广东省东莞市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度第一学期教学质量检查高三数学学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑1.已知复数12i2iz，则z（）A iB.iC.5iD.5i2.已知集合41,ZAx xkk，41,ZBx xkk，则ZAB（）A.4,Zx xk kB.42,Zx xkkC.2,Zx xk kD.21,Zx xkk3.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A.9B.7C.5D.34.函数 1lnaxxf x 的图象不可能是（）A.B.C.D.5.在等比数列 na中，1234511aaaaa，34a，则1234511111aaaaa（）A.3132B.3132.广东省东莞市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司C.1116D.11166.已知tan224，则cos的值为（）A.45B.35C.45D.35-7.以抛物线 C 的顶点 O 为圆心的单位圆与 C 的一个交点记为点 A，与 C 的准线的一个交点记为点 B，当点 A，B 在抛物线 C 的对称轴的同侧时，OAOB，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为（）A.2 33B.2 55C.8 1515D.8 17178.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A 36B.32C.28D.24二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.已知函数 cosf xx，0，g x是 f x的导函数，则下列结论正确的是（）A.f x与 g x对称轴相同B.f x与 g x周期相同C.f x g x的最大值是2D.f x g x不可能是奇函数10.已知圆1C：()2221xy+=，圆2C：2234xy，P，Q 分别是1C，2C上的动点，则下列结论正确的是（）.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.当12/C PC Q时，四边形12CC QP的面积可能为 7B.当12/C PC Q时，四边形12CC QP的面积可能为 8C.当直线 PQ 与1C和2C都相切时，PQ的长可能为2 6D.当直线 PQ 与1C和2C都相切时，PQ的长可能为 411.已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 25f xgx，47g xf x若2x 是 g x的对称轴，且 24g，则下列结论正确的是（）A.f x是奇函数B.3,6是 g x对称中心C.2 是 f x的周期D.221130kg k12.如图几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到的，已知点G是圆弧CE的中点，点H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点H，使得CH 平面BDGB.不存在点H，使得平面/AHE平面BDGC.存在点H，使得直线EH与平面BDG所成角的余弦值为73D.不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为13三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填在答题卡的相应位置上分请把答案填在答题卡的相应位置上13.双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的渐近线方程为2yx，则其离心率e _14.已知向量1,2a r，2,1b ，则使 0abab成立的一个充分不必要条件是_的的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司15.用试剂a检验并诊断疾病b，A 表示被检验者患疾病b，B表示判断被检验者患疾病b用试剂a检验并诊断疾病b的结论有误差，已知0.9P B A，0.8P B A，且人群中患疾病b的概率 0.01P A 若有一人被此法诊断为患疾病b，则此人确实患疾病b的概率P A B _16.若函数 222xxxaxbf x 的图象关于2x 对称，则ab_，f x的最小值为_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17.数列 na的前 n 项积为nT，且满足1122nTnn（1）求数列 na的通项公式；（2）记1lnnnnba，求数列 nb的前 2n 项和2nS18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 是边长为 2正方形，PBPD（1）证明：平面PAC 平面PBD；（2）若2PA，PBBD，点 E，F 分别为 PB，PD 的中点，求点 E 到平面 ACF 的距离19.ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且22 cosacbC（1）求B；（2）若3b，且 D 为ABC 外接圆劣弧AC上一点，求2ADDC的取值范围20.已知椭圆C：22221xyab（0ab），连接 C 的四个顶点所得四边形的面积为2 2，且离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司T，使得TAB的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由21.某区域中的物种 C 有 A 种和 B 种两个亚种为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比 B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：在该区域中有放回的捕捉 50 个物种 C，统计其中 A种数目，以此作为一次试验的结果；重复进行这个试验 n 次（其中*nN），记第 i 次试验中的 A 种数目为随机变量iX（1,2,in）；记随机变量11niiXXn，利用X的期望E X和方差D X进行估算设该区域中 A 种数目为 M，B 种数目为 N，每一次试验都相互独立（1）已知ijijE XXE XE X，ijijD XXD XD X，证明：1E XE X，11D XD Xn；（2）该小组完成所有试验后，得到iX的实际取值分别为ix（1,2,in），并计算了数据ix（1,2,in）的平均值x和方差2s，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5sn（）请用x和2s分别代替E X和D X，估算MN和x；（）在（）的条件下，求1X的分布列中概率值最大的随机事件1Xk对应的随机变量的取值22.已知函数 110exfa xxa（1）讨论 f x的单调性；（2）若方程 110exf x 有1x、2x两个根，且120 xx，求实数a的值第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查高三数学高三数学一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑1.已知复数12i2iz，则z（）A.iB.iC.5iD.5i【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简复数z.【详解】12i2i12i5ii2i2i2i5z.故选：A.2.已知集合41,ZAx xkk，41,ZBx xkk，则ZAB（）A.4,Zx xk kB.42,Zx xkkC.2,Zx xk kD.21,Zx xkk【答案】C【解析】【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.【详解】因为41,ZAx xkk，41,ZBx xkk，所以21,ZABx xkk，所以Z2,ZABx xk k.故选：C.3.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（）A.9B.7C.5D.3第 2 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出a的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a，则5a，这四个数为极差为1a，中位数为3542，因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则12 4a，解得9a，所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9，因为4 0.753，故这4个数据的第75百分位数是5972.故选：B.4.函数 1lnaxxf x 的图象不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分0a，0a 和a0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.【详解】当0a 时，1f xx，此时 A 选项符合；当0a 时，1ln,01ln1ln,0axxxf xaxxaxxx，当0 x 时，1lnf xaxx，因为函数1ln,yaxyx在,0上都是减函数，所以函数 f x在在,0上是减函数，的第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司如图，作出函数1ln,yaxyx 在,0上的图象，由图可知，函数1ln,yaxyx 的图象在,0上有一个交点，即函数 f x在在,0上有一个零点，当0 x 时，1lnf xaxx，则 2211aaxfxxxx，由 0fx，得1xa，由 0fx，得10 xa，所以函数 f x在10,a上单调递减，在1,a上单调递增，当1a 时，11ln1faaaa，故 B 选项符合；当a0时，1ln,01ln1ln,0axxxf xaxxaxxx，当0 x 时，1lnf xaxx，因为函数1ln,yax yx在0,上都是减函数，所以函数 f x在0,上是减函数，如图，作出函数1ln,yax yx 在0,上的图象，第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由图可知，函数1ln,yax yx 的图象在0,上有一个交点，即函数 f x在在0,上有一个零点，当0 x 时，1lnf xaxx，则 2211aaxfxxxx，由 0fx，得1xa，由 0fx，得10 xa，所以函数 f x在1,0a上单调递减，在1,a上单调递增，当1a 时，11ln1faaaa，故 C 选项符合，D 选项不可能.故选：D.5.在等比数列 na中，1234511aaaaa，34a，则1234511111aaaaa（）A.3132B.3132C.1116D.1116【答案】C【解析】【分析】设出公比后整体求值即可.【详解】设首项为1a，公比为q，易知1234511aaaaa，34a，可得22114(1)11qqqq，解得22411111qqqq，第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司而13452221111111111(1)416aaaqqqaaq，故选：C6.已知tan224，则cos的值为（）A.45B.35C.45D.35-【答案】A【解析】【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】tantantan1242tan2241tantan1tan242，即1tan23，由222222228cossin14922coscossin10225tan2tacossinn22219，故选：A.7.以抛物线 C 的顶点 O 为圆心的单位圆与 C 的一个交点记为点 A，与 C 的准线的一个交点记为点 B，当点 A，B 在抛物线 C 的对称轴的同侧时，OAOB，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为（）A.2 33B.2 55C.8 1515D.8 1717【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，得到三角形全等，故2pBMON，从而求出,82p pB，根据勾股定理列出方程，求出8 1717p，得到答案.【详解】设抛物线方程为220ypx p，第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由题意得1OAOB，2pON，过点B作BMx轴于点M，因为 OAOB，所以90AONBOM，又90AONOAN，所以BOMOAN，则OANOBM，故2pBMON，令2py 得，224ppx，解得8px，故,82p pB，由勾股定理得22182pp，解得8 1717p，故抛物线 C 的焦点到准线的距离为8 1717.故选：D8.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A.36B.32C.28D.24【答案】C第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱台的高为h，可得出2132113abhb h，求出2a h的值，即可求得该正四棱台的体积.【详解】设每个直三棱柱高为a，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b，设正四棱台的高为h，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则2132113abhb h，可得222222336a b ha h b ha h，可得212a h，所以，该正四棱台的体积为24 34 112 1628Va h .故选：C.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.已知函数 cosf xx，0，g x是 f x的导函数，则下列结论正确的是（）A.f x与 g x对称轴相同B.f x与 g x周期相同C.f x g x的最大值是2D.f x g x不可能是奇函数【答案】BC【解析】【分析】求导得出 g x，利用三角函数性质直接判断 AB；结合二倍角公式判断 C；结合二倍角公式及正弦函数性质判断 D【详解】由题意知 cosf xx，所以 sing xfxx，对 A：cosf xx的对称轴为xk，kZ，解得kx，kZ；sing xx 的对称轴为2xk，kZ，解得2kx，kZ，所以 f x与 g x的对称轴不相同，故 A 错误；第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司对 B：cosf xx的周期为2T，sing xx 的周期为2T，所以 f x与 g x的周期相同，故 B 正确；对 C：cossinsin 222f x g xxxx ，因为sin 221,1x，所以 sin 22,222f x g xx ，故 C 正确；对 D：当22 k，kZ，sin 22sin222f x g xxx ，所以 sin2sin222fx gxxxf x g x ，此时 f x g x为奇函数，故 D 错误；故选：BC.10.已知圆1C：()2221xy+=，圆2C：2234xy，P，Q 分别是1C，2C上的动点，则下列结论正确的是（）A.当12/C PC Q时，四边形12CC QP的面积可能为 7B.当12/C PC Q时，四边形12CC QP的面积可能为 8C.当直线 PQ 与1C和2C都相切时，PQ的长可能为2 6D.当直线 PQ 与1C和2C都相切时，PQ的长可能为 4【答案】ACD【解析】【分析】对于 AB：设120,PC C，可得梯形12CC QP的面积为15sin2，进而分析判断；对于CD：根据切线性质结合对称性分析求解.【详解】圆1C：()2221xy+=的圆心12,0C，半径11r；圆2C：2234xy的圆心23,0C，半径12r；可知121253C Crr，可知两圆外离，对于选项 AB：设120,PC C，第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司因为12/C PC Q，可知梯形12C PQC的高为12sin5sinC C，所以四边形12CC QP的面积为115155sin12sin222，可知四边形12CC QP的面积可能为 7，不可能为 8，故 A 正确，B 错误；对于选项 CD：设直线PQ与 x 轴的交点为M，根据对称性可知：如图，因为12,PCPM QCQM，可知12/PCQC，则112212MCPCMCQC，可知1125MCC C，所以22112 6PQPMMCPC；如图，因为12,PCPM QCQM，可知12/PCQC，则112212MCPCMCQC，可知1121533MCC C，所以221134PQPMMCPC；故 CD 正确；故选：ACD.第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司11.已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 25f xgx，47g xf x若2x 是 g x的对称轴，且 24g，则下列结论正确的是（）A.f x是奇函数B.3,6是 g x的对称中心C.2 是 f x的周期D.221130kg k【答案】BD【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到=f xfx，判断 A；结合已知条件变形得到(2)(4)12gxg x，判断 B；利用赋值法求得 20ff，判断 C；根据条件得到的 g x周期为 4，对称中心为3,6，从而得到函数值即可求解，判断 D.【详解】对于 A，因为2x 是 g x的对称轴，所以(2)(2)gxg x，又因为 25f xgx，所以25fxgx，故=f xfx，即 f x为偶函数，故 A 错误；对于 B，因为()(4)7g xf x，所以(4)()7g xf x，又因为()(2)5f xgx，联立得(2)(4)12gxg x，所以()yg x的图像关于点(3,6)中心对称，故 B 正确；对于 C，因为 25f xgx，24g，则 045f，即 01f；因为 47g xf x，则427f，即23f ，则 223ff；显然 20ff，所以 2 不是 f x的周期，故 C 错误；对于 D，因为2x 是 g x的对称轴，所以(6)(2)gxg x，又因为(2)(4)12gxg x，即 612g xgx，则 212g xg x，所以 212g xg x，所以22g xg x，即 4g xg x，所以 g x周期为 4，因为 g x周期为 4，对称中心为3,6，所以 36g，第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当4x 时，代入 47g xf x，即 407gf，所以 48g，所以 408gg，又2x 是 g x的对称轴，所以 136gg，所以 2215646864130kg k，故 D 正确，故选：BD.12.如图几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90得到的，已知点G是圆弧CE的中点，点H是圆弧DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点H，使得CH 平面BDGB.不存在点H，使得平面/AHE平面BDGC.存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为73D.不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为13【答案】ACD【解析】【分析】将图形补全为一个正方体ADMFBCNE，设2AD，以点A 为坐标原点，AD、AF、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMFBCNE，如图所示：不妨设2AD，以点A 为坐标原点，AD、AF、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司标系，则0,0,0A、0,0,2B、2,0,2C、2,0,0D、0,2,2E、0,2,0F，2,2,2G，设点2cos,2sin,0H，其中02，对于 A 选项，假设存在点H，使得CH 平面BDG，2cos2,2sin,2CH，2,0,2DB ，2,2,0BG ，则44cos402 2 cos12 2sin0CH DBCH BG ，可得sin1cos0，因02，则2，即当点H与点F重合时，CH 平面BDG，A 对；对于 B 选项，由 A 选项可知，平面BDG的一个法向量为2,2,2FC ，假设存点H，使得平面/AHE平面BDG，则CFAH，CFAE，则4cos4sin0440FC AHFC AE ，可得tan1，又因为02，解得4，即当点H为DF的中点时，面/AHE平面BDG，B 错；对于 C 选项，若存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为73，则直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为272133，且2cos,2sin2,2EH，所以，224cos4sincos,4cos4 sin14 2 3EH FCEH FCEHFC cossin23332sin，整理可得3sin24sin30，因为函数 3sin24sin3f在0,2时的图象是连续的，且 030f，43102f ，为在第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司所以，存在00,2，使得00f，所以，存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为73，C 对；对于 D 选项，设平面CEH的法向量为,nx y z，2,2,0CE ，2cos2,2sin,2CH，则2202cos12 sin20n CExyn CHxyz ，取1x，可得1,1,sincos1n，假设存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为13，则22 sincos11cos,32sincos12 3n FCn FCnFC ，可得2sincos11，即sincos11 ，可得sincos0或sincos2，因为0,2，则3444，则2sin124，所以，sincos2sin1,24，故当0,2时，方程sincos0和sincos2均无解，综上所述，不存在点H，平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为13，D 对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl（l为斜线段长），进而可求得线面角；第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,a n.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填在答题卡的相应位置上分请把答案填在答题卡的相应位置上13.双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的渐近线方程为2yx，则其离心率e _【答案】3【解析】【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.【详解】由题意可得2ba，则22222221123ccabbeaaaa.故答案为：3.14.已知向量1,2a r，2,1b ，则使 0abab成立的一个充分不必要条件是_【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为11 的一个充分不必要条件进而求解.【详解】因为1,2a，2,1b ，所以2,21ab，2,21ab，所以 222441550abab，解得11，所以使 0abab成立的一个充分不必要条件是0.故答案为：0（答案不唯一）15.用试剂a检验并诊断疾病b，A 表示被检验者患疾病b，B表示判断被检验者患疾病b用试剂a检验并诊断疾病b的结论有误差，已知0.9P B A，0.8P B A，且人群中患疾病b的概率 0.01P A 若有一人被此法诊断为患疾病b，则此人确实患疾病b的概率P A B 第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司_【答案】123【解析】【分析】利用条件概率公式求出P AB、P AB的值，可得出 P B的值，再利用条件概率公式可求得P A B的值.【详解】由条件概率公式可得 0.01 0.90.009P ABP A P B A，11 0.80.2P B AP B A ，由条件概率公式可得 0.99 0.20.198P ABP A P B A，所以，0.0090.1980.207P BP ABP AB，所以，0.00910.20723P ABP A BP B.故答案为：123.16.若函数 222xxxaxbf x 的图象关于2x 对称，则ab_，f x的最小值为_【答案】.34 .36【解析】【分析】由函数的对称性可知，方程20 xaxb的两根分别为4x 、6x ，利用韦达定理可求得a、b的值，可得出ab的值，变形可得出 224412f xxxxx，令244txx，利用二次函数的基本性质求出 12h tt t在4t 时的最小值，即可得出函数 f x的最小值.【详解】因为函数 222xxxaxbf x 的图象关于2x 对称，令 0f x，可得220 xx，可得0 x 或2x，由对称性可知，方程20 xaxb的两根分别为4x 、6x ，由韦达定理可得 4646ab ，可得1024ab，所以，221024246f xx xxxx xxx，第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则 4462246fxxxxxx xxxf x ，所以，函数 246f xx xxx的图象关于直线2x 对称，则34ab，因为 224412f xxxxx，令224244txxx，令 221212636h tt tttt，所以，min636h th.故答案为：34；36.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程220 xx有两个根，利用 f x的对称性求得20 xaxb有对应的两个根，从而求得,a b，由此得解.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17.数列 na前 n 项积为nT，且满足1122nTnn（1）求数列 na的通项公式；（2）记1lnnnnba，求数列 nb的前 2n 项和2nS【答案】（1）2nnan （2）21ln21nnSn【解析】【分析】（1）分1n 和2n 两种情况，结合nT与na之间的关系分析求解；（2）由（1）可得21lnnnnbn，结合分组求和法运算求解.【小问 1 详解】因为1122nTnn，若1n，则113aT；若2n，则111222112nnnnnnTnaTnTn n；的第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司且13a 符合2nnan，综上所述：数列 na的通项公式2nnan.【小问 2 详解】由（1）可知：21lnnnnbn，可得 12213212422nnnnbbbbbbbbSb35214622lnlnlnlnlnln1321242nnnn 1ln 21ln1ln21nnnn，所以21ln21nnSn.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，PBPD（1）证明：平面PAC 平面PBD；（2）若2PA，PBBD，点 E，F 分别为 PB，PD 的中点，求点 E 到平面 ACF 的距离【答案】（1）证明见解析 （2）2 33【解析】【分析】（1）由ACBD，O为AC和BD的中点，POBD，得BD平面PAC，可证得平面PAC 平面PBD；（2）证明PAAB，PAAD，以A 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.【小问 1 详解】连接,AC BD，AC与BD相交于点O，连接PO，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，则ACBD，O为AC和BD的中点，第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司PBPD，则POBD，,PO AC 平面PAC，POACO，BD平面PAC，BD平面PBD，所以平面PAC 平面PBD【小问 2 详解】四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，2 2PBPDBD，2PA，222PAABPB，222PAADPD，则有PAAB，PAAD，以A 为原点，,AP AB AD分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A，0,2,2C，1,1,0E，1,0,1F，0,2,2AC，1,0,1AF ，设平面ACF的一个法向量为,nx y z，则有2200n ACyzn AFxz，令1x，得1,1yz=-，即1,1,1n.1,1,0AE ，点 E 到平面ACF的距离22 333n AEdn .19.ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且22 cosacbC（1）求B；（2）若3b，且 D 为ABC 外接圆劣弧AC上一点，求2ADDC的取值范围【答案】（1）3 第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（2）(3,6)【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得222acbac，得到1cos2B，即可求解；（2）设ACD，得到3CAD，得到2 3sin,2 3sin()3ADCD，得出26cosADDC，进而求得2ADDC的取值范围.【小问 1 详解】解：因为22 cosacbC，由余弦定理得222222abcacbab，整理得222acbac，可得2221cos22acbBac，又因为(0,)B，可得3B.【小问 2 详解】解：由圆内接四边形性质，可得23D，设ACD，则3CAD，在ADC中，由正弦定理得32 3sinsinsin(60)32ACADCDD，所以2 3sin,2 3sin()3ADCD，所以22 3sin4 3sin()6cos3ADDC，因为03，可得1cos(,1)2，可得6cos(3,6)，所以2ADDC的取值范围为(3,6).20.已知椭圆C：22221xyab（0ab），连接 C 的四个顶点所得四边形的面积为2 2，且离心率第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司为22（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点T，使得TAB的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）2212xy （2）存在；2,0T【解析】【分析】（1）根据题意中几何关系及离心率可以求出,a b的值，从而求解.（2）设出直线l方程1xmy，然后与椭圆联立，根据TAB的内心在x轴上，可得0ATBTkk并结合根与系数的关系，从而求解.【小问 1 详解】由题意得222222abcaabc，解得2221ab，所以椭圆C的方程为2212xy.【小问 2 详解】因为直线l过右焦点1,0F且斜率不为零，设直线l的方程为1xmy，11,A x y，22,B xy，联立22112xmyxy，得222210mymy，2222421880mmm 恒成立，所以12222myym，12212y ym，设x轴上存在定点,0T t使得TAB的内心在x轴上，则直线TA和TB关于x轴对称，所以直线TA和TB的倾斜角互补，所以0ATBTkk，即12120ATBTyykkxtxt，第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司所以12210yxtyxt，即1122110ymytymyt ，整理得1212210my ytyy，即2221222120222mtmtmmmm，即220m t 对所有mR恒成立，所以2t，所以存在定点2,0T符合题意.【点睛】方法点睛：根据TAB的内心在x轴上得到直线TA和TB的倾斜角互补，即0ATBTkk，再由直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.21.某区域中的物种 C 有 A 种和 B 种两个亚种为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比 B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：在该区域中有放回的捕捉 50 个物种 C，统计其中 A种数目，以此作为一次试验的结果；重复进行这个试验 n 次（其中*nN），记第 i 次试验中的 A 种数目为随机变量iX（1,2,in）；记随机变量11niiXXn，利用X的期望E X和方差D X进行估算设该区域中 A 种数目为 M，B 种数目为 N，每一次试验都相互独立（1）已知ijijE XXE XE X，ijijD XXD XD X，证明：1E XE X，11D XD Xn；（2）该小组完成所有试验后，得到iX的实际取值分别为ix（1,2,in），并计算了数据ix（1,2,in）的平均值x和方差2s，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5sn（）请用x和2s分别代替E X和D X，估算MN和x；（）在（）的条件下，求1X的分布列中概率值最大的随机事件1Xk对应的随机变量的取值【答案】（1）证明见解析 （2）（）37MN，15x；（）15【解析】第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；（2）（）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可.【小问 1 详解】由题可知iX（1i，2，n）均近似服从完全相同的二项分布，则12nE XE XE X，12nD XD XD X，111111111nnniiiiiiE XEXEXE XnE XE Xnnnn，1111122211111nniniiiiiD XDXDXD XnD XD Xnnnnn，所以1E XE X，11D XD Xn.【小问 2 详解】（）由（1）可知150,MXBMN，则1X的均值150ME XMN，1X的方差150MND XMN MN，所以25010.5()()MND Xn MNn，解得37MN或73MN，由题意可知：0MN，则01MN，所以37MN，15015MxE XE XMN；（）由（）可知：0.3MMN，则150,0.3XB:，则50150C0.310.3,0,1,2,50mmmP Xmm，由题意可知：50491150505051115050C0.31 0.3C0.31 0.3C0.31 0.3C0.31 0.3kkkkkkkkkkkk，解得14.315.3k，且*kN，则15k，所以1X的分布列中概率值最大的随机事件1Xk对应的随机变量的取值为 15.【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解.22.已知函数 110exfa xxa第 23 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）讨论 f x的单调性；（2）若方程 110exf x 有1x、2x两个根，且120 xx，求实数a的值【答案】（1）答案见解析 （2）1a【解析】【分析】（1）求得 1exaxfx，分0a、0a 两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数 f x的增区间和减区间；（2）将原方程转化为110exa xx，再将1x、2x分别代入其中，得到1a ，然后讨论1a、1a 时，判断方程110exa xx根的个数，再构造函数，求导，进而即可求解.【小问 1 详解】解：函数 110exa xf xa的定义域为R，111eexxaa xaxfx.当0a 时，由 0fx可得0 x，由 0fx可得0 x，此时，函数 f x的增区间为,0，减区间为