专题02 平面向量-2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）含答案.pdf
更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 02 平面向量平面向量（新课标全国卷）1已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A1B1 C1D1（新课标全国卷）2已知向量a，b满足3ab，2abab，则b _（全国乙卷数学（文）3正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED （）A5B3C2 5D5（全国乙卷数学（理）4已知O的半径为 1，直线 PA 与O相切于点 A，直线 PB 与O交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，若2PO，则PA PD 的最大值为（）A122+B12 22C12D22（全国甲卷数学（文）5已知向量3,1,2,2ab，则cos,ab ab（）A117B1717C55D2 55（全国甲卷数学（理）6向量1,2abc，且0abc，则cos,ac bc （）A15B25C25D45（新高考天津卷）7在ABC中，60A，1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABa ACb，则AE 可用,a b表示为_；若13BFBC ，则AE AF 的最大值为_1（2023湖南长沙雅礼中学校考模拟预测）已知向量a，b满足7ab，且3a，4b，则abrr（）A5B3C2D12（2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）如图，在ABC中，点D在BC的延长线上，3BDDC，如果ADxAByAC，那么（）专题02 平面向量-2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 A13,22xyB13,22xy C13,22xy D13,22xy 3（2023山东潍坊三模）已知平面向量a与b的夹角是60，且2,1,2ab，则2aab（）A82 5B45C85D42 54（2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测）已知向量a，b满足22ab，28abab，则a与b的夹角为（）A6B3C23D565（2023重庆万州重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量16,2a，1,3b，若abb，则向量ab在b上的投影向量的模长为_.6（2023重庆校联考三模）已知点1,0A，10B,，若圆2221xaya上存在点P满足3PA PB ，则实数 a 的取值的范围是_ 7（2023全国模拟预测）已知平面向量a，b满足3a，1b，24ab，则3ab，b夹角的余弦值为（）A64B612C66D668（2023云南保山统考二模）已知向量a，b满足0a b，则ab在a方向上的投影向量为（）AarB2aC2bDa9（2023广东佛山校考模拟预测）梯形ABCD中，222ABBCCDAD，已知2,4AB uu u r，则CD （）A2,1B1,2C1,2 D2,110（2023广东校联考模拟预测）将向量2,2OP 绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，则1OP OP （）A622B62更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君C62D62211（2023广西校联考模拟预测）已知i 和j是两个正交单位向量，23jai，jbik 且2ab，则k（）A2 或 3B2 或 4C3 或 5D3 或 412（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知平面向量|2a，|1b，,a b 的夹角为60，3atbtR，则实数t（）A1B1C12D113（2023北京统考模拟预测）若向量(1,1)a，(0,1)b，则a与b的夹角等于（）A34B4C54D3414（2023山西阳泉阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量(1,2)a，(1,1)b ，(,2)cmr，且2abc，则实数m（）A-1B0C1D任意实数15（2023浙江统考模拟预测）已知2,1,2abx，若/a b，则ab（）A2,1B2,1C3,1D3,1（多选）16（2023山东聊城统考三模）已知向量a，b满足|6ab，|2ab，则a与b的夹角可以为（）A6B27C38D5917（2023河南开封统考三模）已知向量(,1)am，(1,3)b，若()abb，则m _.18（2022陕西西安统考模拟预测）若向量2,ax，2,1b 不共线，且abab，则a b _.19（2023河南驻马店统考三模）已知平面向量,a b 满足10,2ab,且 214abab，则ab=_ 20（2023河南校联考模拟预测）向量,a b 的夹角为，定义运算“”：sinaba b，若3,1,3,1ab，则ab的值为_.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君专题专题 02 平面向量平面向量（新课标全国卷）1已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A1B1 C1D1【答案】D【详解】因为1,1,1,1ab，所以1,1ab，1,1ab，由abab可得，0abab，即 11110，整理得：1 故选：D（新课标全国卷）2已知向量a，b满足3ab，2abab，则b _【答案】3【详解】法一：因为2abab，即222abab，则2222244aa bbaa bb rr rrrr rr，整理得220aa b，又因为3ab，即23ab，则22223aa bbb rr rrr，所以3b.法二：设cabrrr，则3,2,22cabcbabcbrrrrrrrrr，由题意可得：2222cbcbrrrr，则22224444cc bbcc bb rr rrrr rr，整理得：22cbrr，即3bcrr.故答案为：3.（全国乙卷数学（文）3正方形ABCD的边长是 2，E是AB的中点，则EC ED （）A5B3C2 5D5【答案】B【详解】方法一：以,AB AD 为基底向量，可知2,0ABADAB ADuu u ruuu ruu u r uuu r，则11,22ECEBBCABAD EDEAADABAD uu u ruuruu u ruu u ruuu r uuu ruu ruuu ruu u ruuu r，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以22111143224EC EDABADABADABAD uu u r uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu r；方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则1,0,2,2,0,2ECD，可得1,2,1,2ECED uu u ruuu r，所以143EC ED uu u r uuu r；方法三：由题意可得：5,2EDECCD，在CDE中，由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDE CE，所以3cos5535EC EDEC EDDECuu u r uuu ruu u r uuu r.故选：B.（全国乙卷数学（理）4已知O的半径为 1，直线 PA 与O相切于点 A，直线 PB 与O交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，若2PO，则PA PD 的最大值为（）A122+B12 22C12D22【答案】A【详解】如图所示，1,2OAOP，则由题意可知:45APO，由勾股定理可得221PAOPOA 更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当点,A D位于直线PO异侧时，设=,04OPC，则：PA PD =|cos4PAPD 12coscos4 222coscossin222cossincos1 cos21sin22212sin 222404，则2444当244 时，PA PD 有最大值1.当点,A D位于直线PO同侧时，设=,04OPC，则：PA PD =|cos4PAPD 12coscos4 222coscossin222cossincos1 cos21sin22212sin 222404，则2442更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当242时，PA PD 有最大值122+.综上可得，PA PD 的最大值为122+.故选：A.（全国甲卷数学（文）5已知向量3,1,2,2ab，则cos,ab ab（）A117B1717C55D2 55【答案】B【详解】因为(3,1),(2,2)ab，所以5,3,1,1abab，则225334,1 12abab，5 1 312abab ，所以 217cos,17342ababab abab ab .故选：B.（全国甲卷数学（理）6向量1,2abc，且0abc，则cos,ac bc （）A15B25C25D45【答案】D【详解】因为0abc,所以abc+=-rrr,即2222aba bc,即1 122a b rr,所以0a b.如图,设,OAa OBb OCc ,由题知,1,2,OAOBOCOAB是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22ODAD,所以23 2222CDCOOD,更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君13tan,cos310ADACDACDCD,2cos,coscos22cos1ac bcACBACDACD 23421510.故选:D.（新高考天津卷）7在ABC中，60A，1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设,ABa ACb，则AE 可用,a b表示为_；若13BFBC ，则AE AF 的最大值为_【答案】1142ab 1324【详解】空 1：因为E为CD的中点，则0EDEC ，可得AEEDADAEECAC ，两式相加，可得到2AEADAC，即122AEab，则1142AEab；空 2：因为13BFBC ，则20FBFC ，可得AFFCACAFFBAB ，得到22AFFCAFFBACAB ，即32AFab，即2133AFab.于是2211211252423312abaFbaAE Aa bb .记,ABx ACy，则222222111525225cos602221212122Axxyaa bbxyyxyE AF ，在ABC中，根据余弦定理：222222cos601BCxyxyxyxy，于是1519222122122AExyxxyAFy ，由221xyxy和基本不等式，2212xyxyxyxyxy，故1xy，当且仅当1xy取得等号，则1xy时，AE AF 有最大值1324.故答案为：1142ab；1324.更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 1（2023湖南长沙雅礼中学校考模拟预测）已知向量a，b满足7ab，且3a，4b，则abrr（）A5B3C2D1【答案】D【详解】2222492499 1624ababa ba b rrrrr rr r，所以22229 16241,1ababa bab rrrrr rrr，故选：D2（2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）如图，在ABC中，点D在BC的延长线上，3BDDC，如果ADxAByAC，那么（）A13,22xyB13,22xy C13,22xy D13,22xy【答案】B【详解】3,2ADABBD BDBC ，33132222ADABBCABACABABAC ，故选：B3（2023山东潍坊三模）已知平面向量a与b的夹角是60，且2,1,2ab，则2aab（）更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A82 5B45C85D42 5【答案】C【详解】由1,2b 可得5b，因为平面向量a与b的夹角是60，且2,a 所以22222cos6085aabaa baab 故选：C4（2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测）已知向量a，b满足22ab，28abab，则a与b的夹角为（）A6B3C23D56【答案】C【详解】因为 22228ababaa bb.又22ab，所以1a b.所以1cos,2a ba bab，因为0,a b，所以a与b的夹角为23.故选：C5（2023重庆万州重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量16,2a，1,3b，若abb，则向量ab在b上的投影向量的模长为_.【答案】2 10【详解】因为向量16,2a，1,3b，16610a b，221310b，若abb，则0abb，即20a bb，即10100，解得:1,向量ab在b上的投影向量的模长为:17,11,3202 101010abbb.故答案为：2 10.6（2023重庆校联考三模）已知点1,0A，10B,，若圆2221xaya上存在点P满足3PA PB ，则实数 a 的取值的范围是_【答案】3 555 3 5,5555更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】设点(,)P x y，则(1,),(1,)PAxy PBxy ，而3PA PB ，则2(1)(1)3xxy，整理得224xy，即点P的轨迹是原点为圆心，2 为半径的圆，因为点P在圆2221xaya，即圆2221xaya与圆224xy有公共点，而圆2221xaya的圆心为(,2)aa，半径为 1，因此221(2)3aa，即13|55a，解得3 5555a 或53 555a，所以实数 a 的取值的范围是3 555 3 5,5555.故答案为：3 555 3 5,5555 7（2023全国模拟预测）已知平面向量a，b满足3a，1b，24ab，则3ab，b夹角的余弦值为（）A64B612C66D66【答案】A【详解】依题意，222|2|4416ababa b，解得34a b，故2233 636996942abaa bb，故333364cos3,43 6332abba bb bab bab bab b ，故选：A8（2023云南保山统考二模）已知向量a，b满足0a b，则ab在a方向上的投影向量为（）AarB2aC2bDa【答案】D更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】由己知条件得：0a b，又ab在a方向上的投影向量为2cos,abaaaaaaabab aaaaabaa.故选：D.9（2023广东佛山校考模拟预测）梯形ABCD中，222ABBCCDAD，已知2,4AB uu u r，则CD （）A2,1B1,2C1,2 D2,1【答案】C【详解】在梯形ABCD中，222ABBCCDAD，所以1/,2AB CD CDAB，所以1,212ABCD .故选：C10（2023广东校联考模拟预测）将向量2,2OP 绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，则1OP OP （）A622B62C62D622【答案】B【详解】因为2,2OP ，所以22222OP ，因为向量OP 绕坐标原点O顺时针旋转75得到1OP，所以向量OP 与向量1OP 的夹角为75，且12OP ，所以11cos752 2 cos(3045)OP OPOPOP 32124()622222.故选：B11（2023广西校联考模拟预测）已知i 和j是两个正交单位向量，23jai，jbik 且2ab，则k（）A2 或 3B2 或 4C3 或 5D3 或 4【答案】B【详解】因为i 和j是正交单位向量，33)2(2,jai，1,bik jk，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君可得1,3kab，所以2132abk，解得2k 或4k.故选：B12（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知平面向量|2a，|1b，,a b 的夹角为60，3atbtR，则实数t（）A1B1C12D1【答案】A【详解】因为3atb，所以22223aa b tt b ，即2422cos603tt，解得1t .故选：A.13（2023北京统考模拟预测）若向量(1,1)a，(0,1)b，则a与b的夹角等于（）A34B4C54D34【答案】D【详解】cos,|a ba bab1222 1，又因为,0,a b，所以3,4a b，即a与b的夹角等于34.故选：D14（2023山西阳泉阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量(1,2)a，(1,1)b ，(,2)cmr，且2abc，则实数m（）A-1B0C1D任意实数【答案】B【详解】因为(1,2)a，(1,1)b ，所以21,221,13,0abrr，又(,2)cmr，且2abc，所以230abcmrrr，解得0m.故选：B.15（2023浙江统考模拟预测）已知2,1,2abx，若/a b，则ab（）A2,1B2,1C3,1D3,1【答案】A【详解】因为2,1,2abx，/a b，所以2210 x ，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以4x ，所以4,2b ，所以2,1ab，故选：A.（多选）16（2023山东聊城统考三模）已知向量a，b满足|6ab，|2ab，则a与b的夹角可以为（）A6B27C38D59【答案】AB【详解】因为|6ab，则2226aba a，且|2ab，则2222aba a，所以44a b，即1a b ，则224ab，又因为2242aba b，即2a b ，设a与b的夹角为，则cos1a ba b ，即1cosa b ，且2a b ，则1cos2，所以3，则a与b的夹角可以为6，27.故选：AB17（2023河南开封统考三模）已知向量(,1)am，(1,3)b，若()abb，则m _.【答案】13【详解】(,1)am，(1,3)b，(1,4)abm，又()abb，()1 120abbm，解得13m.故答案为：1318（2022陕西西安统考模拟预测）若向量2,ax，2,1b 不共线，且abab，则a b _.【答案】3【详解】因为向量2,ax，2,1b ，所以0,1,4,1abxabx，因为abab，所以0110 xx，所以1x 或=1x，又向量2,ax，2,1b 不共线，更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以2 120 x ，所以1x ，所以1x，即2,1a r，所以221 13a b ，故答案为：3.19（2023河南驻马店统考三模）已知平面向量,a b 满足10,2ab,且 214abab，则ab=_【答案】3 2【详解】由 222220414ababaa bba b ,得2a b,所以222210443 2ababaa bb.故答案为：3 220（2023河南校联考模拟预测）向量,a b 的夹角为，定义运算“”：sinaba b，若3,1,3,1ab，则ab的值为_.【答案】2 3【详解】因为3,1,3,1ab，所以3 11cos,2 22a ba bab ，则3sin,2a b ，所以2 3ab.故答案为：2 3.
