2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何微专题进阶课9“设而不求”在解析几何中的应用学案含解析新人教B版202305182200.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何微专题进阶课9“设而不求”在解析几何中的应用学案含解析新人教B版202305182200第8章 平面解析几何“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”的解题方法是通过设定未知数，根据题目给出的条件，找到各量之间的制约关系，从而通过方程解出未知数，或是通过列有关未知数的式子计算出答案“设而不求”的思想通过搭建桥梁关系，直达问题中心，从而得出答案，既节省时间，又减少了解题步骤，提高了解题正确率“设而不求”的技巧，要注意运算的合理性、目的性，同时用到了根与系数的关系、中点坐标公式、向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化，从而帮助我们迅速地解决问题求以(1,1)为中点的抛物线y28x的弦所在直线的方程解：设所求直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，则有y8x1，y8x2.由得(y2y1)(y2y1)8(x2x1)，即4.式中是AB中点的纵坐标，所以1，而是直线AB的斜率，于是得到kAB4.又该直线过点(1,1)，所以所求直线方程为y4x3.点评此题是常遇到的中点弦问题，利用点差法及斜率之间的关系，就可以顺利地解决问题已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则消去x得5y220y12m0，所以y1y24，y1y2.因为OPOQ，所以x1x2y1y20，而x1x2(32y1)(32y2)96(y1y2)4y1y2，解得m3，此时>0，所以圆心坐标为C，半径为.点评在解答中，我们采用了“设而不求”的解题技巧，并运用了有关向量垂直的充要条件，最终应用了根与系数的关系来求m，另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑已知ABC内接于椭圆x24y28，其重心为G，已知点A(2,1)，求直线BC的方程解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则有x4y8， x4y8，2，.由得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，由得x1x24，y1y21，所以kBC1.又BC的中点坐标为，所以直线BC的方程为y(x2)，即2x2y50.点评在解题过程中，点B，C的坐标“设而不求”，利用“点在椭圆上”以及重心的坐标公式得到关系式，然后灵活地将x1x2，y1y2，分别视为整体，通过整体变形得到直线BC的斜率，结合BC中点坐标即可求得直线方程，解题过程较简洁第8章 平面解析几何八多选题命题热点之解析几何解析几何问题中的多选题，主要集中在椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，解答此类问题的基本方法是直接法圆锥曲线的几何性质(多选题)(2020·潍坊高三模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A|QF1|QP|的最小值为21B椭圆C的短轴长可能为2C椭圆C的离心率的取值范围为D若，则椭圆C的长轴长为ACD解析：因为|F1F2|2，所以F2(1,0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2|QF2|QP|2|PF2|21，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确若椭圆C的短轴长为2，则b1，a2，所以椭圆方程为y21.由1>1，知点P在椭圆外，故B错误因为点P(1,1)在椭圆内部，所以<1.又ab1，所以ba1，所以<1，即a23a1>0，解得a>，所以，所以e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确若，则F1为线段PQ的中点，所以Q(3，1)，所以1.又ab1，即a211a90，解得a，所以，所以椭圆C的长轴长为，故D正确(1)恰当地应用圆锥曲线的定义，特别是涉及椭圆、双曲线和抛物线的焦点时，要特别注意其定义的应用(2)注意应用平面几何的知识，如三角形相似、全等、线段成比例等(3)涉及最值和取值范围时一般转化为函数、均值不等式问题，或利用圆锥曲线的定义解决(多选题)(2020·淄博高三二模)设F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是()A渐近线方程为4x±3y0B渐近线方程为3x±4y0C离心率为D离心率为AC解析：设|PF2|F1F2|2c.由|PF1|PF2|2a，可得|PF1|2c2a.设PF1的中点为M，由等腰三角形PF1F2的性质可得F2MPF1.因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|244b，所以2c2a4b，即ca2b，可得c2a2b2(2ba)2，解得3b4a.则双曲线的渐近线方程为y±x±x，即4x±3y0.离心率e.直线和圆锥曲线(多选题)(2020·聊城市高三二模)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P和抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C过点P与抛物线相切的直线方程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值BCD解析：因为抛物线C：y22px过点P(1,1)，所以p，所以抛物线方程为y2x，焦点坐标为F.对于A，|PF|1，故A错误对于B，kPF，所以lPF：y，与y2x联立得4y23y10，所以y1y2，y1y2，所以SOPQ|OF|·|y1y2|××，故B正确对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，14k(1k)4k24k10，解得k，所以切线方程为x2y10，故C正确对于D, 依题意斜率存在，设lPM：y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，所以yM1，即yM1，则xM2，所以点M，同理N，所以kMN，故D正确(1)涉及直线和圆锥曲线的问题要注意应用“设而不求”的思想方法，用点的坐标表示所涉及的量，把几何条件转化为代数式进行运算求得结果(2)掌握弦长、面积的一般表示方法和应用圆锥曲线定义的表示方法(多选题)(2020·淄博市高三月考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F，E，直线xm(1<m<1)与椭圆相交于点A，B，则()A当m0时，FAB的面积为B不存在m使FAB为直角三角形C存在m使四边形FBEA的面积最大D存在m使FAB的周长最大AC解析：如图对于A选项，经计算显然正确对于B选项，m0时，可以得出AFE；当m1时，AFE<.根据椭圆的对称性，存在m使FAB为直角三角形，故B错误对于C选项，根据椭圆的对称性可知，当m0时，四边形FBEA面积最大，故C正确对于D选项，由椭圆的定义得FAB的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|.因为|AE|BE|AB|，所以|AB|AE|BE|0，当AB过点E时取等号所以|AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|4a，即直线xm过椭圆的右焦点E时，FAB的周长最大此时直线xmc1，但1<m<1，所以不存在m，使FAB的周长最大故D错误