在的实数A解析：由题意得ai，故z·3a24a±1.3若复数z满足z(2i)(2i)(34i)，则|z|等于()AB3 C5D25C解析：由题意z(2i)(2i)(34i)105i，则z5，所以|z|5.