北师大版七年级下册数学培优题.docx

精品文档北师大版七年级下册数学培优压轴题一 解答题(共8小题)1 已知四边形 ABCC中，AB=BC ABC=120， MBN=60， MBh绕B点旋转，它的两边分别交AD DC (或它们的延长线)于 E，F.当 MBN绕B点旋转到AE=CF寸(如图1),易证AE+CF=E； 当 MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE CF, EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2.( 1)如图，在四边形 ABCDh AB=AD B= D=90，E、F分别是边BC CD上的点, 且 EAF= BAD 求证：EF=BE+FD且 EAF号 BAD (1)(2)如图，在四边形 ABCDh AB=AD B+ D=180，E、F分别是边BC CD上的点,中的结论是否仍然成立?(3)如图，在四边形 ABCD中, AB=AD B+ ADC=180，E、F分别是边BC CD延长线上的点,且 EAFi BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC和DEC重合放置，其中 C=90， B= E=30°（1）操作发现：如图2,固定 ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时， 填空：线段DE与AC的位置关系是 ;设 BDC的面积为S， AEC的面积为S,则Si与S的数量关系是.團1（2）猜想论证：当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与S2的数量关系 仍然成立，并尝试分别作出了 BDCffiA AEC中 BC CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究：已知 ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=QE/ AB交BC于点E（如图4） 若 在射线BA上存在点F,使SDCF=SXBD，请直接写出相应的BF的长.園3J團44.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AR PB为边 向线段AB的同一侧作正 APC和正厶PBD（1）当厶APC与 PBD勺面积之和取最小值时，AP ;（直接写结果）（2） 连接AD BC相交于点Q,设 AQCa ,那么的大小是否会随点 P的移动而变化？请说明 理由；（3）如图2,若点P固定，将 PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°）,此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5.如图1, Rt ABC中AB=AC点D E是线段AC上两动点，且 AD=EC AM垂直BD 垂足为 M AM 的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断 DEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者 更换已知条件，完成你的证明.1、画出将 BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图 形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNc为等腰梯形（AC/ KN如图2）.附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断厶 DEF的形状，并说明理 由.6.如图，已知等边三角形ABC中,点D, E, F分别为边AB, AC BC的中点，M为直线BC上一动点, DMNfe等边三角形（点 M的位置改变时， DMNfc随之整体移动）.（1）如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2) 如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3) 若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.7.已知：等边三角形 ABC (1)如图1，P为等边 ABC外一点，且 BPC=120 试猜想线段BRPC AP之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2，P为等边 ABC内一点，且APD=120 .求证：PA+PD+PSBD图丄1(a+b) =a+b,8.认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如:(a+b) 2=a2+2ab+6，(a+b) 3= (a+b) 2 (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3，F面我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：(日也111(a+b>?121a+b)1331(a+b>t14641(+b) 15 10 1051(a+b>s.1615 20 15 61上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列 问题：（1） 多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式 ?并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和. （3） 结合上述材料，推断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数之和为 S,（结果用 含字母n的代数式表示）.北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】V AB± AD, BC CD AB=BC AE=CF在ABE和 CBF中，rAB=BCZA=ZC= 90* , ABE CBF (SAS ; ABE= CBF BE=BF v ABC=120 , MBN=60 ,IAE=CF ABE=/ CBF=30 , A AE丄BE, CF丄BF;：/ MBN=60 , BE=BF ： BEF为等边三角形； 2 2a AE+CF二 BE丄 BF=BE=EjF2 2图2成立，图3不成立证明图2.延长DC至点K,使CK=AE连接BK在厶BAE和厶BCK中,rAB=CBZA=ZBCK=90"贝9厶 BAE BCK A BE=BK ABE KBC v FBE=60 , ABC=120 , IAE=CKa FBC+ ABE=60 , a FBC+ KBC=60 , a KBF FBE=60 ,在厶 KBF和厶 EBF中， CBK=BEZkbf=Zebka KBF EBF A KF=EF A kc+cf=ef 即 ae+cf=efIBF=BF图3不成立，AE CF、EF的关系是AE- CF=EF ABG ABC D=90°,AB=ADA ABWAADF A AG=AF 1=2. BAD a GAE EAF 又 V AE=AEAEG AEF A EG=EFV EG=BE+BGA EF=BE+FD (1)中的结论 EF=BE+F仍然成立.(3)结论EF=BE+F不成立，应当是 EF=BE- FD 证明：在BE上截取Bq使BG=DF连接AGv B+ ADC=180 , ADF+ ADC=180 , a B= ADF V AB=ADABG ADFa BAG DAF AG=AF a BAG EAD DAF EAD EAF二 BAD GAE EAF V AE=AE AEG AEF 二 EG=EF' EG=BEBG - EF=BE- FD3【解答】(1)U DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，二AC=CPv BAC=90 - B=90o- 30° =60°,二厶 ACD是等边三角形，' ACD=60 ,又 v CDE BAC=60 , ACD CDE DE/ Aq v B=30o , C=90o , CD=AC二AB BD=AD=AC根据等边三角形的性质， ACD的边AG AD上的高相等， BDC的面积和 AEq勺面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即 S1=S2;故答案为：DE/ Aq S=S ；(2) 如图， DEC是由厶ABC绕点C旋转得到， BC=CE AC=CDv ACN BCN=90 , DCMBCN=180 - 90° =90°, ACN DCMV 在厶 ACNn DCM中, f ZACN=ZDCnlZCfflD=ZN=90： , ACN DCM( AAS, AN=DMAC=CD BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S=S;(3) 如图，过点D作DF/ BE,易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF,且 BE、DF上的高相等，此时 &DCF=Sbde;过点 D作 DF丄 BD v ABC=60 , FiD/ BE, F2F1D= ABC=60 , V BF=DF, FiBD=- ABC=30 , HDB=90 , FIDF= ABC=60 , DFF2是等边三角形， DF=DF, V BD=CD ABC=60 ,点D是角平分线上一点， DBC DCB= × 60° =30o, CDF=180°- BCD=180 - 30° =150°, CDF=360o- 150o- 60° =150°, CDF= CDF,v 在厶 CDF 和厶 CDF 中,rDFl = DF2'ZCD? I=ZCEF z, CDF CDF (SAS, 点 F2 也是所求的点, LCD=CD v ABC=60 ,点 D是角平分线上一点，DE/ AB DBC BDE ABD= × 60° =30°,又 V BD=4 BE-×4÷cos30° =2÷亜=恥, BF, BF2=BF+F1F2,2233333故BF的长为土二或二二.33(2a X)= .2 : ax+ "a2,当2L =75吉aX=a时厶APC与 PBD勺面积之和取最小值，故答案为：a；4【解答】("设AP的长是X,则BP=dx, Sz*寺哼X召(2a- x哼(2)的大小不会随点P的移动而变化，理由： APC是等边三角形， PA=PC APC=60 , BDP是等边三角形， PB=PD BPD=60 , APC BPD APD CPB APD CPB PAD PCB v QAP QACACP=120 , QCP QAC ACP=120 ,° AQC=180 120° =60°(3) 此时的大小不会发生改变，始终等于 60°.理由： APC是等边三角形， PA=PC APC=60BDP是等边三角形，二 PB=PD BPD=60 , APC BPD APD CPBAPD CPB ' PAD PCB v QAP QAC ACP=120 , QCP QAC ACP=120 , AQC=180 120° =60°.5【解答】 DEF是等腰三角形；证明：如图，过点 C作CPAC交AN延长线于点PV Rt ABC中 AB=AC BAC=90 , ACB=45 PCN ACB BAD ACPV AM BD ABD BAMBAMCAP=90 ;/ABD CAP BAD ACP AD=CP ADB P; V AD=CE CE=CP V CN=CN CPN CEN P= CEN CEN ADB FDE FED DEF是等腰三角形.附加题： DEF为等腰三角形;证明：过点 C作CPAC交AM的延长线于点PV Rt ABe中 AB=AC BAC=90 , ACB=45 ; PCN ACB ECN V AML BD ABD BAM BAM CAP=90ABD CAP BAD ACP AD=CP D= P;V AD=EC CE=CP 又 V CN=CN CPN CEN P= E; D= E;A DEF为等腰三角形.6【解答】(1)判断：EN与MF相等(或EN=MF,点F在直线NE上，(2)成立.连接DF, NF,证明 DBMFn DFN全等(AAS，ABC是等边三角形，二AB=AC=BC 又 V D, E, F 是三边的中点， EF=DF=BF v BDM MDF=60 , FDN MDF=60 , BDMFDNrZBM=ZFBN在厶 DBMfy DFN中,上収二DFN, DBM DFN 二 BM=FN DFN FDB=60 ,:DM=EN NF/ BD V E, F分别为边AC BC的中点， EF是厶ABC的中位线，二EF/ BD F 在直线 NE上,V BF=EF 二 MF=EN(3)如图，MF与EN相等的结论仍然成立(或 MF=NE成立)连接DF DE由( 2) 知 DE=DF NDE FDM DN=DM7.【解答】AP=BP+PC( 1)证明：延长 BP至 E,使 PE=PC 连接 CE v BPC=120 , CPE=60 , 又 PE=PC CPE为等边三角形，二 CP=PE=CE PCE=60 , ABC为等边三角形， AC=BC BCA=60 , ACB PCE ' ACB BCP PCE BCP 即： ACP BCE ACP BCE(SAS , AP=BE V BE=BP+PE AP=BP+PC(2)证明：在AD外侧作等边 AB D,则点P在三角形ADB外,连接PB', B'C,v APD=120 由(1)得 PB =AP+PD 在厶 PB' C 中，有 PB +POCB , PA+PD+FPCCBAB DA ABC是等边三角形， AC=AB AB' =AD BAC DAB =60°, BAC CAD DAB + CAD 即： BAD CAB , AB'ADB 二 CB =BD PA+PD+BCBD8.【解答】解：（1）当n=1时，多项式（a+b） 1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0弋丄，当n=2时，多项式（a+b） 2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=匚丄，U当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，2当n=4时，多项式（a+b） 4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=,多项式（a+b） n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：- _ ;（2）预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和为：2n;（3）：当n=1时，多项式（a+b） 1展开式的各项系数之和为：1+1=2=2，当n=2时，多项式（a+b） 2展开式的各项系数之和为：1+2+仁4=2,当n=3时，多项式（a+b） 3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2,当n=4时，多项式（a+b） 4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2,多项式（a+b） n展开式的各项系数之和：S=21.