2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法学案含解析新人教B版202305182137.doc

2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法学案含解析新人教B版202305182137第5节一元二次不等式及其解法一、教材概念·结论·性质重现1一元二次不等式一般地，形如ax2bxc>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“”“”等2三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等式的解集不等式解集a<baba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>bx|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a(1)解不等式ax2bxc>0(<0)时不要忘记a0时的情形(2)不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定不等式ax2bxc>0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc<0对任意实数x恒成立或二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)不等式0的解集为1,2(×)(2)若不等式ax2bxc<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(3)若方程ax2bxc0(a<0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.(×)(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a<0且b24ac0.(×)2已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1B1,2) C1,1D1,2)A解析：Ax|x1或x3，故AB2，1故选A.3函数f(x)的定义域为()A0,3B(0,3)C(，03，)D(，0)(3，)A解析：要使函数f(x)有意义，则3xx20，即x23x0，解得0x3.4若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析：由题意可知mx2(1m)xm0对xR恒成立，即解得m.5若不等式ax2bx2>0的解集为，则ab_.14解析：由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)所以ab14.考点1一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y的定义域是_1,7解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0<x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa<0.解：原不等式可化为(xa)(x1)<0.当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a<1时，原不等式的解集为(a,1)将本例中不等式改为ax2(a1)x1<0(a>0)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)<0.因为a>0，所以a(x1)<0.所以，当a>1时，解得<x<1；当a1时，解集为；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a>1时，不等式的解集为.解含参数一元二次不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述1(2019·天津卷)设xR，使不等式3x2x2<0成立的x的取值范围为_解析：3x2x2<0变形为(x1)·(3x2)<0，解得1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.2(2021·江淮十校联考)已知函数f(x)则不等式x2·f(x)x20的解集是_x|1x1解析：原不等式等价于或即或所以1x<或x1，即解集为x|1x13已知常数aR，解关于x的不等式12x2ax>a2.解：因为12x2ax>a2，所以12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a>0时，<，不等式的解集为；当a0时，x2>0，不等式的解集为x|x0；当a<0时，>，不等式的解集为.综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a<0时，不等式的解集为.考点2一元二次方程与一元二次不等式基础性1(2021·济南模拟)已知不等式ax25xb>0的解集为，则不等式bx25xa>0的解集为()ABCx|3<x<2Dx|x<3或x>2C解析：由题意知a>0，且，是方程ax25xb0的两根，所以解得所以不等式bx25xa5x25x30>0，即x2x6<0，解得3<x<2.故选C.2已知不等式ax2bx1>0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2<x<3 Bx|x2或x3C DB解析：因为不等式ax2bx1>0的解集是，所以ax2bx10的解是x1和x2，且a<0，所以解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.所以不等式x2bxa0的解集是x|x2或x33若关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x3)>0的解集是()A(，1)(3，) B(1, 3)C(1,3) D(， 1)(3，)C解析：由关于x的不等式axb<0的解集是(1，)，可知ab<0，所以不等式(axb)(x3)>0可化为(x1)(x3)<0，解得1<x<3.所以不等式的解集是(1, 3)1. 一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值2给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x4<0对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为4<0，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2<a<2.综上，实数a的取值范围是(2,2一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是考向2在给定区间上的恒成立问题若对任意的x1,2，都有x22xa0(a为常数)，则a的取值范围是()A(，3B(，0C1，)D(，1A解析：(方法一)令f(x)x22xa.则由题意，得解得a3.故选A.(方法二)当x1,2时，不等式x22xa0恒成立等价于ax22x恒成立令f(x)x22x(x1,2)而f(x)x22x(x1)21，当x1时，f(x)min3，所以a3.故选A.给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意x2,2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a<6.综上可知，实数a的取值范围为7,2第2章 函数的概念与性质课程标准命题解读1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能够选择恰当的方法表示函数，理解函数图像的作用2借助函数图像，理解函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性、周期性的概念与意义3通过具体实例，结合具体幂函数的图像，理解幂函数的变化规律，掌握指数幂的运算性质4了解指数函数、对数函数的实际意义，理解指数函数、对数函数的概念，理解指数函数的单调性与特殊点5借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.考查形式：高考对本章的考查一般为13道小题考查内容：主要涉及函数的图像，多为给出具体函数解析式判断函数的图像；函数的性质及函数性质的综合问题；指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数函数、对数函数、零点相结合备考策略：(1)熟练掌握函数的基本知识和解决函数问题的基本方法(2)关注点函数的定义域，抽象函数问题及函数的实际应用(3)重视函数的创新问题新定义问题，函数零点的交汇问题，函数图像的灵活运用问题核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第1节函数及其表示一、教材概念·结论·性质重现1函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域；所有函数值的集合yB|yf(x)，xA称为函数的值域(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数3函数的表示法表示函数的常用方法有代数法(或解析法)、列表法和图像法4分段函数(1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数(1)直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图像有0个或1个交点(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关系完全一致二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)函数y1与yx0是同一个函数( × )(2)对于函数f：AB，其值域是集合B.( × )(3)f(x)是一个函数( × )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数( × )(5)函数yf(x)的图像可以是一条封闭的曲线( × )2(2021·烟台模拟)函数f(x)lnx的定义域为()A(0，)B(1，)C(0,1)D(0,1)(1，)B解析：要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)lnx的定义域为(1，)3若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图像可能是()B解析：A中函数的定义域不是2,2，C中图像不表示函数，D中函数的值域不是0,24已知函数f(x)，若f(a)3，则实数a_.10解析：因为f(a)3，所以a19，即a10.5设f(x)若f(2)4，则a的取值范围为_(，2解析：因为f(2)4，所以2a，)，所以a2，所以a的取值范围为(，2.考点1函数的定义域基础性1(2020·北京卷)函数f(x)ln x的定义域是_(0，)解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，)2函数f(x)ln(x4)的定义域为_(4,1解析：要使函数f(x)有意义，需满足解得4<x1，即函数f(x)的定义域为(4,13若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域为_0,1)解析：因为yf(x)的定义域为0,2，所以，要使g(x)有意义应满足解得0x<1.所以g(x)的定义域是0,1)4已知函数f(x1)的定义域为0,2 022，则函数g(x)的定义域为_2,1)(1,2 020解析：由函数f(x1)的定义域为0，2 022，得函数yf(x)的定义域为1，2 021令得2x2 020且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 0201常见函数定义域的类型(1)分式型要满足f(x)0；(2)根式型(nN*)要满足f(x)0；(3)f(x)0要满足f(x)0；(4)对数型logaf(x)(a>0，且a1)要满足f(x)>0；(5)正切型tanf(x)要满足f(x)k，kZ.2求抽象函数定义域的方法考点2求函数的解析式综合性(1)已知f lg x，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式解：(1)(换元法)令1t，得x.代入得f(t)lg.又x>0，所以t>1.故f(x)lg，x(1，)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)0，知c0，所以f(x)ax2bx.又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x.×2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)，xR.求函数解析式的三种方法待定系数法当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个关于f(x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式1已知f ，则f(x)()A(x1)2B(x1)2Cx2x1Dx2x1C解析：f 21.令t，得f(t)t2t1，即f(x)x2x1.2已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x3，则f(x)的解析式为_f(x)2x3或f(x)2x1解析：设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3.所以解得或故f(x)2x3或f(x)2x1.3已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.2x(x0)解析：2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)考点3分段函数应用性考向1分段函数求值(1)设f(x)则f(f(1)的值为()A2B3 C4D5B解析：因为f(x) 所以f(1)2213，所以f(f(1)f(3)log283. 故选B.(2)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.解析：当a>0时，f(a)a2<0，f(f(a)a42a222，得a(a0与a舍去)；当a0时，f(a)a22a2(a1)21>0，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解综上可知，a.求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量所在区间(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止提醒自变量的值不确定时，必须分类讨论；求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；出现f(f(a)求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值考向2分段函数与方程、不等式(1)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1,0)D(，0)D解析：函数f(x)的图像如图所示结合图像知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0.故选D.(2)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.3解析：当a>0时，由f(a)f(1)0得2a20，无实数解；当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，满足条件求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可(2)如果分段函数的图像易得，也可以画出函数图像后结合图像求解1(2020·天津南开中学高三月考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_解析：由f(x4)f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)f(161)f(1).因此f(f(15)f cos.2已知函数f(x)若f(a)f(a)>0，则实数a的取值范围为_(，2)(2，)解析：当a>0时，不等式f(a)f(a)>0可化为a2a3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f(a)f(a)>0可化为a22a<0，解得a<2. 综上所述，a的取值范围为(，2)(2，)3若函数yf(x)的图像上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数yf(x)的一对“和谐点对”已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有_对2解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为yex(x<0)和yx24x(x<0)的图像的交点个数由图像知，函数f(x)有2对“和谐点对”