重庆市主城区2024届高三上学期第一次学业质量检测数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司高高 2024 届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷（数学试题卷共（数学试题卷共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分）注意事项：分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上写在本试卷上无效铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足(1 i)2iz，其中 i 为虚数单位，则zz等于（）A iB.iC.1D.12.已知集合22530Axxx，2BxxN，则AB的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.2023 年 10 月 31 日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取 100 名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的 75%分位数为 x，众数为 y，则（）A.88,90 xyB.83,90 xyC.83,85xyD.88,85xy4.英国著名数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒.的重 庆 市 主 城 区 2 0 2 4 届 高 三 上 学 期 第一 次 学 业 质 量 检 测 数 学 试 题第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司提 出 了 适 用 于 所 有 函 数 的 泰 勒 级 数，泰 勒 级 数 用 无 限 连 加 式 来 表 示 一 个 函 数，如：357sin3!5!7!xxxxx，其中!1 2 3nn 根据该展开式可知，与35722223!5!7!的值最接近的是（）A.sin2B.sin24.6C.cos24.6D.cos65.45.已 知 某 社 区 居 民 每 周 运 动 总 时 间 为 随 机 变 量X（单 位：小 时），且25.5,XN，(6)0.2P x 现从该社区中随机抽取 3 名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为 5 至 6 小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.7486.已知定义在 R 上的函数 f x满足：1212f xxf xf x，且0 x 时，0f x，则关于x的不等式220f xfx的解集为（）A.2,0B.0,2C.,20,D.,02,7.过点P作圆22:44 3150C xyxy的两条切线，切点分别为,A B，若PAB为直角三角形，O为坐标原点，则OP的取值范围为（）A.22,22B.42,42C.22,22D.42,428.2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派 5 名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知3515ab，则下列结论正确的是（）A lglgabB.abab.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司C.1122abD.4ab10.已知函数 32e2xf xxxax，则 f x在0,有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e2e 1aB.e 1ea C.ee 1aD.e 1e2a 11.已知抛物线2:4C yx的焦点为,F O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点1122,A x yB xy，则下列说法正确的是（）A 5OA OB B.存在50AMFC.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆D.当ABF的面积为4 2时，直线l的倾斜角为6或5612.如图，在边长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E是11C D的中点，M是线段1AE上的一点，则下列说法正确的是（）A.当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面11CC D D夹角的正弦值为53D.当M点为线段1AE中点时，平面ACM截正方体1111ABCDABC D所得截面面积为7 3332三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司13.已知向量,a b满足2,3,25abab，则a b_14.已知 2 sincoscos20,0,0f xaxxbxab的部分图象如图所示，当30,4x时，f x的最大值为_15.已知点F为椭圆22221(0)xyabab的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3的直线交椭圆于,P Q两点，FPFQFPFQ ，则该椭圆的离心率为_16.已知数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，记2222123nnTaaaa，则nT _；若数列 nb满足3203nnbTn，则123nbbbbL的最小值是_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在梯形ABCD中，/,ABCDABC为钝角，2,4ABBCCD，15sin4BCD（1）求cos BDC；（2）设点E为AD的中点，求 BE 的长18.已知首项为正数的等差数列 na的公差为 2，前n项和为nS，满足412SSS（1）求数列 na的通项公式；（2）令114cosnnnnbnaa，求数列 nb的前n项和nT19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近 6 年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司编号 x123456产值 y/百万辆91830515980（1）若用模型ebxya拟合 y 与 x 的关系，根据提供的数据，求出 y 与 x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车 4S 店当日 5 位购买电动汽车和 3 位购买燃油汽车的车主中随机选取 4 位车主进行采访，记选取的 4 位车主中购买电动汽车的车主人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58iiiiiuxu，其中lniiuy参考公式：对于一组数据,(1,2,3,)iix yin，其经验回归直线ybxa的斜率截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniix ynx ybaybxxnx20.如 图，四 棱 锥PABCD中，PA 底 面ABCD，四 边 形ABCD中，ABAP，,6,2,45ABAD ABADCDCDA（1）若E为PB的中点，求证：平面PBC平面ADE；（2）若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66（）求线段AB的长；（）设G为PAD内（含边界）的一点，且2GBGA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度第 6 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司21.已知点M为圆22:(2)4Cxy上任意一点，2,0B，线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q（1）求Q点的轨迹方程；（2）设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P，且点P在第一象限内已知1,0A，请问是否存在常数，使得PCAPAC恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由22.（1）已知函数 exnfxxn，（,enN为自然对数的底数），记 nfx的最小值为na，求证：211eeniia；（2）若对11,e12ln0axxaxxx 恒成立，求a取值范围的第 1 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司高高 2024 届学业质量调研抽测（第一次）届学业质量调研抽测（第一次）数学试卷数学试卷（数学试题卷共（数学试题卷共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分）分）注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上写在本试卷上无效铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足(1 i)2iz，其中 i 为虚数单位，则zz等于（）A.iB.iC.1D.1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出z，再结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，2i(2i)(1i)13i13i1i(1i)(1i)222z，则13i22z，所以1zz.故选：C2.已知集合22530Axxx，2BxxN，则AB的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】【分析】求出集合A、B，可求出集合AB，可得出集合AB的元素个数，即可得出AB的真子集个数.【详解】因为 2212530253032Axxxxxxxx，2220,1,2Bxxxx NN，则0,1,2AB，第 2 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以，AB的真子集个数为3217.故选：C.3.2023 年 10 月 31 日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取 100 名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的 75%分位数为 x，众数为 y，则（）A.88,90 xyB.83,90 xyC.83,85xyD.88,85xy【答案】D【解析】【分析】首先0.05a，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得0.0050.030.015101a，解得0.05a，因为0.050.30.35，0.050.30.50.85，则0.350.750.85，则样本数据的 75%分位数位于80,90，则0.35800.050.75x，解得88x，因为样本数据中位于成绩80,90之间最多，则众数为8090852y，故选：D.4.英国著名数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提 出 了 适 用 于 所 有 函 数 的 泰 勒 级 数，泰 勒 级 数 用 无 限 连 加 式 来 表 示 一 个 函 数，如：357sin3!5!7!xxxxx，其中!1 2 3nn 根据该展开式可知，与35722223!5!7!的值最接近的是（）A.sin2B.sin24.6第 3 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司C.cos24.6D.cos65.4【答案】C【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式sin2sin 2 57.3sin 9024.6cos24.6，故选：C.5.已 知 某 社 区 居 民 每 周 运 动 总 时 间 为 随 机 变 量X（单 位：小 时），且25.5,XN，(6)0.2P x 现从该社区中随机抽取 3 名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为 5 至 6 小时的概率为（）A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得(5.5)0.5P x，则(5.56)0.50.20.3Px，则(56)0.3 20.6Px，则至少有两名居民每周运动总时间为 5 至 6 小时概率为223333C 0.60.4C 0.60.648,故选：B.6.已知定义在 R 上的函数 f x满足：1212f xxf xf x，且0 x 时，0f x，则关于x的不等式220f xfx的解集为（）A.2,0B.0,2C.,20,D.,02,【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.详解】任取12tt，则210tt，而0 x 时，0f x，则210f tt，的【第 4 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司 22112111f ttttf ttf tf t，所以 f x在R上单调递减，12,x xR，1212f xxf xf x，取120 xx，则(0)0f，令21xx，得 1100ff xfx，所以 f x为R上的奇函数，220f xfx，即22f xfx，则22xx，解得2,0 x 故选：A7.过点P作圆22:44 3150C xyxy的两条切线，切点分别为,A B，若PAB为直角三角形，O为坐标原点，则OP的取值范围为（）A.22,22B.42,42C.22,22D.42,42【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用圆的几何性质求解即得.【详解】圆22:(2)(2 3)1Cxy的圆心(2,2 3)C，半径1r，由,PA PB切圆C于点,A B，且PAB为直角三角形，得90,|APBPAPB，连接,AC BC，则90CAPCBP，即四边形APBC正方形，|2PC，因此点P在以点C为圆心，2为半径的圆上，而22|2(2 3)4OC，.是第 5 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司于是maxmin|42,|42OPOP，所以OP的取值范围为42,42.故选：D8.2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派 5 名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分 3 组安装，若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C6种，若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A24种，（2）按照3,1,1分 3 组安装，若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A8种，若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A12种，故共有6248 1250 种，故选：A.二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知3515ab，则下列结论正确的是（）A.lglgabB.ababC.1122abD.4ab【答案】ABD【解析】【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断 ABC，利用基本不等式即可判断 D.第 6 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得33log 15log 10a，55log 15log 10b，1510log 3a，1510log 5b，则110ab，则0ab，对 A，根据对数函数lgyx在0,上单调递增，则lglgab，故 A 正确；对 B，因为151511log 3log 51ab，即1abab，则abab，故 B 正确；对 C，因为0ab，根据指数函数12xy在R上单调递减，则1122ab，故 C 错误；对 D，因为0ab，111ab，112224bab aababababa b，当且仅当ab时等号成立，而显然ab，则4ab，故 D 正确；故选：ABD.10.已知函数 32e2xf xxxax，则 f x在0,有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A.e2e 1aB.e 1ea C.ee 1aD.e 1e2a【答案】BCD【解析】【分析】将问题转化为2e2xaxxx，令2e()2(0)xg xxx xx，利用导数讨论()g x的单调性，求出min()g x，由()f x在0,有 2 个不同零点的充要条件为e 1a，从而作出判断.【详解】因为32()e2(0)xf xxxax x，令()0f x，则2e2xaxxx，令2e()2(0)xg xxx xx，则22223ee22()(1e()2xxxxxxxg xxxx，注意到2e20 xx，令()0g x，解得1x，第 7 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以当1x 时，()0g x，()g x单调递增，当01x时，()0g x，()g x单调递减，则min()(1)e 1g xg，且当x趋近于0或时，()g x都趋近于，若()f x在0,有 2 个不同零点的充要条件为函数()yg x与ya图象在第一象限有 2 个交点，所以e 1a，即()f x有 2 个零点的充要条件为e 1a，若符合题意，则对应的取值范围为e 1,的真子集，结合选项可知：A 错误，BCD 正确；故选：BCD.11.已知抛物线2:4C yx的焦点为,F O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点1122,A x yB xy，则下列说法正确的是（）A.5OA OB B.存在50AMFC.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆D.当ABF的面积为4 2时，直线l的倾斜角为6或56【答案】AD【解析】【分析】设直线AB的方程为1xmy，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断 ACD，求解直线与抛物线相切时的情况即可判断 B.【详解】对 A，由题意得1,0F，准线方程=1x，则1,0M，显然当直线AB的斜率为 0，即直线AB的方程为0y，此时不合题意，设直线AB的方程为1xmy，联立抛物线方程24yx，得2440ymy，216160m，解得1m或1m ，124yym，124yy，2114yx，2224yx，则2121216y yx x，121616x x，则121x x，11,OAx y，22,OBxy，则1212145OA OBx xy y ，A 正确；对 B，当直线AB与抛物线相切时，AMF最大，则216160m，解得1m ，为第 8 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司根据抛物线对称性取1m 分析：此时直线方程为1yx，此时直线斜率为 1，则45AMF，因此不存在50AMF，B 错误；对 C，假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆，则0FA FB ，11221,1,FAxyFBxy ，则1212110FA FBxxy y ，即12121210 x xxxy y，212121211242xxmymym yym ,即121220 xxy y，即224240m，2m ，满足1m或1m ，即存在以AB为直径且经过焦点F的圆，C 错误；对 D，22211212112416164 222ABFSMF yyyyyym，3m ，此时直线斜率为33，则直线l的倾斜角为6或56，故 D 正确.故选：AD.12.如图，在边长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E是11C D的中点，M是线段1AE上的一点，则下列说法正确的是（）A.当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值第 9 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面11CC D D夹角的正弦值为53D.当M点为线段1AE中点时，平面ACM截正方体1111ABCDABC D所得截面面积为7 3332【答案】ACD【解析】【分析】对 A，根据平行线确定一个平面即可判断，对 BC 建立空间坐标系进行判断，对 D 作出截面图形，并求出相关长度，利用面积公式即可求出.【详解】对 A，因为11/AACC，所以点11,A A C C四点共面，当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACM，故 A 正确；对 B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E为11C D中点，则设1 2,1Mt t，10,2t，1,0,0A，0,1,0C，则1,1,0AC ，2,1AMt t ，1,0,0DA ，设平面ACM的方向量为,mx y z，则00AC mAM m，即020 xytxtyz，令1y，则1,xzt，所以1,1,mt，则点D到平面ACM的距离222211112DA mdmtt，显然不是定值，故 B 错误；对 C，当M点与E点重合时，由 B 知此时12t，11,1,2m，平面11CC D D的法向量1,0,0n，第 10 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司设平面ACM与平面11CC D D夹角为，22212cos311112m nm n ，则225sin133，故 C 正确；对 D，连接11AC，并在上底面内将直线11AC沿着11B D的方向平移，直至该直线经过点M，交11D A于点P，交11C D于点N，因为11/AACC，11AACC，所以四边形11AAC C为平行四边形，所以11/ACAC，因为11/PNAC，所以/ACPN，因为点MPN，所以平面ACM截正方体1111ABCDABC D所得的图形为四边形APNC，不妨以1D为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则110,1,02AE，因为M为线段1AE中点，则11,42M，根据直线11/PNAC，则1PNk，设直线PN的方程为yxb，代入点M坐标得1124b，解得34b ，则34yx，则点P位于线段11AD的四分之一等分点处，且靠近点1A，点N位于线段11C D的四分之一等分点处，且靠近点1C，则22117144APCN，2AC，324PN，结合/ACPN，则四边形APNC为等腰梯形，则其高为22223 22176642428ACPNAP,则13667 332224832APNCS梯形，故 D 正确.故选：ACD.第 11 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题 BC 选项的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式和面面角的空间向量求法进行计算判断，对 D 选项的关键是作出截面图形，并求出相关长度，得出其截面为等腰梯形，最后计算面积即可.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知向量,a b满足2,3,25abab，则a b_【答案】154【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由25ab，得224425aba b，而2,3ab，则44 94 25ab ，所以154a b.故答案为：15414.已知 2 sincoscos20,0,0f xaxxbxab的部分图象如图所示，当30,4x时，f x的最大值为_第 12 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【答案】3【解析】【分析】由图象求出函数 f x的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数 f x在30,4上的最大值.【详解】因为 2 sincoscos2sin2cos20,0,0f xaxxbxaxbxab，设 sin 20,0f xAxA，由图可知，函数 f x的最小正周期为4612T，则2222T，又因为 maxmin22222f xf xA，则 2sin 2f xx，因为2sin2126f，可得sin16，所以，2 62kkZ，则22 3kkZ，则 222sin 22 2sin 233f xxkx，当304x时，22132336x，故 max232sin2332f x.故答案为：3.15.已知点F为椭圆22221(0)xyabab的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为3的直线交椭圆于,P Q两点，FPFQFPFQ ，则该椭圆的离心率为_【答案】31#13【解析】【分析】分析得四边形FPF Q为矩形，则得到OFP为正三角形，再利用椭圆定义和离心率定义即可.【详解】令椭圆的左焦点为1F，半焦距为c，分别连接F P，F Q，第 13 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司由FPFQFPFQ ，得四边形FPF Q为矩形，而3FOP，则OFP为正三角形，所以|FPc，3F Pc，2|(31)aPFPFc，则椭圆离心率为31cea，故答案为：31.16.已知数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，记2222123nnTaaaa，则nT _；若数列 nb满足3203nnbTn，则123nbbbbL的最小值是_【答案】.413n .48【解析】【分析】由na与nS的关系推导出数列 na为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 na的通项公式，利用等比数列求和公式可求得nT的表达式，分析数列 nb的单调性，找出数列 nb所有非正数项，即可求得123nbbbbL的最小值.【详解】因为数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，当1n 时，则11121aSa，解得11a，当2n 时，由21nnSa可得1121nnSa，上述两个等式作差可得122nnnaaa，则12nnaa，所以，数列 na是首项为1，公比为2的等比数列，则111 22nnna，所以，214nna，则2121444nnnnaa，且211a，第 14 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以，22221231 1 4411 43nnnnTaaaa，32034204nnnbTnn，则114201442043 420nnnnnbbnn，当1n 时，210bb，即12bb，当2n 时，13 4200nnnbb，则1nnbb，故数列 nb从第二项开始单调递增，因为1200b ，且340bb，所以，123nbbbbL的最小值为1232028048bbb .故答案为：413n；48.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在梯形ABCD中，/,ABCDABC为钝角，2,4ABBCCD，15sin4BCD（1）求cos BDC；（2）设点E为AD的中点，求 BE 的长【答案】（1）78；（2）342【解析】【分析】（1）在BCD中利用余弦定理求出BD，再利用二倍角的余弦公式计算即得.（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出 BE 的长.【小问 1 详解】在梯形ABCD中，由/,ABCDABC为钝角，得BCD是锐角，在BCD中，15sin4BCD，则21cos1 sin4BCDBCD，由余弦定理得221242 2 444BD ，即BCD为等腰三角形，第 15 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司所以27coscos(2)cos21 2cos8BDCBCDBCDBCD .【小问 2 详解】由/ABCD，得ABDBDC，由点E为AD的中点，得1()2BEBABD ，所以222211734|2242 2 42282BEBABDBA BD .18.已知首项为正数的等差数列 na的公差为 2，前n项和为nS，满足412SSS（1）求数列 na的通项公式；（2）令114cosnnnnbnaa，求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）21nan （2）当n为偶数时，11233nTn，当n为奇数时，11233nTn.【解析】【分析】（1）根据等差数列前n和公式即可求出1a，则得到其通项公式；（2）分n为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【小问 1 详解】由题意得 na是公差为 2 的等差数列，且412SSS，即11141222aaa，又因为10a，所以13a，所以数列 na的通项公式1(1)21naandn.【小问 2 详解】由（1）知 2123214111cosc23osnnbnnnnnn，当n为偶数时，11111111113557792123233nTnnn，当n为奇数时，1111111,(3)2132123233nnnTTbnnnnn，第 16 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司经检验，1n 时，满足11233nTn，综上，当n为偶数时，11233nTn，当n为奇数时，11233nTn.19.实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近 6 年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号 x123456产值 y/百万辆91830515980（1）若用模型ebxya拟合 y 与 x 的关系，根据提供的数据，求出 y 与 x 的经验回归方程（精确到0.01）；（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车 4S 店当日 5 位购买电动汽车和 3 位购买燃油汽车的车主中随机选取 4 位车主进行采访，记选取的 4 位车主中购买电动汽车的车主人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望，参考数据：661120.88,80.58iiiiiuxu，其中lniiuy参考公式：对于一组数据,(1,2,3,)iix yin，其经验回归直线ybxa的斜率截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniix ynx ybaybxxnx【答案】（1）1.98 0.43exy （2）答案见解析【解析】【分析】（1）令lnln elnbxuyabxa，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超几何分布4,5,8XH可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可第 17 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司求【小问 1 详解】令lnln elnbxuyabxa1234563.56x ，20.883.486u，则122222226226180.586 3.5 3.480.431234566 3.5iiiiixunxxbunx ，ln3.480.43 3.51.98a，所以1.98ea，所以1.980.431.98 0.43eeeexxbxya【小问 2 详解】由题意得1,2,3,4X，135348C C511C7014P x，225348C C3032C707P x，315348C C3033C707P x，405348C C514C7014P x，分布列为：X1234P1143737114数学期望4 52.58E X20.如 图，四 棱 锥PABCD中，PA 底 面ABCD，四 边 形ABCD中，ABAP，,6,2,45ABAD ABADCDCDA第 18 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司（1）若E为PB的中点，求证：平面PBC平面ADE；（2）若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66（）求线段AB的长；（）设G为PAD内（含边界）的一点，且2GBGA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度【答案】20.证明见解析；21.（）2；（）33.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，再结合面面垂直的判定推理即得.（2）以点 A 为原点，建立空间直角坐标系，设ABt，利用面面角的向量求法结合已知求出t，再求出AG并确定轨迹求解即得.【小问 1 详解】在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，AD 平面ABCD，则PAAD，而,ABAD ABPAA AB PA平面PAB，于是AD 平面PAB，又PB 平面PAB，则ADPB，由ABAP，E为PB的中点，得,AEPB AEADA AE AD平面ADE，因此PB 平面ADE，而PB 平面PBC，所以平面PBC平面ADE.【小问 2 详解】（）由（1）知，直线,AB AD AP两两垂直，以点A 为原点，直线,AB AD AP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，第 19 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司过C作CFAD于F，由2,45CDCDA，得1CFDF，令(05)ABtt，则(0,0,),(0,6,0),(1,5,0)PtDtCt，(0,6,),(1,1,0)PDtt CD ，设平面PCD的法向量(,)nx y z，则(6)00n PDt ytzn CDxy ，令yt，得(,6)nt tt，由AD 平面PAB，得平面PAB的一个法向量(0,1,0)m，依题意，222|1|cos,|6(6)m ntm nm nttt ，整理得24120tt，而0t，解得2t，所以线段AB的长为 2.（）显然AB平面PAD，而AG 平面PAD，则ABAG，又2BGAG，于是222(2)2AGAG，解得2 33AG，因此点G的轨迹是以点A 为圆心，2 33为半径的圆的14，所以点G的轨迹的长度为12 33233.21.已知点M为圆22:(2)4Cxy上任意一点，2,0B，线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q（1）求Q点的轨迹方程；（2）设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P，且点P在第一象限内已知1,0A，请问是否存在常数，使得PCAPAC恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）2213yx （2）2，证明见解析.【解析】第 20 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用双曲线定义即可得到其方程；（2）先得到特殊情况时2，再证明其对一般情况也适用.【小问 1 详解】连接QB，则|2(|42)QBQCQMQCCMBC，Q点的轨迹是以点C，B为焦点的双曲线，Q点的轨迹方程为:2213yx.【小问 2 详解】因为Q点的轨迹方程为:2213yx，则1,2ac.当直线l的方程为2x 时，则22213y，解得3y（负舍，）则(2,3)P，而3ACac，易知此时ACP为等腰直角三角形，其中,24ACPPAC，即2ACPPAC，即:2，下证：2ACPPAC 对直线l斜率存在的情形也成立，设11,P x y，其中11x，且12x，因为1,0A，则111PAykx，且221113yx，第 21 页/共 23 页学科网（北京）股份有限公司即221131yx，1111222221111221212tantan21tan1111PAPAyxykxPACPACPACkxyyx，1111122111112121tan22122131xyxyyPACxxxxx，11tantan22PCyACPkPACx，结合正切函数在0,22上的图象可知，2ACPPAC.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用先猜后证的思想，先得到直线斜率不存在时2，然后通过二倍角得正切公式证明一般情况即可.22.（1）已知函